基于范希爾理論提高學(xué)生幾何思維水平

喀什大學(xué)研究生科研創(chuàng)新項(xiàng)目：層層相扣：從認(rèn)知負(fù)荷角度研究南疆地區(qū)高中數(shù)學(xué)教學(xué)中筑牢中華民族共同體意識(shí)的路徑及意義（KD2023KY036）研究成果

摘" "要：幾何學(xué)習(xí)是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要一環(huán)，該模塊的教學(xué)有利于培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力、抽象思維能力、邏輯推理能力，以及實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)提升.但是正是因?yàn)閹缀尉哂谐橄笮院蛧?yán)密的邏輯性，幾何的證明題與計(jì)算題往往也是很多高中生的弱項(xiàng)，在遇到幾何題目的時(shí)候出現(xiàn)思維混亂，抓不到重點(diǎn)的情況.針對(duì)幾何學(xué)習(xí)的困境，范希爾夫婦提出了幾何思維的五個(gè)水平，教師可以通過幾何思維五個(gè)水平來設(shè)計(jì)教學(xué)來全面提升學(xué)生的幾何能力.

關(guān)鍵詞：范希爾理論；橢圓；標(biāo)準(zhǔn)方程；幾何教學(xué)

1" 范希爾理論的簡(jiǎn)述

在20世紀(jì)50年代的荷蘭，幾何教學(xué)所面臨的問題讓很多數(shù)學(xué)教師都感到十分棘手，這使得范希爾夫婦開始關(guān)注皮亞杰的工作.皮亞杰認(rèn)為認(rèn)知發(fā)展階段依賴于心理的成熟，而與教學(xué)的關(guān)系不大，但范希爾夫婦則持相反的意見.在一段時(shí)間的研究之后，他們提出了幾何思維的五個(gè)水平：（1）層次0：視覺；（2）層次1：分析；（3）層次2：非形式化的演繹；（4）層次3：形式的演繹；（5）層次4：嚴(yán)密性.到20世紀(jì)80年代，范希爾夫婦又將五個(gè)思維水平合并為三個(gè)：（1）直觀水平；（2）描述水平；（3）理論水平.除了五個(gè)水平以外，范希爾理論的核心內(nèi)容還有與之對(duì)應(yīng)的五個(gè)教學(xué)階段：階段1：學(xué)前咨詢（Information）；階段2：引導(dǎo)定向（Guided orientation）；階段3：闡明（Explication）；階段4：自由定向（Free orientation）；階段5：整合（Integration）[ 1 ].范希爾理論具有次序性、進(jìn)階性、語言性、內(nèi)隱性以及外顯性.自從范希爾理論得到數(shù)學(xué)教育家認(rèn)可后，對(duì)于該理論的應(yīng)用實(shí)踐也是層出不窮，因?yàn)榉断柪碚摬粌H能診斷學(xué)生的幾何思維，同時(shí)也提出了一種幾何教學(xué)的模式，幫助教師設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng).

2" 對(duì)于“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”的分析

2.1" 教材分析

從知識(shí)角度而言，橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程位于人教版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》選擇性必修第一冊(cè)A版第三章圓錐曲線的第一節(jié)，是高中學(xué)生學(xué)習(xí)圓錐曲線的基礎(chǔ)，為學(xué)習(xí)其他圓錐曲線奠定了基本模式.

從課程標(biāo)準(zhǔn)的角度而言，課標(biāo)要求學(xué)生經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓的過程，掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程以及簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)；通過圓錐曲線與方程的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想；了解橢圓的簡(jiǎn)單應(yīng)用[ 2 ].

從教育價(jià)值的角度而言，這部分內(nèi)容進(jìn)一步滲透了曲線與方程的思想，有效地提升了學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[ 3 ].

2.2" 學(xué)情分析

本節(jié)內(nèi)容安排在直線和圓的方程章節(jié)后面，學(xué)生有了一定的知識(shí)儲(chǔ)備，但是對(duì)于非圓非直線的圓錐曲線還了解甚少.基于以上知識(shí)背景和學(xué)生的求知欲，學(xué)生迫切地想知道如何在平面直角坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上去更深入了解更多種類的圓錐曲線，比如本文涉及到的橢圓，因此宜采用探究式與合作式為主，講述教學(xué)為輔的方式完成這節(jié)課的教學(xué).本節(jié)課結(jié)合范希爾理論，從學(xué)生已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)和思維水平出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生通過最近發(fā)展區(qū)獲得新知，提升能力.

