例析運用兩種思想破解中考壓軸題

摘要：初中數學中考壓軸題的題型主要包括線段與角的計算和證明、圓與三角形的位置關系、函數與方程、動態幾何與函數，以及交叉函數等問題．考生對于中考數學壓軸題普遍有種恐懼感，本文中結合數形結合、函數與方程以及等價轉化等思想，提出了幾種解題策略和技巧，以提升考生對于中考數學壓軸題的答題信心．

關鍵詞：初中數學;中考;壓軸題;解題策略

考生對于中考數學的壓軸題普遍有種恐懼感，主要問題在于解題思路不清晰，錯解、漏解率較高等．這些問題嚴重影響了考生對中考數學壓軸題的答題信心．如何解決上述痛點，提升考生信心呢？ 本文中結合數形結合、函數與方程以及等價轉化等思想，提出了幾種中考數學壓軸題的解題策略．

１ 運用數形結合思想

數形結合思想是指運用幾何性質來構建已知與未知變量之間的代數關系，借助幾何性質來求解代數問題，或者借助代數關系求解幾何問題．

線段與角的證明題通常不難，然而，解題的關鍵點卻不容易挖掘．比如在幾何圖形中，通過畫一條輔助線來構建已知變量與未知變量之間關系，巧解線段與角的證明問題．再如，繞三角形的頂點整體旋轉三角形，并借助三角圖形的關系，構建已知變量與未知變量之間的函數關系，巧解動態三角形與函數問題．參考人教版２００９年蘇州中考試題第２９題進行的題型設計，如例１所述：

例１ 如圖１Ｇ１所示，在△ABC 中，AB ＝AC ＝３，∠B＝３０°，△ABC 繞點A 順時針旋轉了α（０＜α＜１２０°），得到一個新的三角形△ADE，并且分別與△ABC 的邊AB，BC 相交于點H ，K ．BK ＋KH ＝x，求解如下３ 個問題：（１）∠KBE 與∠KEB 的關系;（２）線段EH 的長度;（３）若△ADH 的面積為y，求y與x 的函數關系式并指出函數圖象是什么曲線？

解：（１）連接BE，過點A 作AG ⊥DE 于點G，如圖１Ｇ２所示．在△ABC 中，因為AB ＝AC ＝３，∠B ＝３０°，以及△ADE 與△ABC 全等，所以AB ＝AE．故∠KBE＝∠KEB．

（２）由（１）知KB＝KE，又因為BK ＋KH ＝x，所以EH ＝EK ＋KH ＝BK ＋KH ＝x．即線段EH 的長度為x．

（３）根據已知可得△ADH 的面積為y＝１２×DH ×AG．因為EH ＝x，AB ＝AC ＝３，∠B ＝３０°，所以在等腰三角形ADE 中，AG ＝３２，DG ＝３ ３２ ，DE ＝２DG ＝２×３ ３２ ＝３ ３．所以DH ＝DE－x＝３ ３－x．

所以y 與x 的函數關系式為y＝１２×（３３－x）×３２，即y＝３４（３ ３－x），其圖象為一條直線．

綜上，運用數形結合思想，借助輔助線，構建了已知量與未知變量之間的代數關系，并且結合已證明的幾何性質，構建了已知量與未知變量之間的函數關系．通過幾何圖形性質與代數數量關系之間的轉化，巧解了線段與角的證明以及動態幾何與函數問題．

２ 運用函數與方程思想

函數與方程思想是指通過設定未知數，運用已知條件，或者是已證明或計算的結論構建方程的方法．

初中數學中所學函數包括一次函數，二次函數和反比例函數．一次函數和二次函數的綜合問題經常出現在中考解答題中，該類題型的難度適中．比如，分別求解一次函數、二次函數的解析式，然后結合直線與拋物線的位置關系，利用一次函數與二次函數解析式聯立后所得方程的判別式構建數量關系．

動點與函數類問題，比如圍繞線段上的動點與拋物線上的點，結合已知求解線段所在直線和拋物線的解析式，構建線段上的動點和拋物線上點的坐標的數量關系，并根據已知兩點的坐標，再構建已知變量與未知變量之間的方程，利用函數求解相應的問題．參考人教版２０１３年上海中考試題第２４題進行的題型設計如例２所述：

