二次函數動點問題的解題思路

摘要：二次函數動點問題難度較大，常作為測試中的壓軸題，分值較高．部分學生常因不得法、無明確的解題思路，失分較為嚴重．授課中應結合學情以及經驗，做好二次函數動點問題教學設計，展示習題情境以及解題思路，給類似問題的解答提供針對性解題指引．

關鍵詞：二次函數;動點問題;解題思路

二次函數動點問題對學生的想象能力要求較高[１]．解決該類習題需從題干以及圖形出發尋找突破口，尤其應注重“化動為靜”，全面考慮各種滿足題設條件的情境．

１ 求解參數范圍

例１ （２０２１年 河南 統考中考真題）如圖１，拋物線y＝x２ ＋mx和直線y＝－x＋b 交于點A（２，０）和點B．

（１）求m 和b 的值;

（２）求點B 的坐標，并結合圖象寫出不等式x２＋mx＞－x＋b 的解集;

（３）M 為直線AB 上的一個動點，將點M 向左平移３個單位長度得到點N ．當線段MN 和拋物線只有一個公共點時，直接寫出點M 的橫坐標xM 的取值范圍．

思路剖析：問題（１）將點A 坐標分別代入到拋物線和直線解析式中，構建兩個方程求出m 和b 的值;問題（２）將拋物線和直線解析式聯立求出點B 的坐標，運用數形結合法求出不等式的解集;問題（３）先確定線段MN 的長度和方向，以點M 為研究對象，從點A 右側開始逐漸沿著直線AB 運動，分析不同情況下MN 和拋物線的交點，得出結論．

解：（１）將點A（２，０）分別代入到拋物線和直線解析中，得４＋２m ＝０，－２＋b＝０， { 解得m ＝－２，b＝２． {

（２）由（１）得拋物線為y＝x２－２x，其頂點坐標為（１，－１）;直線為y＝－x＋２．

聯立y＝x２－２x，y＝－x＋２， { 解得x＝－１，y＝３， { 或x＝２，y＝０， { 所以點B 的坐標為（－１，３）．不等式x２＋mx＞－x＋b 表示拋物線y＝x２－２x 在直線y＝－x＋２的上方，對應的解集為x＜－１或x＞２．

（３）由題意可得，A ，B 兩點的水平距離為３．

根據題意，直線MN 為一條與x 軸平行的直線，且線段MN 的長為３．由于M 為動點，坐標未知，因此，需要分類討論．

①當點M 在點A 的右側，線段MN 和拋物線只有一個公共點時，線段MN 經過拋物線的頂點（１，－１）．令－x＋２＝－１，解得x＝３，此時xM ＝３．

②當點M 在線段AB 上時，要想滿足題意，則應滿足－１≤xM ＜２．

③當點M 在點B 的左側，則線段MN 和拋物線不會有交點．

綜上分析，滿足題意的xM 的取值范圍為－１≤xM ＜２或xM ＝３．

點評：例１情境較為復雜，吃透題設情境，準確判斷線段MN 的走向，以點A 和點B 為分類討論的界限是解題的關鍵．

２ 求解點的坐標

例２ 如圖２，已知拋物線y＝－１４x２＋３２x＋４和坐標軸分別交于A ，B，C 三點，其中點M 在直線BC 下方的拋物線上運動，則當∠ABC＝∠MCB 時，點M 的坐標為_________．

思路剖析：由∠ABC 為銳角，知點M 只能在直線BC 下方右側拋物線上．先假設出點M ，作出輔助線，運用∠ABC＝∠MCB 得出線段CN 和NB 的相等關系，再設出ON 的長，借助勾股定理求出點N 的坐標．最后，在此基礎上求出直線CN 的解析式，與拋物線解析式聯立解出點M 的坐標．

解：對于拋物線y＝－１４x２＋３２x＋４，令x＝０，得y＝４，所以點C（０，４）;令y＝０，解得x１＝－２，x２＝