2.3" 以往教學(xué)過程中出現(xiàn)的誤區(qū)

在以往的教學(xué)過程中，圓錐曲線的教學(xué)都是“重災(zāi)區(qū)”，很多教師都在以下這些問題：（1）忽視定義，在學(xué)習(xí)圓錐曲線的過程中，定義是認(rèn)識(shí)一類曲線的基礎(chǔ)，同時(shí)解題時(shí)也會(huì)經(jīng)常性選擇定義法，但是很多教師對(duì)于定義一帶而過，不針對(duì)里面的每一個(gè)變量的來源進(jìn)行詳細(xì)的講解，導(dǎo)致學(xué)生聽課云里霧里，自然也做不出題目；（2）忽視數(shù)學(xué)抽象能力的培養(yǎng)，傳統(tǒng)教學(xué)中，教師往往只告訴學(xué)生抽象出的結(jié)論，并不會(huì)讓學(xué)生參與結(jié)論得來的過程，往往導(dǎo)致學(xué)生機(jī)械記憶[ 4 ]；（3）不注重?cái)?shù)學(xué)思維的培養(yǎng)，圓錐曲線證明題更多考察的學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，但很多教師講課時(shí)只傳達(dá)一種或者幾種思維，這就導(dǎo)致學(xué)生出現(xiàn)了思維定式，面對(duì)不同的題目只會(huì)用一樣的方法去思考，得分率也隨之下降.通過將圓錐曲線的教學(xué)設(shè)計(jì)與范希爾理論相互滲透，教師按照幾何思維的五個(gè)階段去設(shè)計(jì)教學(xué)，不僅趣味橫生，能抓住學(xué)生的眼球，而且真正符合學(xué)生的思維發(fā)展的過程，有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

3" 范希爾理論與“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”課堂設(shè)計(jì)中教學(xué)環(huán)節(jié)的融合（見表1）

表 1" 依據(jù)范希爾理論設(shè)計(jì)的教學(xué)環(huán)節(jié)

4" “橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”的教學(xué)設(shè)計(jì)

階段1：學(xué)前咨詢

環(huán)節(jié)1：復(fù)習(xí)圓與圓的畫法

教師活動(dòng)：之前已經(jīng)學(xué)習(xí)過圓的定義，圓的定義是什么呢？圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？借助什么樣的工具可以畫圓呢？圓在我們生活中有哪些應(yīng)用呢？

預(yù)設(shè)答案：圓的定義是在同一平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合，這個(gè)定點(diǎn)叫做圓的圓心.圓心為（a，b），半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-a）2+（y-b）2=r2.可以借助圓規(guī)和刻度尺去畫規(guī)定半徑的圓.圓在生活中的應(yīng)用有：車輪、方向盤、輸送各種物品的管子的切面等.

【設(shè)計(jì)意圖】 先幫助學(xué)生復(fù)習(xí)圓的相關(guān)知識(shí)，教師了解學(xué)生之前知識(shí)的學(xué)習(xí)情況，找到新知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，為學(xué)習(xí)新知識(shí)奠定好良好的基礎(chǔ).

環(huán)節(jié)2：類比推理——從圓到橢圓

教師活動(dòng)：除了標(biāo)準(zhǔn)的圓形以外，還有一種長(zhǎng)圓形或者稱之為扁圓形，那么這種圖形被稱為什么？

預(yù)設(shè)答案：橢圓形.

教師活動(dòng)：橢圓是圓錐曲線的一種，有著豐富的幾何性質(zhì).圓在生活中無處不見，那么橢圓在生活中又有什么應(yīng)用？又該如何畫一個(gè)橢圓呢？

教師展示：行星運(yùn)行的軌跡、航天器運(yùn)行的軌跡都可以近似地看成一個(gè)橢圓；植物界最常見的圖形是橢圓，因?yàn)闄E圓形可以更好的吸收太陽光并且阻止水分的流失；汽車的車燈或者車排氣管等都是以橢圓為主要結(jié)構(gòu).

