特殊與一般思想在初中數學解題中的應用

摘要：從特殊到一般，再從一般到特殊，是認識事物的一般規律，這一規律在數學的認識活動中有著重要的應用.特殊與一般思想是初中數學重要的思想方法之一，本文中旨在通過舉例探討“特殊與一般”思想在解題中的應用策略.

關鍵詞：特殊與一般；初中數學；解題

特殊與一般思想具體到一個數學問題就是如果直接解決有困難，可以考慮用特殊情況來獲得結果，然后把解決特殊情況的方法或結論應用或者推廣到一般問題上，從而獲得一般性問題的解答.特殊化是以一種稱為“倒退”的方法，從“一般”到“特殊”，而反過來稱為“前進”的方法［1］.做題時把問題轉化為較容易解決的特殊情況，會有事半功倍的效果，尤其是做填空題、選擇題時，采用特殊與一般思想，可以避免“小題大做”，節約時間.

1 用字母表示數

用字母表示數是初中數學從有形的數字到抽象符號的質的飛躍，是發展符號意識的基礎，從“代表數字的信息”轉變為用字母代表未知元素、待定系數、根和系數之間關系等，體現了使用字母表達任意數的想法.當使用字母表示一定數量的實際問題時，應確定一組字母的值.在同一個問題上，不同的字母會表示不同的數字［2］.

例1先化簡，再求值：2－4x+2÷x2x2－4，其中x所取的值是在－2lt;x≤3內的一個整數.

解析：原式=2x+4－4x+25（x+2）（x－2）x2=2x－4x.

由-2＜x≤3，x≠0，x2-4≠0及x∈Z得，x的取值為-1，1，3.將x=－1，1，3代入原式，其值依次為6，－2，23.

2 特殊值的應用

“特殊”可以在一定程度內反映或表示“一般”，在解決數學問題時，通常先分析特殊情況，然后總結一般情況，即根據具體的條件，選擇符合條件的特殊值，然后使用條件或特殊圖形進行計算和推斷.

這類問題通常有一個共同點：題目包含一般條件，可以利用這些條件得出具體的結論或值.而特殊情況的答案通常與一般情況的答案相同.特殊值的選取必須符合特定條件.特殊值的選擇應盡可能簡單，以便計算和比較.當其中有不止一個未知量時，每個未知量之間應盡可能具有特殊數量關系，以幫助解決問題.

例2已知二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）圖象的對稱軸x=－12，開口向上，圖象與x軸有兩個交點，與x軸非負半軸的交點橫坐標大于1，下列結論中，正確的是（）.

A.abcgt;0B.a+b=0

C.2b+cgt;0D.4a+clt;2b

解析：應用由特殊到一般的思路，先取符合題意的特殊二次函數y=x2+x－3，則a=b=1，c=－3，可得出D選項正確.但對于學生來說，特殊值的選取要求較高，學生可能因為取值不合適而得不出正確答案.

那么，此類問題的常規解法是什么呢？由開口向上，可知agt;0.由對稱軸為x=－b2a=－12，可得a=bgt;0.由題意可知，函數與y軸交點縱坐標小于零，即clt;0.由此可知，選項A，B錯誤.由題意可知當x=1時，ylt;0，即a+b+clt;0，也就是2b+clt;0，所以選項C也錯誤.故正確答案為選項D.

3 特殊圖形的應用

在解決平面圖形問題的過程中，在一般的位置關系下，通常很難找到元素之間的關系，這可能會阻礙思路的探索.此時使用特殊情況下的圖形結構會簡化計算，但應注意所選擇的特殊圖形須符合題目條件，且答案必須明確，否則就是不可取的.

例3在△ABC中，AB=AC=m，P為BC上任意一點，則PA2+PB5PC的值等于（）.

A.m2B.m2+1C.2m2D.（m+1）2

解析：選擇題可用特殊圖形解決.若點P與點B重合，如圖1所示，原式為m2，則A選項正確；當點P位于BC中點時，如圖2所示，可得PA⊥PB，PB=PC，則原式=PA2+PB2=AB2=m2;當點P與點C重合時，也能得出相同的結論.但此方法只適用于選擇題，嚴謹證明還應讓點P保持任意性.

如圖3，根據相交弦定理，得

PB5PC=PD5PE

=（AD－PA）（AE+PA）

=（m－PA）（m+PA）

=m2－PA2.

故PA2+PB5PC=m2.

4 用特殊化方法探求定值

一些數學問題由于高度抽象，很難直接找到或證明某些一般特征.在這種情況下，可以探索特殊特征和某些條件，找到規律和解決方案.在某些幾何圖形中，某些點或線段的位置會不斷變化，但總有一些關系始終保持不變，這屬于定值問題.

例4已知同心圓中，AB是大圓的直徑，點P在小圓上，求證：PA2+PB2為定值.

證明：設大圓、小圓半徑分別為R，r.

若P，A，B三點共線，如圖4所示，則有

PA2+PB2=（R－r）2+（R+r）2=2R2+2r2.

若P為直徑AB中垂線上一點，如圖5，則PA2=PB2=R2+r2，所以PA2+PB2=2R2+2r2.

而要想嚴格證明還需保持點P的任意性，如圖6，作PF⊥AB于點F，則有

PA2=PF2+AF2

=（r2－OF2）+（R－OF）2，

PB2=PF2+BF2

=（r2－OF2）+（R+OF）2，

所以PA2+PB2=2r2－2OF2+2R2+2OF2=2r2+2R2.

由此可知，在任意情況下PA2+PB2均為定值，結論得證.

5 用特殊化方法尋找結論

當問題解決方案不明確時，可以先分析一些特殊情況并總結，通?？梢哉业浇Y果或解決問題的方法，然后分析特殊情況與一般情況之間的關系，以便在一般情況下解決問題.

通常有如下兩種方法：

（1）在一些具有一定數量結構的代數問題中，通?？少x予字母特殊值或利用字母表示的量之間的關系.

（2）在平面圖形中，通?？蛇x取一個特殊的點（例如，一條線段的中點）、特殊的關系位置（例如，兩條平行線或垂直的直線）或者是幾何形狀（例如，直角三角形、等邊三角形等）來幫助解決問題［3］.

例5當1≤x≤2時，化簡x+2x－1+x－2x－1.

解析：由1≤x≤2，得0≤x-1≤1，所以

x+2x－1+x－2x－1

=x－1+2x－1+1+x－1－2x－1+1

=x－1+12+x－1－12

=|x－1+1|+|x－1－1|

=x－1+1－x－1－1

=2.

6 結語

特殊與一般思想是初中數學的重要解題思想.掌握了這種思想，學生在面對比較復雜的數學問題時能將其轉換成特殊或一般情況，以此簡化計算或證明過程.這對培養學生的數學核心素養和數學思維都有幫助.

參考文獻：

[1]崔志鋒.特殊與一般[J].中小學數學（初中版），2019（4）： 33-35.

[2]李文彬.巧用特殊與一般思想進行初三數學客觀題解法教學[J].數學學習與研究，2022（13）：155-157.

[3]李碩，何意玲，王海濤.例談“特殊與一般”思想在初中數學教學和解題中的應用[J].理科愛好者，2022（4）：87-89.