遇等長(zhǎng) 圓幫忙

每年的中考試題都對(duì)后續(xù)的教學(xué)具有引導(dǎo)性和指向性，作為一線數(shù)學(xué)教師，分析中考試題是很有必要的．縱觀南京市近幾年中考數(shù)學(xué)試題，有很多值得我們?nèi)ゼ?xì)細(xì)研究．挖掘試題要表現(xiàn)的內(nèi)涵，可以提升課堂教學(xué)的有效性，也能夠提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和效率，促進(jìn)學(xué)生邏輯思維、發(fā)散思維和高階思維的發(fā)展．解題時(shí)，學(xué)生如果能讀懂條件，揭示其本質(zhì)，挖掘出隱含信息就能從根本上解決問(wèn)題．本文中以南京的中考題和部分區(qū)的模擬題為例，尋找出“隱圓”，突出圓的獨(dú)特性質(zhì)來(lái)彰顯其魅力，現(xiàn)將筆者的思考與大家分享．

１ 試題呈現(xiàn)

（２０２１年南京中考第１５題）如圖１，在四邊形ABCD 中，AB＝BC ＝BD ．設(shè)∠ABC ＝α，則∠ADC＝____________ （用含α 的代數(shù)式表示）

２ 試題解讀

本試題以等腰三角形為背景，把兩個(gè)共腰的等腰三角形放在一起，考查已知等腰三角形的頂角求底角問(wèn)題．利用等腰三角形的性質(zhì)“等邊對(duì)等角”和三角形內(nèi)角和定理來(lái)解答此題時(shí)，需要進(jìn)行整體分析，學(xué)生可能不易想到．本題的取材是簡(jiǎn)單熟悉的圖形，題干簡(jiǎn)練，學(xué)生并不陌生，體現(xiàn)了考查的公平性，沒(méi)在圖形上給學(xué)生造成障礙，但求解的過(guò)程并不容易．由于∠ABC＝α 是兩個(gè)等腰三角形的頂角的和，因此實(shí)質(zhì)上是變相提醒學(xué)生要從整體上思考，滲透了對(duì)模型觀念以及抽象能力、運(yùn)算能力、推理能力的考查．本試題看上去像是考查等腰三角形基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，其實(shí)質(zhì)是考查學(xué)生運(yùn)用知識(shí)來(lái)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，體現(xiàn)了命題的導(dǎo)向性，對(duì)平時(shí)的教學(xué)提出了更高的要求，要求學(xué)生具有對(duì)平面圖形性質(zhì)的領(lǐng)會(huì)和感知能力、推理和轉(zhuǎn)化能力．

３ 試題解析

平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，題中條件AB ＝DB ＝CB，說(shuō)明點(diǎn)A ，D ，C 到點(diǎn)B 的距離相等，即點(diǎn)A ，D ，C 在以B 為圓心的圓上．上述試題解答如下．

解：如圖２，以B 為圓心，BA長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，在優(yōu)弧AC 上取一點(diǎn)M ，則∠ABC＝２∠AMC．

由∠ABC＝α，得∠AMC＝１２α．

又點(diǎn)A ，M ，C，D 在以B 為圓心的圓上，所以∠AMC＋∠ADC＝１８０°．

故∠ADC＝１８０°－∠AMC＝１８０°－１２α．

本解法的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)了A ，D ，C 三點(diǎn)共圓，巧妙借助圓來(lái)解答問(wèn)題，解法非常簡(jiǎn)單，學(xué)生容易掌握．解決問(wèn)題時(shí)，如果能夠想到利用已知條件作出輔助圓，在所給的題目中尋找“隱圓”來(lái)轉(zhuǎn)換問(wèn)題，便可快速求解．

４ 鏈接中考

試題１ （２０１８年南京中考第２０ 題）如圖３，在四邊形ABCD中，BC ＝CD ，∠C ＝２∠BAD ．O是四邊形ABCD 內(nèi)一點(diǎn)，且OA ＝OB＝OD ．

求證：（１）∠BOD ＝∠C;

（２）四邊形OBCD 是菱形．

分析：這里只分析第（１）問(wèn)．由題目條件中OA ＝OB＝OD ，可得點(diǎn)A ，B，D 到點(diǎn)O 的距離相等，即A ，B，D 三點(diǎn)在以O(shè) 為圓心，OA 長(zhǎng)為半徑的圓上，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓心角∠BOD 與圓周角∠BAD 的關(guān)系，再利用條件中的∠C ＝２∠BAD ，第（１）問(wèn)就很簡(jiǎn)單地解決了．

試題２ （２０２０年南京中考第１５題）如圖４，線段AB，BC 的垂直平分線l１，l２ 相交于點(diǎn)O，若∠１＝３９°，則∠AOC＝ ．

分析：連接BO，根據(jù)垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等，可知AO＝BO ＝CO，于是可得點(diǎn)A ，B，C 到點(diǎn)O 的距離相等，即A ，B，C 三點(diǎn)在以O(shè) 為圓心，OA長(zhǎng)為半徑的圓上，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓心角∠AOC與圓周角∠ABC 的關(guān)系，再利用四邊形有關(guān)知識(shí)求得∠１＝∠ABC，進(jìn)而得到∠AOC 的度數(shù)．

上面兩道中考題雖然也可以用等腰三角形的相關(guān)知識(shí)解答，但仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)有點(diǎn)O 以及一些相等的線段，能夠找到“隱圓”，再利用圓中相關(guān)性質(zhì)求解，非常簡(jiǎn)便，大大降低了題目的難度．抓住命題者的意圖，明確考查的知識(shí)要點(diǎn)，避免一些復(fù)雜的計(jì)算，為解題贏得了時(shí)間．