例２ 如圖２Ｇ１所示，已知拋物線y＝ax２－bx＋c（a≠０），與x 軸相交于兩點A（－２，０）和B（４，０），與y 軸相交于點C（０，－５），頂點為M ．求解如下３個問題：（１）拋物線y＝ax２－bx＋c（a≠０）的解析式．（２）與直線BC 平行并與拋物線y＝ax２－bx＋c（a≠０）只有一個交點的直線的解析式．（３）若線段AM 上有一個動點N ，與拋物線上的點H 構成線段NH ，并且線段NH 平行于y 軸，求線段NH 取得最大值時，點N 的坐標．

解析：（１）拋物線y＝ax２ －bx＋c（a≠０）的解析式中，系數a，b，c 為未知參數，由該拋物線與x 軸相交于兩點A（－２，０）和B （４，０），且與y 軸相交于點C（０，－５），構建方程組

４a＋２b＋c＝０，１６a－４b＋c＝０，c＝－５．ì?í ????

解上述三元線性方程組，得a＝５８，b＝５４，c＝－５．

因此，拋物線的解析式為y＝５８x２－５４x－５．

（２）如圖２Ｇ２所示，與直線BC 平行且與拋物線只有一個交點的直線EF 的斜率相等，并且直線EF 的解析式與拋物線的解析式y＝５８x２－５４x－５聯立后消去y 的方程有兩個相等的根．

設直線EF 的解析式為y＝kx＋b（k≠０）．根據拋物線y＝５８x２－５４x－５與x 軸相交于點B（４，０），與y 軸相交于點C（０，－５），求得直線BC 的斜率k＝５４，因此直線EF 的解析式為y＝５４x＋b．將拋物線的解析式與直線EF 的解析式聯立，消去y，得關于x 的方程５x２－２０x－４０－８b＝０．

根據拋物線與直線EF 只有一個交點，即方程５x２－２０x－４０－８b＝０有兩個相等的實數根，由此結合直線與拋物線的位置關系，構建一次函數與二次函數聯立后關于x 的方程系數的數量關系，即Δ ＝４００＋２０（４０＋８b）＝１２００＋１６０b＝０，求得b＝－２１５．

故直線EF 的解析式為y＝５４x－２１５．

（３）由拋物線的解析式y＝５８x２－５４x－５，求得頂點M 的坐標為（１，－４５８ ） ，又拋物線與x 軸相交于點A（－２，０），因此可求得線段AM 所在直線的解析式為y＝－１５８x－１５４．

因為N 為線段AM 上的一個動點，所以設點N的坐標為（xN ，－１５８xN －１５４ ） （－２≤xN ≤１）．又線段NH 與y 軸平行，所以設拋物線上的點H 的坐標為（xN ，５８xN ２ －５４xN －５） ．于是可以求得NH ＝５８（－xN ２－xN ＋２）＝ ５８－（xN ＋１２）２＋９４é? êêù? úú，當xN ＝－１２時，線段NH 取得最大值３８１０，此時點N 的坐標為（ －１２，－４５１６） ．

綜上，運用函數與方程思想，設定合適的未知數，根據已知條件以及已經證明或者計算的結論，結合直線與拋物線的位置關系，構建一次函數與二次函數解析式聯立后方程的系數間數量關系，求解一次函數和二次函數的綜合問題．圍繞線段上的動點與拋物線上點，結合已經計算或者證明的線段所在直線和拋物線的解析式，構建線段上的動點和拋物線上點的坐標的數量關系，并根據已知兩點之間的坐標關系，再構建已知與未知變量之間的方程，求解函數關系取得最值時的解．

通過幾何圖形性質與代數數量關系之間的轉化，巧解了線段與角證明以及動態幾何與函數問題．運用函數與方程思想，設定合適的未知數，結合直線與拋物線的位置關系，構建相應的數量關系，求解函數綜合問題．有關線段上的動點與拋物線上的點對應線段的最值問題，構建已知變量與未知變量之間的關系，進而求解函數關系取得最值時的解．上述解題策略，可幫助學生提升解答中考數學壓軸題的信心．