巧解含參不等式(組)整數解問題

摘要：求解含參的不等式（組）的參數值（或范圍）是各省市中考命題的一個熱點，特別是近年出現的不等式組中每個不等式都含有參數，求參數范圍的問題難度增大．文章借用數軸，結合數形結合思想，剖析含參不等式組中由整數解求參數值的問題，進一步發展學生分析問題、解決問題的能力及數學核心素養．

關鍵詞：含參的不等式組;數形結合;求解策略

對于只有一個不等式含參數的不等式組，求參數值（或范圍）問題是中考的一個重要考點，大多數學生通過多次訓練或許能夠掌握．而對于不等式組中每個不等式都含有參數的問題，命題涉及較少．這類問題又該如何解答呢？ 下面結合例題進行剖析．

１ 整數解個數（或數值）明確

例１ （２０２３黃石中考四月模擬）如果關于x 的不等式組３x－a≥０，２x－b＜０ { 的整數解僅為２，且a，b 都為整數，則代數式２a２＋b 的最大值為_________．

解：解不等式３x－a≥０，得x≥a３;

解不等式２x－b＜０，得x＜b２．

又不等式組有解，所以a３≤x＜b２．

由題意知，不等式組的整數解僅為２，將不等式組的解集及數a３，b２所表示的點標在數軸上，如圖１所示．

移動表示數a３，b２的點，可得１＜a３≤２，２＜b２≤３．

解得３＜a≤６，４＜b≤６．

又a，b 均為整數，當a＝６，b＝６時，２a２＋b 取得最大值為２×６２＋６＝７８．

點評：此題用用含a，b 的式子表示不等式組的解集;再根據解集中“整數解僅為２”，建立與a，b 有關的新的不等式組，從而確定參數a，b 的范圍（或取值）．

例２ （２０２１ 武昌）若關于x 的不等式組６x－a＞０，５x－b＜０ { 的整數解僅有１，２，３，則a＋b 的取值范圍是___________．

解：解不等式組６x－a＞０，５x－b＜０， { 得x＞a６且x＜b５．

又不等式組有解，則a６＜x＜b５．

由題意知，不等式組的整數解僅有１，２，３，將不等式組的解集及數a６，b５所表示的點標在數軸上，如圖２所示．

移動a６，b５

所表示的點，比較可得０≤a６＜１，３＜b５≤４．

解得０≤a＜６，１５＜b≤２０．

所以１５＜a＋b＜２６．

點評：借助數軸，將表示a６和b５的點在適當的位置標出來是解題的關鍵，其中端點能否取到也是值得注意的易錯點．

例３ （２０１７廣西百色中考）關于x 的不等式組x－a≤０，２x＋３a＞０ { 的解集中至少有５個整數解，則整數a 的最小值是．

解：由x－a≤０，２x＋３a＞０， { 得x≤a，x＞－３２a． { 又不等式組有解，則－３２a＜x≤a．

由題意知，不等式組的解集中至少有５個整數解，將表示－３２a 和a 的點在數軸上表示出來，如圖３所示．