把握三方面,利用二次函數性質解初中二次函數問題

摘要：二次函數解答題，對于初中生來說一直是一個很大的困擾．本文中在二次函數的定義、性質、圖象等基礎上，通過同類型例題總結怎樣把握三方面，利用二次函數的性質，采用數形結合和分類討論等數學思想方法去解決初中二次函數問題的方法．

關鍵詞：二次函數;初中數學;函數性質

解答二次函數的大題時，學生常見的問題通常是不知道怎樣數形結合、怎樣分析題目等[１]，不會根據二次函數圖象的對稱性以及對稱軸兩側的增減性進行分析．二次函數圖象開口方向的不同，對稱軸兩側的單調性也不同．開口向上的二次函數的頂點為圖象最低點，距離對稱軸越近則函數值越小;開口向下的二次函數的頂點為圖象最高點，距離對稱軸越近則函數值越大．結合上述性質，圍繞二次函數可以命制不同的函數問題．

其實這類問題只要把握住三方面就可以迎刃而解，下面以幾道題目舉例說明．

１ 例題剖析

例１ （２０２１年北京西城區期末）已知拋物線y＝－１２x２＋x 經過A （３n＋４，y１），B （２n－１，y２）兩點，若A ，B 兩點在拋物線對稱軸兩側，且y１＞y２，求n 的取值范圍．

第一方面：審題．了解二次函數，判斷二次函數的開口方向，計算對稱軸或頂點（求對稱軸或者頂點要根據題目而定）．

由題意，可知，a＝－１２，拋物線開口向下，對稱軸x＝－b２a＝－ １－１＝１．

第二方面：轉化信息．將題中函數值的大小關系轉換為圖象上的點到對稱軸距離的遠近關系．

由y１＞y２ 及拋物線開口向下，可知函數圖象的頂點為最高點．根據單調性，距離對稱軸越近函數值越大，因此可以判斷點B 到對稱軸的距離大于點A 到對稱軸的距離．

第三方面：分類討論，數形結合．分類討論后，結合第二方面進行不等式的計算．

（１）討論給定點間的位置關系．如果給定兩點A ，B，那么有兩種位置關系，即A 左B 右或A 右B 左．（如果給定多個點，則需根據給定點的數目進行分類討論．）

（２）討論給定點與對稱軸的位置關系．如果給定兩點A，B，那么有三種位置關系，即點A，B 均在對稱軸左側，點A，B 均在對稱軸右側，點A，B 分別在對稱軸兩側．（如果給定多個點，則需依據題意進行分類討論．）

注意：①此步驟要結合圖形分析．

②弄清題目已知條件，判斷并選擇以上分類討論的內容．

③列不等式計算時不要遺漏．

例１中已知A ，B 兩點在拋物線對稱軸兩側，所以無需討論給定的點與對稱軸的位置關系，只需討論給定點間的位置關系，具體有兩種情況，即A 左B 右，A 右B 左．

（ⅰ）A 左B 右：如圖１，根據點A ，B 的坐標和第二方面A ，B 兩點到對稱軸的距離分析，可以得不等式

２n－１＞１，

３n＋４＜１，

２n－１－１＞１－（３n＋４）． {

此不等式組無解．

（ⅱ）A 右B 左：如圖２，同上述步驟可得不等式

２n－１＜１，

３n＋４＞１，

３n＋４－１＜１－（２n－１）． {

解得－１＜n＜－１５．

綜上，－１＜n＜－１５．

例２ （２０２３年北京版萬維中考試題研究）已知拋物線y＝x２－４mx＋４m２－１，若這條拋物線經過點P（２m ＋１，y１），Q（２m －t，y２），且y１＜y２，求t 的取值范圍．

