提升初中學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力三部曲

摘要：學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的就是運用所學(xué)的認(rèn)知解決相應(yīng)的問題，換言之，教師教學(xué)的目的就是要培養(yǎng)學(xué)生的解題能力，以讓他們學(xué)以致用．解題能力是基本的數(shù)學(xué)能力也是教師教學(xué)中需要培養(yǎng)的重要能力．學(xué)生解題的過程就是利用數(shù)學(xué)認(rèn)知、思想、方法等來分析問題的過程，也是驗證認(rèn)知、反思學(xué)習(xí)狀況的過程．教師可通過指導(dǎo)學(xué)生參與解題、分類討論、數(shù)形結(jié)合這三部曲來提升學(xué)生的解題能力．解題過程的好與差，直接影響學(xué)生的學(xué)習(xí)信心和學(xué)習(xí)效果．因此，教師要用好三部曲，以調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性和創(chuàng)造性，進而順利完成任務(wù)，提升學(xué)科素養(yǎng)．

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué);三部曲;解題能力

當(dāng)前部分初中學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力不強，只要題目稍微發(fā)生改變，他們就無從下手;只要之前沒出現(xiàn)過的題目，他們也基本全軍覆沒．這其中有一個重要的原因就是部分學(xué)生獲得解題能力的方式還是以教師的講解和自己的記憶為主，沒有理解題目的本質(zhì)，沒有內(nèi)化數(shù)學(xué)認(rèn)知，沒有歸納有效的數(shù)學(xué)解題方法．因此，教師要改變教學(xué)方式，以學(xué)生為主體，以他們自主解題為主，自己進行分類討論，數(shù)形結(jié)合，在切實豐富數(shù)學(xué)建模經(jīng)驗的同時，也為解題能力的全面提升做好充足準(zhǔn)備．

１ 指導(dǎo)學(xué)生參與解題，突出學(xué)生主體地位

數(shù)學(xué)家波利亞認(rèn)為解題的價值不是答案本身，而在于要弄清楚這個解法是怎樣得到的．如果學(xué)生能主動地參與到題目的解決中來，教師只在必要時相助，那么這樣的解題價值無疑是最大的．因為在這個過程中，學(xué)生自主地把知識與問題聯(lián)系起來思考、分析與探索，進而也最大可能地促進解題能力的發(fā)展．

以人教版初中數(shù)學(xué)八年級上冊“等腰三角形”為例，教師創(chuàng)設(shè)這樣的題目：能不能將一個等邊三角形分割成四個等腰三角形？ 教師沒有告訴學(xué)生這題該怎么做，也沒有提醒他們本題需要哪些相關(guān)的認(rèn)知，而是讓他們直接參與到題目的解決中來．學(xué)生先在紙上畫出若干個等邊三角形，然后試著去分割，想到通過動手操作來找尋解決的方法．

如圖１所示，有學(xué)生是這樣操作的，先取三角形一邊的中點，然后將其與另外兩邊的中點及該邊所對的頂點相連．可以清晰地看出來，原先的等邊三角形被分成兩個小等邊三角形和頂角為１２０°的兩個等腰三角形．學(xué)生在折疊與討論中還發(fā)現(xiàn)了另外一種解法．先確定原等邊三角形的中心，接著將中心與三角形一邊的兩個端點相連，最后再過中心作與該邊平行的直線，如圖２所示，圖中出現(xiàn)了四個等腰三角形．筆者追問還有沒有別的解法，學(xué)生嘗試著畫出三條邊的中點，再將中點連接起來并標(biāo)注對應(yīng)的角度，如圖３所示，四個特殊的等腰三角形昭然在目．因此，教學(xué)中教師要讓學(xué)生真正地參與題目的解決，而不是只聽教師的講解．

綜上，指導(dǎo)學(xué)生參與解題可以激發(fā)學(xué)生的主動性和探索精神，培養(yǎng)解決問題的能力．通過實際操作和探索，學(xué)生會更加深入地理解數(shù)學(xué)的原理與公式等，培養(yǎng)觀察、分析和歸納能力．同時，這種教學(xué)方式還能促進學(xué)生之間的交流和合作，激發(fā)他們的思維，拓寬思路．可見，通過主動參與解決問題，學(xué)生能夠更加深入地理解數(shù)學(xué)的概念和原理，提高學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)效果．

２ 指導(dǎo)學(xué)生分類討論，提高學(xué)生解題能力

提升初中學(xué)生的解題能力需要培養(yǎng)他們具備一定的數(shù)學(xué)思想，也就是說要會運用不同的數(shù)學(xué)思想去解決不同的問題．分類討論是重要的數(shù)學(xué)思想，這一思想的宗旨是將大問題轉(zhuǎn)化為若干個小問題，即將復(fù)雜的問題化為簡單的問題．在分類討論思想的運用中，學(xué)生思維的條理性與縝密性能得到有效提升．學(xué)生在分類的過程中會逐漸做到不重不漏，會關(guān)注結(jié)果應(yīng)滿足題干和具有的實際意義等，就是說，在分類的過程中學(xué)生的解題能力能得到進一步發(fā)展．

以人教版初中數(shù)學(xué)九年級下冊“相似三角形”為例，教師設(shè)置了這樣的題目：如圖４，正方形ABCD 的邊長為２，BE ＝CE，MN ＝１，線段MN 的兩端在CD ，AD 上滑動，當(dāng)△ABE 與以D ，M ，N 為頂點的三角形相似時，DM 的長為多少？[１]