【設(shè)計(jì)意圖】 從圓過渡到橢圓，一方面幫助學(xué)生與原有的舊知識(shí)進(jìn)行連接，幫助學(xué)生構(gòu)建知識(shí)體系；另一方面從學(xué)生熟悉的圖形過渡到不熟悉的圖形，可以幫助學(xué)生減少學(xué)習(xí)新知識(shí)的陌生感，讓學(xué)生知道這二者之間的相似之處，可以類比研究圓時(shí)采用的思想方法去研究橢圓.

階段2：引導(dǎo)定向

環(huán)節(jié)3：動(dòng)手操作，初步感知

教師活動(dòng)：取一條定長(zhǎng)的細(xì)繩，把它的兩端都固定在圖板上的兩點(diǎn)，套上鉛筆，拉緊繩子，移動(dòng)筆尖，畫出軌跡.

預(yù)設(shè)答案：如圖1.

圖 1" 橢圓的畫法

教師活動(dòng)：畫圓的時(shí)候筆尖和圓心之間的距離是保持固定不變的，那么畫橢圓的這個(gè)過程中，有哪些條件需要我們滿足？

預(yù)設(shè)答案：繩子是定長(zhǎng).

教師活動(dòng)：假設(shè)繩子不是定長(zhǎng)的，還能畫出橢圓軌跡嗎？重復(fù)剛才的操作，將定長(zhǎng)的細(xì)繩換成松緊繩.

預(yù)設(shè)答案：由于畫圖時(shí)用的力不均勻，導(dǎo)致松緊繩長(zhǎng)度不一樣，所以也不能畫出橢圓.

【設(shè)計(jì)意圖】 通過學(xué)生親自動(dòng)手畫橢圓軌跡，培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力、總結(jié)能力、溝通交流的能力，同時(shí)也拋棄原有教學(xué)中直接告知學(xué)生橢圓中何為不變量的簡(jiǎn)單講授式教學(xué)，而采用類比圓的畫法，讓學(xué)生去尋找橢圓中不變的“直徑”.這樣過渡是學(xué)生容易接受的，能讓學(xué)生在做中學(xué)，在學(xué)中做.

環(huán)節(jié)4：總結(jié)歸納，得出簡(jiǎn)單定義

教師活動(dòng)：在橢圓曲線生成的過程，哪些量是不變的，哪些是變的[ 5 ]？

預(yù)設(shè)答案：在生成曲線的過程，繩長(zhǎng)不變，也就是橢圓上一點(diǎn)P到兩個(gè)固定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離不變.筆的位置發(fā)生變化，也就是這一點(diǎn)P的位置是變化的.

教師活動(dòng)：請(qǐng)給橢圓下一個(gè)簡(jiǎn)單定義，可以類比圓的定義.

預(yù)設(shè)答案：橢圓的定義是在同一平面內(nèi)任一點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和等于定值的點(diǎn)的集合叫做橢圓.

【設(shè)計(jì)意圖】 在教師的逐步引導(dǎo)下，學(xué)生關(guān)注到橢圓軌跡畫法中的變與不變，學(xué)生能獨(dú)立完善出橢圓的初步定義，為教師講授橢圓的標(biāo)準(zhǔn)定義打下基礎(chǔ).

階段3：闡明

環(huán)節(jié)5：完善橢圓定義

教師活動(dòng)：在畫橢圓的過程中，F(xiàn)1，F(xiàn)2，P三點(diǎn)之間構(gòu)成了哪些圖形？

預(yù)設(shè)答案：大多數(shù)時(shí)候構(gòu)成三角形，但也存在三點(diǎn)共線的特殊情況.

教師活動(dòng)：那除了PF1+PF2，為固定長(zhǎng)度以外，還有什么邊之間的數(shù)量關(guān)系要滿足.（教師可提示從三角形三邊關(guān)系方面入手）

預(yù)設(shè)答案：當(dāng)F1，F(xiàn)2，P三點(diǎn)構(gòu)成三角形時(shí)，有PF1+PF2＞F1F2；當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，PF1+F1F2=PF2或PF2+F1F2=PF1.

