逐層深入，優(yōu)化數(shù)學(xué)思維

思維的形成與能力的發(fā)展需遵循由淺入深的原則，是一個(gè)長(zhǎng)期積累的漫長(zhǎng)過(guò)程.這就要求教師要注重教學(xué)的層次性，讓學(xué)生在逐層深入的教學(xué)中理論聯(lián)系實(shí)際，實(shí)現(xiàn)思維由量變到質(zhì)變的突破，為核心素養(yǎng)的形成奠定基礎(chǔ).

波利亞認(rèn)為：“數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程就是思維活動(dòng)的過(guò)程.”[1]層次分明的教學(xué)過(guò)程，能激發(fā)學(xué)生主動(dòng)參與的興致，產(chǎn)生探究意識(shí)，為思維的形成與發(fā)展提供幫助.為此，筆者在實(shí)踐中做了一些嘗試，特整理成文與大家分享.

1 概念教學(xué)

概念是編織數(shù)學(xué)這張大網(wǎng)的一個(gè)個(gè)結(jié)點(diǎn)，它呈現(xiàn)的是知識(shí)的脈絡(luò).若脈絡(luò)不清，則無(wú)法深入學(xué)習(xí)這門(mén)學(xué)科，更談不上數(shù)學(xué)思維的發(fā)展與各項(xiàng)能力的提升.因此，概念教學(xué)是夯實(shí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的關(guān)鍵，逐層深入進(jìn)行概念教學(xué)，能讓學(xué)生更好地順應(yīng)與內(nèi)化概念的內(nèi)涵，建構(gòu)新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，為學(xué)習(xí)打牢地基[2].

案例1“一元二次方程”概念的教學(xué)

為了體現(xiàn)概念教學(xué)的層次性，讓學(xué)生的思維由淺入深地經(jīng)歷知識(shí)建構(gòu)過(guò)程，筆者設(shè)計(jì)了以下三個(gè)層次的教學(xué)活動(dòng).

1.1 直探主題，巧妙引導(dǎo)

問(wèn)題1觀察下列方程，歸納它們的共同點(diǎn)：

①2x2+2x=1；②3x2－4x2+2=0；

③3y2－y=0；④4x2=0.

學(xué)生觀察后一致認(rèn)為：這些方程都符合一元二次方程的概念，即等號(hào)兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（次）.當(dāng)學(xué)生對(duì)一元二次方程的概念有了初步認(rèn)識(shí)后，筆者要求學(xué)生將每個(gè)式子都對(duì)照教材中一元二次方程的概念再一次進(jìn)行辨別，以檢驗(yàn)自己的判斷是否正確，以達(dá)到對(duì)此概念的初步認(rèn)識(shí).

1.2 變式訓(xùn)練，啟發(fā)思維

當(dāng)學(xué)生對(duì)一元二次方程的概念有了初步的認(rèn)識(shí)，筆者又從多個(gè)角度提出新的變式，供學(xué)生訓(xùn)練、探究.

問(wèn)題2觀察下列方程，判斷它們是否為一元二次方程？為什么？

2x2+2y－5=1；xy=4；1y2=1；（x+2）（x－2）=x2－2x；2x2+3x=4.

要學(xué)生作基本判斷，不存在問(wèn)題.但要說(shuō)明理由，部分學(xué)生有些懵懂.這就要求學(xué)生不僅能認(rèn)識(shí)一元二次方程，還需對(duì)其特點(diǎn)了如指掌.此時(shí)，教師可適度引導(dǎo)，幫助學(xué)生從根本上理解一元二次方程與其他類(lèi)似概念之間的異同點(diǎn)，只有深度掌握概念的本質(zhì)，才能達(dá)到知其然而知其所以然，進(jìn)而靈活運(yùn)用的地步.

1.3 深入探究，深刻理解

在學(xué)生的思維得到一定啟發(fā)的基礎(chǔ)上，教師可沿著變式訓(xùn)練的思路，帶領(lǐng)學(xué)生繼續(xù)往下探究.為了讓學(xué)生對(duì)一元二次方程的概念產(chǎn)生更深刻的認(rèn)識(shí)，達(dá)到創(chuàng)新性理解的程度，使得思維上升到更高層次，筆者進(jìn)一步提出設(shè)問(wèn).