學(xué)生首先想到要解決這道題需要用到相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)等．要求DM 的長，就要從已知的線段，比如AB、MN 入手．他們觀察到這兩條已知線段分別在兩個不同的三角形中，利用這兩個三角形形似的條件，就可以得出結(jié)論．此時教師提醒學(xué)生運用相似三角形這一條件就要對應(yīng)好各自的邊．學(xué)生發(fā)現(xiàn)AE 對應(yīng)的邊是NM ，都是斜邊，沒有問題．但是DM 對應(yīng)的邊是AB，還是BE 呢？ 是兩種都符合，還是只有一種符合呢？ 他們先是列出DM 的對應(yīng)邊是BE 的情況，即DM ∶BE ＝MN ∶AE;接著列舉出DM 的對應(yīng)邊是AB 的情況，即DM ∶BA ＝MN ∶AE．由此求得兩個不同的解，發(fā)現(xiàn)都符合題意．可見，分類思想能讓學(xué)生在不同的層面對問題進行考慮，進而分析出內(nèi)在規(guī)律，獲得正確的解題方法．

可以看出來，通過分類思想的引導(dǎo)，學(xué)生能夠全面考慮問題，從而更深入地理解知識點和解題方法，提高學(xué)習(xí)效果和學(xué)習(xí)興趣．此外，這種教學(xué)方式還能培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和合作學(xué)習(xí)能力，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣和積極性．

３ 指導(dǎo)學(xué)生數(shù)形結(jié)合，提高學(xué)生解題能力

數(shù)形結(jié)合是重要的數(shù)學(xué)思想，利用數(shù)形結(jié)合思想能更好地解決一些抽象的問題．初中學(xué)生的抽象思維盡管有了一定的發(fā)展，但形象思維仍然占主導(dǎo)地位．教師要運用學(xué)生的優(yōu)勢思維，利用數(shù)形結(jié)合思想，將抽象思維轉(zhuǎn)為形象思維，進而提升解題能力．

以人教版初中數(shù)學(xué)九年級上冊“一元二次方程”為例，教師設(shè)置了這樣的題目：方程－x２＋５x＋２＝２x有多少個正根？ 學(xué)生一般會想到直接解分式方程，進而確定方程根的個數(shù)．學(xué)生在計算的過程中會發(fā)現(xiàn)方程的求解過程還是比較復(fù)雜的．教師此時提醒他們能不能從數(shù)形結(jié)合的角度去考慮．學(xué)生認(rèn)為將方程與形結(jié)合可將該問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點的個數(shù)問題，于是將這個分式方程的正根問題轉(zhuǎn)為拋物線y＝－x２＋５x＋２與雙曲線y＝２x在y 軸右側(cè)的交點問題[２]．

要畫出拋物線與雙曲線，首先要明確它們的圖象特點．對于雙曲線，要判斷它是分布在一、三象限，還是二、四象限;對于拋物線，要判斷它的開口的方向是向上還是向下．有了這此思考，再畫出如圖５所示的草圖，發(fā)現(xiàn)兩函數(shù)圖象有三個交點，再結(jié)合x＞０這一條件，很快得出方程－x２ ＋５x＋２＝２x有兩個正根．通過數(shù)形結(jié)合，不僅減少了繁瑣的計算很快解決了問題，而且運用數(shù)形結(jié)合解題也便于檢驗，正確率較高．因此，在教學(xué)的過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會如何將問題向圖形轉(zhuǎn)化，再運用圖形去解決問題．學(xué)生首先要思考題目可以轉(zhuǎn)化的圖形有哪些，這些圖形運用的原理有哪些，做好轉(zhuǎn)化的準(zhǔn)備．可見，數(shù)形結(jié)合需要教師引導(dǎo)學(xué)生尋找轉(zhuǎn)化的點，需要學(xué)生在心中先存“形”，再創(chuàng)圖，最后借圖解決問題．

通過數(shù)形結(jié)合的方法，學(xué)生將抽象的數(shù)學(xué)概念轉(zhuǎn)化為具體的圖形形象，更易于理解和記憶．同時，這種教學(xué)方式也能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力和問題解決能力，激發(fā)他們的數(shù)學(xué)興趣和學(xué)習(xí)動力．此外，通過數(shù)形結(jié)合，學(xué)生能夠進行幾何證明和推理，強化了他們的邏輯推理能力．在實踐中，學(xué)生也能更好地理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識，提高解題的準(zhǔn)確性和效率．綜上所述，數(shù)形結(jié)合的教學(xué)方式能夠促進學(xué)生的綜合素養(yǎng)和數(shù)學(xué)能力的全面發(fā)展．

４ 結(jié)束語

總之，教師需要激發(fā)學(xué)生的潛能，以讓他們在展示自我的過程中，全面提升解題能力．讓學(xué)生參與解題能改變傳統(tǒng)的以教師為主體的教學(xué)方式，將解題變成學(xué)生自己的個性展示．教師引導(dǎo)學(xué)生分類討論能幫助他們簡化問題，將雜合在一起的情況分而治之，各個擊破．同樣地，教師指導(dǎo)學(xué)生數(shù)形結(jié)合解題能培養(yǎng)他們借助具體的圖形梳理數(shù)學(xué)問題的能力．一言以蔽之，以上的解題三部曲能提升學(xué)生實際的解題能力，進而提升他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力．

參考文獻：

[１]林燕群．波利亞“怎樣解題表”在解題中的應(yīng)用———以一道初中九年級幾何綜合習(xí)題為例[J]．教育觀察，２０１８：（１８）：２４Ｇ２６．

[２]唐凡．初中數(shù)學(xué)完善學(xué)生問題解決經(jīng)驗的教學(xué)策略———以實際問題與二次函數(shù)探究３為例[J]．新課程，２０２０（１４）：７９．