動態幾何問題的解題探究

摘要：初中數學中動態幾何問題是難點，不少學生面對動態幾何問題，常常不知如何入手．為了幫助學生掌握動態幾何問題的解題方法，教師根據動態幾何問題的特點，對其解題方式進行歸納總結，結合典型例題，將解題方法展現出來，引導學生把握解題細節，能夠做到學以致用、舉一反三．

關鍵詞：中學數學;動態幾何問題;解題

對于動態幾何問題，解題的思路比較多，如利用函數性質、圖形性質、點的對稱知識、圖形關系以及數形結合等，解題時需要根據題目的特點選擇合適的思路．點對稱的動態幾何問題是根據“將軍飲馬模型”轉化的，圖形關系則是根據圖形的全等或者相似而來的．本文中結合具體實例，探究初中數學中動態幾何問題的解題方法．

１ 利用函數性質解決動態幾何問題

動態幾何問題通常比較復雜，難度較大，特別是求解最值問題時，利用函數性質解題是常見的思路．在解題過程中，需要仔細審題，理解題意，明確線段、角之間的關系，設出相應的參數，表示出求解參數的表達式，之后根據一次函數、二次函數和反比例函數性質完成解答．在解題時，最值與自變量有著直接關系，需要根據題意，確定自變量的范圍[１]．

例１ 如圖１所示，矩形ABCD 中，AB ＝１０cm，AD＝６cm，動點E 從點A開始以１cm/s的速度沿著AD 向點D 移動，另有一個動點F 從點D 出發，以２cm/s的速度沿著DC 向C 點移動，設移動的時間為ts，當S△DEF ＋S△ABE 取最大值時，t 的值是（ ）．

A．２ B．３ C．７２" " " " " D．１１２

分析：此題創設的情境并不十分復雜，根據動點的運動速度，可以得出DF＝２AE，將點的運動變化轉化成線段的長度關系．根據已知條件中的參數，設出AE 的長度，用AE 表示出三角形的面積和，將問題轉化成二次函數的最值問題．

解析：由題意得AE ＝t cm，DF ＝２t cm，所以S△ABE ＝１２×AB×AE ＝５t，S△DEF ＝１２×DE ×DF ＝（６－t）t．故S△DEF ＋S△ABE ＝（６－t）t＋５t＝－t２＋１１t（０＜t＜５）．又－t２＋１１t＝－ （t－１１２ ）２＋１２１４ ，所以當t＝１１２時，S△DEF ＋S△ABE 的值最大．故正確答案是選項D．

點評：此題根據矩形和三角形的性質設計問題，結合點的變化對三角形面積的影響，引導學生聯想一次函數、二次函數或者反比例函數，結合特點寫出函數表達式，進而利用函數的性質解題．考查學生對函數性質的掌握和利用．

２ 結合圖形性質解決動態幾何問題

在求解動態幾何問題時，利用圖形性質是一種比較常見的思路．初中數學中圖形比較多，如三角形、正方形、長方形、圓等，每種圖形有其特有的性質．在求解問題時，通過分析題目中的圖形，利用線段與角之間的關系，找出運動中的變量與不變量，明確解題突破點．

例２ 在平面直角坐標系xOy 中，點A 坐標是（１２，０），點B 坐標是（０，９），經過點O 作一個圓和AB相切，圓與x 軸、y 軸分別相交于點P ，Q，則線段PQ的最小值是（ ）．

A．６ ２ B．１０ C．７．２ D．６ ３

分析：通過審題發掘題目中的隱藏信息．在圓運動的過程中，∠QOP ＝９０°是不變的，圓和AB 相切是不變的．根據圓的性質分析，求解PQ 的最小值就是求解動圓直徑的最小值．結合已知條件，當圓的直徑是三角形ABO 中AB 邊上的高時，圓的直徑最小．

解析：如圖２ 所示，設F 是PQ 的中點，因為∠QOP ＝９０°，所以F 是動圓的圓心．設圓與AB 的切點是D ，連接OF，FD ，則FD ⊥AB．因為點A 坐標是（１２，０），點B 坐標是（０，９），所以AB ＝１５．因為∠AOB ＝９０°，所以FO ＋FD ＝PQ，FO ＋FD ≥OD ，當F，O，D 三點共線時，PQ 取得最小值，此時PQ＝OD ．因為S△AOB ＝１２OB OA ＝１２OD AB，所以OD ＝OA OBAB ＝７．２．故正確答案為選項C．

點評：此題將圖形與坐標系結合，要求學生認真審題，根據圓的性質發掘隱含條件，如直徑對應的圓周角為直角．通過這樣的方式，對問題進行轉化，完成題目的解答，考查學生對圖形性質的掌握與應用．