教師活動(dòng)：通過以上三個(gè)關(guān)系式能不能給出定長(zhǎng)和兩固定點(diǎn)之間距離二者之間的關(guān)系？

預(yù)設(shè)答案：構(gòu)成三角形時(shí)有PF1+PF2＞F1F2.構(gòu)成線段時(shí)的關(guān)系式PF1+F1F2=PF2，兩邊同加PF1，有PF1+PF1+F1F2=PF2+PF1，得到PF1+PF2＞F1F2，另一種情況同理，因此線段定長(zhǎng)大于兩固定點(diǎn)之間的距離.

教師活動(dòng)：現(xiàn)在將橢圓的定義補(bǔ)充完整為—把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)（大于F1F2）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，稱這兩定點(diǎn)叫做焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)之間叫做焦距，焦距的一半成為半焦距[ 6 ].

【設(shè)計(jì)意圖】通過進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生找到構(gòu)成橢圓的另一個(gè)重要變量信息來將橢圓定義補(bǔ)充完整，解決了學(xué)生對(duì)于定義里面括號(hào)內(nèi)的內(nèi)容模糊不清的問題，使得學(xué)生對(duì)于定義的理解更加深刻.

環(huán)節(jié)6：借助平面直角坐標(biāo)系，研究橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程

教師活動(dòng)：圓有自己的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓也有自己的標(biāo)準(zhǔn)方程，那應(yīng)該借助什么工具去研究標(biāo)準(zhǔn)方程呢？

預(yù)設(shè)答案：平面直角坐標(biāo)系.

教師活動(dòng)：觀察橢圓的幾何特征，應(yīng)該如何建系才能最恰到最簡(jiǎn)便？

預(yù)設(shè)答案：以F1F2所在直線為x軸，以F1F2的垂直平分線所在直線為y軸建系.這樣符合橢圓對(duì)稱的特點(diǎn)，而且相對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)也具有規(guī)律.建系如圖2.

圖 2" 平面直角坐標(biāo)系中的橢圓

教師活動(dòng)：設(shè)P（x，y）是橢圓上任意一點(diǎn)，橢圓焦距為2c（cgt;0），那么，F(xiàn)1，F(xiàn)2的坐標(biāo)為（-c，0），（c，0），F(xiàn)1F2=2c.類比圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推理過程，討論得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

教師提示：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是依據(jù)圓上任意一點(diǎn)到圓心的距離都是定長(zhǎng)，通過兩點(diǎn)間距離公式得到的，那橢圓中的不變量是什么？

預(yù)設(shè)答案：假設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)P（x，y）到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的和為定值2a，可以得到以下運(yùn)算過程

由F1+PF2=2a，得

■+■=2a.

將其中一個(gè)根號(hào)移到右邊，得

■=2a-■.

兩邊平方得到

（x+c）2+y2=4a2-4a■+（x-c）2+y2.

整理得到

（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2）.

兩邊同除a2（a2-c2），得

■+■=1.

教師活動(dòng)：公式中的a2-c2為正還是為負(fù)？

預(yù)設(shè)答案：2a＞2c＞0，所以a2-c2＞0.

教師活動(dòng)：從橢圓在平面直角坐標(biāo)系中的示意圖里能找到a2-c2所表示的線段嗎？可以考慮最特殊的情況，如圖3.

圖 3" P 點(diǎn)位于特殊位置時(shí)平面直角坐標(biāo)系中的橢圓

預(yù)設(shè)答案：此時(shí)？駐PF1F2為等腰三角形，因此PF1=PF2=a，根據(jù)勾股定理，在？駐PF1O中，PF1=a，OF1=c，所以O(shè)P=■.

教師活動(dòng)：令b=■，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程應(yīng)該寫成

■+■=1（a＞b＞0）.

【設(shè)計(jì)意圖】類比圓的標(biāo)準(zhǔn)方程推理過程中使用設(shè)元的方法和工具，學(xué)生很容易想到將此方法遷移到橢圓上進(jìn)行研究.這個(gè)過程也能考察學(xué)生對(duì)于圓的知識(shí)的掌握情況.得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是“形”到“數(shù)”轉(zhuǎn)化的重要體現(xiàn)，數(shù)形結(jié)合不僅是高中階段一種重要的解題方法，也是一種重要的數(shù)學(xué)思想.讓學(xué)生親自動(dòng)手去探究標(biāo)準(zhǔn)方程，有助于學(xué)生培養(yǎng)解題能力，構(gòu)建數(shù)學(xué)思想.

