運用二次函數求解動點問題

摘要：動點問題因抽象性強、對學生想象力要求高的特點，成為初中數學各類測試中失分較為嚴重的一類問題．根據設問背景，動點問題可被分為幾何圖形類動點問題、拋物線類動點問題、實際情境類動點問題這三類．本文中結合案例，展示二次函數在解決動點問題中的具體運用過程，引導學習者關注解題思路、把握解題細節，促進解題能力的有效提升．

關鍵詞：初中數學;動點問題;二次函數

點是幾何圖形的基本構成要素．點的運動會引起線段、角度甚至圖形形狀的改變[１]．運用二次函數解決初中數學中的動點問題，既要厘清點與線段、角度、圖形的邏輯關系，又要注重二次函數性質的活用以及所求問題的靈活轉化，實現動點問題的巧妙突破．

１ 幾何圖形類動點問題

例１ 如圖１，已知直角三角形ABC 中∠C＝９０°，BC＝６，AC＝１０．D 為AC 的中點，P 是BC 上的一動點．將點P 繞著點D 逆時針旋轉９０°得到點P′，則AP′的取值范圍為_________．

分析：深刻理解題意，確定點P 運動過程中“變”與“不變”的量，構建“變”與“不變”量之間的內在聯系是解題的關鍵．需要注意的是構建參數關系時應結合實際情況，以避免不必要的計算[２]．該題中借助△DCP≌△P′ED 實現“變量”的轉化，創設勾股定理應用情境，借助二次函數性質作答，尤其為避免分類討論，需注重絕對值的巧妙應用．

解：過點P′向AC 作垂線，垂足為E，如圖２所示．

由題設可知，CD ＝DA ＝５，DP ＝DP′，∠PDP′＝９０°．

由∠CDP ＋∠EDP′＝９０°，∠EDP′ ＋ ∠EP′D ＝９０°，得∠CDP ＝∠EP′D ，于是△DCP ≌△P′ED （AAS），則PC＝DE，CD ＝EP′＝５．

令PC＝DE＝x（０≤x≤６），則AE＝DA －DE ＝|５－x|．

在Rt△AEP′中，由勾股定理可得AP′２＝AE２＋EP′２＝（５－x）２＋２５（０≤x≤６）．

由二次函數性質可得，當x ＝０ 時，AP′２ ＝５０，AP′＝５ ２，此時，點P 和點C 重合，點D 和點E 重合;當x＝５時，AP′２＝２５，AP′＝５．

需要注意的是，當x＝６時，點E 在線段CA 的延長線上．

綜上，AP′的取值范圍是５≤AP′≤５ ２．

２ 拋物線類動點問題

例２ 如圖３，已知拋物線過A（－２，０），B（８，０），C（０，４）三點，點D 和點C 關于x 軸對稱，點P（m ，０）為x 軸上的一個動點，過點P 作x 軸的垂線l 和拋物線、直線BD 分別交于點Q，M ．

（１）求該拋物線的表達式．

（２）若點F（０，１），當點P 在x 軸上運動，使得四邊形DMQF 為平行四邊形，求m 的值．

（３）點P 在線段AB 上運動期間，是否存在點Q，使得以點B，Q，M 為頂點的三角形與△BOD 相似？若存在，求出點Q 的坐標;若不存在，請說明理由．

分析：該題由三個小問構成，難度依次增加．對于問題（１），采用待定系數法即可求解;問題（２）需靈活應用平行四邊形的判定定理，借助坐標運算建立線段FD 和線段QM 的相等關系，求出參數m ;問題（３）因△BQM 中的直角不確定，需分類討論，討論過程中應注意二次函數對應方程根的情況，將根代入題設情境進行合理取舍，保證最終結果的正確性．

解：（１）根據題意，設拋物線表達式為y＝a（x＋２）（x－８），將C（０，４）代入解得a＝－１４，則拋物線的表達式為y＝－１４（x＋２）（x－８）＝－１４x２＋３２x＋４．

（２）由點D 和點C 關于x 軸對稱，得D（０，－４）．設直線BD 的方程為y＝kx＋b，將點D 、點B 的坐標分別代入得b＝－４，８k＋b＝０， { 解得b＝－４，k＝１２．