３ 利用點的對稱解決動態幾何問題

在初中數學動態幾何問題中，利用點的對稱解題是一種有效的方式，“將軍飲馬模型”是具有代表性的問題．在動態幾何問題的求解中，根據題目條件選擇合適的點，找出對稱的線段，根據圖形性質確定對稱點的問題，作出輔助線，構建相應的圖形，利用圖形性質和相關定理求解線段長度[２]．

例３ 如圖３所示，在菱形ABCD 中，∠D ＝１３５°，AD ＝３ ２，CE ＝２，動點P ，F 分別在線段AC，AB上，則PE ＋PF 的最小值是（ ）．

A．２ ２ B．３ C．２ ５ D．１０

分析：解答此題時，根據“將軍飲馬模型”，找出點E 關于AC 的對稱點，結合菱形的性質，可以確定對稱點在CD 上，當對稱點與P ，F 三點共線時，PE ＋PF最小．作出輔助線，構建直角三角形，根據題目中的已知條件，求解出線段之和的最小值．

解析：設點E 關于AC 的對稱點為G，因為四邊形ABCD 是菱形，所以點G 在CD 上．連接PG，BG，過點B 作BH ⊥CD ，垂足為H ．根據菱形的性質可以得出CE＝CG ＝２，PE ＝PG，要求PE ＋PF 的最小值，即求PG＋PF 的最小值．因為點P ，F 是動點，所以當G，P ，F 三點共線時，PG ＋PF 取最小值．因為∠D ＝１３５°，AD ＝３ ２，CE ＝２，所以∠BCD ＝４５°，得出BH ＝CH ＝３ ２cos４５°＝３，HG ＝CH －CG ＝１．在直角三角形BHG 中，GB ＝ BH２＋HG２ ＝ １０，所以PE＋PF 的最小值為１０．故正確答案是選項D．

點評：點對稱的動態幾何問題源自于“將軍飲馬模型”．在解題時，根據“將軍飲馬模型”，結合條件準確找出點的對稱點，構建相應的圖形，利用圖形性質和相關定理解題．如，此題中構建直角三角形，利用勾股定理進行求解．

４ 分析圖形關系解決動態幾何問題

在解答一些初中動態幾何問題時，可以根據圖形關系分析等量關系與比例關系，運用平行線性質、三角形全等與相似等知識思考解題思路．解答此種類型題目時，可以采用逆向推理的方式，從需要求解的問題入手，分析需要的解題條件，作出相應的輔助線，找出問題與已知條件的聯系，明確問題解答思路．

例４ 平面直角坐標系中，點A 坐標為（３，４），點C 坐標為（x，０）且－２＜x＜３，點B 是直線x＝－２上的動點，且BC ⊥AC，連接AB．設AB 與y 軸正半軸的夾角是α，當tanα 取最大值時，x 的值是（ ）．

A．１２" " " " " " B．３ ３２" " " " " "C．１ D．１３

分析：根據題意，利用平行線的性質，將角轉化到三角形中，表示出角的正切，將問題轉化成求解線段BG 的最大值．根據題目已知條件，利用三角形相似的性質，找出線段之間的關系，完成問題的求解．

解析：如圖４，過點A 作AF垂直于x 軸，垂足為F，作AH 垂直于直線x＝－２，垂足為H ．因為y 軸與直線x ＝ －２ 平行，所以tanα＝AHBH ．又因為AH ＝５，所以tanα＝ ５ BH ．當tanα 取最大值時，即BH 取最小值，此時BG 取最大值．因為BC ⊥AC，所以∠BCO ＋∠ACF ＝９０°，又∠BCO ＋∠CBG ＝９０°，所以∠CBG＝∠ACF，故△BGC∽△CFA ．設BG ＝y，又CF＝３－x，CG ＝x＋２，則由BGCF ＝CGAF 得y３－x ＝x＋２４ ，所以y＝－１４（x－１２）２＋２５１６（－２＜x＜３），因此當x＝１２時，tanα 取最大值．故正確答案是選項A．

點評：解答此類問題時，需要對圖形進行觀察分析，利用輔助線構建圖形，結合線段平行、三角形相似等知識，對問題進行分析解答．主要考查學生對知識的理解與綜合利用．

５ 結語

對于初中數學動態幾何問題的解題教學，教師應當結合具體例題，向學生展示解題思路與方法，借助圖形的變化，讓學生直觀了解數量關系．同時，教師應當注重與學生的交流，創設良好的課堂環境，加深學生的課堂學習體驗，幫助學生理解和掌握不同類型問題的解題方法，提高解題能力．

參考文獻：

[１]陳偉寧．動中分析，靜中求解———談中考動態幾何壓軸題的解題策略[J]．中學數學研究（華南師范大學版），２０２０ （４）：４２Ｇ４５．

[２]王涵．初中數學動態幾何問題的解題方法[J]．數理化解題研究，２０２２（２６）：２Ｇ４．