其實(shí)在平時(shí)各區(qū)模擬試題中也出現(xiàn)過(guò)類(lèi)似的試題，善于思考的學(xué)生能夠很快找到所解問(wèn)題的實(shí)質(zhì)．

５ 拓展訓(xùn)練

試題３ （２０２１年南師附中集團(tuán)二模第６ 題）如圖５，OA ＝OB ＝OC＝OD ，∠BOC ＋ ∠AOD ＝１８０°．若BC ＝４，AD ＝６，則OA 的長(zhǎng)為．

分析：由OA ＝OB ＝OC ＝OD ，可得點(diǎn)A ，B，C，D 到點(diǎn)O 的距離相等，即A ，B，C，D四點(diǎn)在以O(shè) 為圓心，OA 長(zhǎng)為半徑的圓上．要求OA 的長(zhǎng)，實(shí)際上求該圓的半徑（或直徑）即可．

試題４ （２０２１年玄武二模第１５題）如圖６，直線PQ 經(jīng)過(guò)正五邊形ABCDE 的中心O，與AB，CD 邊分別交于點(diǎn)P ，Q，點(diǎn)C１ 是點(diǎn)C 關(guān)于直線PQ 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接CC１，AC１，則∠CC１A的度數(shù)為°．

分析：本題中沒(méi)有直接給出線段相等，需要學(xué)生根據(jù)已有的條件進(jìn)行分析．已知點(diǎn)O 是正五邊形ABCDE的中心，則有OA ＝OB＝OC＝OD ＝OE．又由點(diǎn)C１ 是點(diǎn)C 關(guān)于直線PQ （PQ 經(jīng)過(guò)正五邊形ABCDE 的中心O）的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，可以得到OC ＝OC１．所以O(shè)A ＝OB ＝OC ＝OD ＝OC１ ＝OE，即A ，B，C，C１四點(diǎn)在以O(shè) 為圓心，OA 長(zhǎng)為半徑的圓上，進(jìn)而求出∠CC１A 的度數(shù)．

試題５ （２０２１年建鄴區(qū)一模第１５題）如圖７，在△ABC 中，AB ＝８ ２，BC ＝１０，DE 是AC的垂直平分線，分別交AC，AB于點(diǎn)D ，E，O 是線段DE 上一點(diǎn)．若OB ＝OC，OB ⊥OC，則DE ＝_____________．

分析：連接OA ．由O 是DE 上的一點(diǎn)，且DE 是AC 的垂直平分線，可得OA ＝OC．又因?yàn)镺B ＝OC，所以O(shè)A ＝OC＝OB，即A ，B，C 三點(diǎn)在以O(shè) 為圓心，OA 長(zhǎng)為半徑的圓上，從而得圓心角∠BOC 與圓周角∠BAC 的關(guān)系．由∠BOC ＝９０°，可知∠BAC ＝４５°，再解三角形得到DE 的長(zhǎng)．

６ 反思與啟發(fā)

教師的教學(xué)應(yīng)以學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考、主動(dòng)探究、合作交流，促使學(xué)生理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能，體會(huì)和運(yùn)用數(shù)學(xué)思想與方法，獲得基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)．

初中平面圖形中的等腰三角形、正多邊形、圓等都是軸對(duì)稱(chēng)圖形，這些圖形聯(lián)系緊密．近幾年的中考試題中常常涉及圖形的轉(zhuǎn)化、知識(shí)點(diǎn)之間的滲透，靈活性較強(qiáng)．由于圓中半徑相等，會(huì)形成等腰三角形，垂徑定理就是以半徑為腰的等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)在圓中的運(yùn)用．將求線段的長(zhǎng)度、角度問(wèn)題放在新的圖形中，解題的途徑多了起來(lái)，思維一下就活躍了，把原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為另一問(wèn)題來(lái)考慮，知識(shí)點(diǎn)就能融為一體．對(duì)于一些相等線段的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生充分體會(huì)題中的意境，找出“隱圓”并及時(shí)歸類(lèi)總結(jié)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)思考，提高他們的解題能力，促進(jìn)其數(shù)學(xué)思維的發(fā)展．

上文是研究如何挖掘圓這一基本圖形，特別是挖掘條件背后隱含的基本圖形，在某些特定的條件下，變隱為顯，爭(zhēng)取做到“圖中無(wú)圓，心中有圓”，為圓的性質(zhì)的巧妙運(yùn)用創(chuàng)造條件，從而利用所學(xué)的基本圖形來(lái)解決問(wèn)題，領(lǐng)會(huì)命題者的意圖．通過(guò)問(wèn)題解決，提升學(xué)生的解題能力和解題技巧，同時(shí)也大大提高了專(zhuān)題教學(xué)的效率．

波利亞曾說(shuō)過(guò)：一個(gè)專(zhuān)心、認(rèn)真?zhèn)湔n的教師能夠拿出一個(gè)有意義但又不太復(fù)雜的題目，去幫助學(xué)生挖掘問(wèn)題的各個(gè)方面，使得通過(guò)這道題，就好像通過(guò)一道門(mén)戶(hù)，把學(xué)生引入一個(gè)完整的理論領(lǐng)域．在與學(xué)生共同學(xué)習(xí)的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)并總結(jié)此類(lèi)問(wèn)題，提高了教師的內(nèi)在素養(yǎng)，也拓展了學(xué)生的解題思路．