第一方面：審題．了解二次函數．

由題意可知a＝１，拋物線開口向上，對稱軸x＝－b２a＝－－４m２ ＝２m ．

第二方面：轉化信息．將題中函數值的大小關系轉換為圖象上的點到對稱軸距離的遠近關系．

由y１＜y２ 及拋物線開口向上，可知圖象有最低點，且點P 距離對稱軸的距離小于點Q 到對稱軸的距離．

第三方面：分類討論．結合第二方面進行不等式的計算．

由P （２m ＋１，y１），Q （２m －t，y２）和對稱軸x ＝２m 可知，無論t 取何值，點P 均在對稱軸右側，即只需討論點Q 與對稱軸的位置關系即可．

①點Q 在對稱軸右側：結合圖３ 可得不等式２m －t＞２m ＋１，解得t＜－１．

②點Q 在對稱軸左側：結合圖４ 可得不等式２m －（２m －t）＞２m ＋１－２m ．

解得t＞１．

綜上，t＞１或t＜－１．

總結：（１）相比于例１，例２并沒有確定的二次函數解析式，但是畫出已知條件確定的大致圖象進行分析也可以計算出參數的取值范圍．

（２）例２可判斷出無論t 取何值點P 均在對稱軸右側，這里更考查了對“給定點與對稱軸位置關系”進行分類討論的理解程度．

（３）列含多未知參數不等式時，要注意列能夠消去多余參數的不等式．

２ 真題演練

例３ （２０２０ 年北京中考）在平面直角坐標系xOy 中，M （x１，y１），N （x２，y２）為拋物線y ＝ax２ ＋bx＋c（a＞０）上任意兩點，其中x１＜x２．

（１）若拋物線的對稱軸為直線x＝１，當x１，x２ 為何值時，y１＝y２＝c？

（２）設拋物線的對稱軸為直線x＝t．若對于x１＋x２＞３，都有y１＜y２，求t 的取值范圍．

第（１）問要用好二次函數的對稱軸[２]．由拋物線的解析式y＝ax２＋bx＋c，可知函數恒過定點（０，c），又y１＝y２＝c 且x１＜x２，所以x１＝０．再由二次函數的對稱性可知，點M ，N 關于對稱軸對稱，即點M ，N 到對稱軸的距離相等，由此可列得１－x１ ＝x２ －１，解得x２＝２．所以，當x１＝０，x２＝２時，y１＝y２＝c．

第（２）問同樣從三個方面進行解答．

（２）第一方面：審題．了解二次函數．

由題可知，a ＞０，拋物線開口向上，對稱軸為x＝t．

第二方面：轉化信息．將題中函數值的大小關系轉換為圖象上的點到對稱軸距離的遠近關系．

由題中y１＜y２ 且拋物線開口向上，可知圖象有最低點，由上述函數值的大小關系可判斷點M 到對稱軸的距離小于點N 到對稱軸的距離．

第三方面：分類討論、數形結合．分類討論后，結合第二方面進行計算．

由x１＜x２ 可知，點M ，N 之間的位置關系確定，點M 在點N 的左側．所以只需討論定點與對稱軸的位置關系，一共有三種情況．

①點M ，N 均在對稱軸左側．

由第二方面推出的點M 離對稱軸更近，且點M在點N 左側，矛盾，故第一種情況不滿足條件．

②點M ，N 均在對稱軸右側，如圖５．

由圖象可知x≥t 時，恒有y１＜y２．

③點M ，N 在對稱軸異側，其中點M 在對稱軸左側，點N 在對稱軸右側，如圖６．

由圖象可知，x２－t＞t－x１，解得x１＋x２＞２t．又x１＋x２＞３，所以２t≤３，解得t≤３２．

綜上，t≤３２．

３ 總結

通過以上三個例題分析發現，把握三個方面可以清晰地分析題目，進而運用數形結合和分類討論等思想方法及二次函數的性質，解決同類型二次函數的大題，減少學生面對二次函數大題的困惑，提升學生的數學核心素養．

參考文獻：

[１]黃亞軍．初中生二次函數學習的難點與解決對策研究

[J]．數學大世界（上旬），２０２２（５）：６８Ｇ７０． [２]孫輝．用好二次函數圖象的對稱軸[J]．中學生數學，２０１４ （１２）：４Ｇ５．