階段4：自由定向

環(huán)節(jié)7：隨堂練習(xí)，強(qiáng)化認(rèn)知

例題1：已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是（-2，0），（2，0），并且經(jīng)過點(diǎn)（■，-■），求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.

例題2：（1）■+■=1；（2）平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)（-4，0），（4，0）距離之和等于10的點(diǎn)的軌跡；（3）■+■=10，這三種表述是否代表的是同一個(gè)橢圓，對(duì)于這個(gè)橢圓還有什么表示方法？

【設(shè)計(jì)意圖】在學(xué)完本節(jié)課主要內(nèi)容以后，進(jìn)行強(qiáng)化鞏固，設(shè)計(jì)兩個(gè)例題，從簡(jiǎn)單到復(fù)雜地運(yùn)用知識(shí).例題1比較基礎(chǔ)，主要考察學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，例題2用不同的方式表達(dá)一個(gè)橢圓，讓學(xué)生更好的理解軌跡方程的含義以及橢圓的定義，雖然可能稍微有點(diǎn)難度，但是這樣的問題幫助學(xué)生知識(shí)體系的構(gòu)建是必不可少的.

階段5：整合

環(huán)節(jié)8：師生對(duì)話，課堂小結(jié)

教師活動(dòng)：本節(jié)課你收獲了哪些方面的知識(shí)？

預(yù)設(shè)答案：知識(shí)方面：了解了什么樣的圖形是橢圓，橢圓在實(shí)際生活中的應(yīng)用，理解并掌握了橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程，能利用這些知識(shí)進(jìn)行簡(jiǎn)單的解題.

數(shù)學(xué)方法層面：本節(jié)課用到了類比推理的思想，體現(xiàn)在從圓的相關(guān)知識(shí)推理到橢圓的相關(guān)知識(shí)；笛卡爾思想，體現(xiàn)在利用平面直角坐標(biāo)系確定或求解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，同時(shí)幾何坐標(biāo)化、坐標(biāo)代數(shù)化、代數(shù)方程化也都體現(xiàn)這個(gè)思想；數(shù)形結(jié)合的思想，從圖形推導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)方程，又從標(biāo)準(zhǔn)方程中的常數(shù)找到對(duì)應(yīng)的線段，這都體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合.（本層面可在教師引導(dǎo)下得出）

【設(shè)計(jì)意圖】 通過課堂小結(jié)，讓學(xué)生立體全面地回顧感悟本節(jié)課都收獲了哪些知識(shí)和思想方法，有助于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

環(huán)節(jié)9：課后作業(yè)，鞏固提高

必做題：本節(jié)課后題；

選做題：（1）橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)還有什么方法？

（2）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程只有一種嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】 布置分層課后作業(yè)，可以關(guān)照到學(xué)生的差異性.學(xué)習(xí)能力強(qiáng)的同學(xué)可以思考選做題，對(duì)知識(shí)進(jìn)一步深挖.

5" 結(jié)語

本文以“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”為例，展示了如何基于范希爾幾何教學(xué)五個(gè)階段實(shí)施教學(xué).課程設(shè)計(jì)中設(shè)計(jì)的一系列探究活動(dòng)都遵循從特殊到一般，從具體到抽象，從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的規(guī)律，符合學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)和能力水平，可以很好地幫助學(xué)生提高幾何能力.在各個(gè)階段都遵循以“學(xué)”為中心，將學(xué)生“學(xué)”放在首位，教師的作用只是在學(xué)生遇到困難或者思路受阻的時(shí)候給予適度的提示和引導(dǎo).整堂課進(jìn)行下來學(xué)生學(xué)會(huì)構(gòu)建一個(gè)結(jié)構(gòu)良好的知識(shí)體系，各方面能力和核心素養(yǎng)也會(huì)得到提升.最后，范希爾理論作為具有強(qiáng)大的研究潛質(zhì)的一種理論，不僅為教師提供了一種幾何教學(xué)的良好框架，同時(shí)也服務(wù)于師范生的培養(yǎng)、教科書的編寫、學(xué)生幾何能力的測(cè)量與評(píng)價(jià)等方方面面.

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［6］ 人民教育出版社，課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心. 普通高中教科書·數(shù)學(xué)（A版）（選擇性必修第一冊(cè)）[M]. 北京：人民教育出版社，2019：105.