問(wèn)題3（1）關(guān)于x的方程ax2+（3a－1）x+2a+3=0，當(dāng)a為何值時(shí)，該方程是一元二次方程？當(dāng)a為何值時(shí)，該方程是一元一次方程？

（2）求證：不論m取何值，關(guān)于x的方程（m2－8m+20）x2+20mx+5=0恒為一元二次方程.

（3）已知方程ax2+ax=1是一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，則a的取值范圍是什么？

在問(wèn)題串的引導(dǎo)下，學(xué)生思維由淺入深地獲得啟發(fā).一環(huán)接一環(huán)的教學(xué)活動(dòng)的開(kāi)展，使得學(xué)生不僅對(duì)一元二次方程的概念有了一定的理解，更重要的是掌握了概念學(xué)習(xí)的方法.學(xué)生在教師所創(chuàng)設(shè)的問(wèn)題情境中，通過(guò)觀察、分析、表征與思考，循序漸進(jìn)地掌握了概念的本質(zhì)，數(shù)學(xué)思維得到了良好的開(kāi)發(fā).

2 公式、定理、性質(zhì)的教學(xué)

新課標(biāo)引領(lǐng)下的初中數(shù)學(xué)教學(xué)不再以應(yīng)試為主要教學(xué)目標(biāo)，而要實(shí)現(xiàn)從知識(shí)型人才的培養(yǎng)向能力型人才的培養(yǎng)轉(zhuǎn)化.這就要求學(xué)生不僅要掌握基本的公式、定理與性質(zhì)等知識(shí)，還要領(lǐng)悟其中所蘊(yùn)含的一些重要的數(shù)學(xué)思想與方法.教師可引導(dǎo)學(xué)生逐漸提升思維品質(zhì)，將原有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)逐漸轉(zhuǎn)化為各項(xiàng)數(shù)學(xué)能力.

案例2“一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系”的教學(xué)

為了讓學(xué)生能在此教學(xué)過(guò)程中感知數(shù)學(xué)思想方法的形成與發(fā)展過(guò)程，筆者設(shè)計(jì)了以下三個(gè)層次的教學(xué)活動(dòng)，以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.

2.1 利用引例，激活思維

問(wèn)題1解以下方程：①x2－4x+5=0，y2－4y+5=0；②3x2－4x－3=0，3y2－4y－3=0.以上兩組方程的解有沒(méi)有什么聯(lián)系？并說(shuō)明理由.

經(jīng)過(guò)觀察，學(xué)生發(fā)現(xiàn)這兩組方程的未知數(shù)雖不一樣，但未知數(shù)相對(duì)應(yīng)的系數(shù)卻是一樣的.從解的結(jié)論來(lái)看，這兩組方程的根與系數(shù)的確存在一定的聯(lián)系.到底是怎樣的聯(lián)系呢？筆者在此基礎(chǔ)上呈現(xiàn)了具有階梯性的問(wèn)題，以引發(fā)學(xué)生的探究，為學(xué)生思維的發(fā)展指明方向.

2.2 誘導(dǎo)探究，明確方向

為了誘導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生探究的欲望，可從二次項(xiàng)系數(shù)為1的方程開(kāi)始討論，以發(fā)現(xiàn)其中存在的規(guī)律.

問(wèn)題2（1）猜想關(guān)于x的方程x2+ax+b=0的根與系數(shù)的關(guān)系.

（2）若二次項(xiàng)系數(shù)不是1，以上猜想是否成立？

問(wèn)題2給學(xué)生指明了思考的方向，只要沿著這兩問(wèn)進(jìn)行探究，就能自主發(fā)現(xiàn)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的內(nèi)涵，從而對(duì)自己的猜想堅(jiān)定信心.此過(guò)程，不僅能促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展，還能讓他們感悟到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的趣味性，從而對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生信心.

3.3 呈現(xiàn)原形，獲得能力

ax2+bx+c=0（a≠0）是一元二次方程的一般形式，它的根與系數(shù)究竟具有怎樣的聯(lián)系？請(qǐng)各位同學(xué)說(shuō)說(shuō)自己的看法，并證明自己的猜想.

此教學(xué)活動(dòng)與上個(gè)教學(xué)活動(dòng)有著異曲同工之處，均是基于學(xué)習(xí)者猜想的基礎(chǔ)上提出自己的看法，但此過(guò)程更為深入，強(qiáng)調(diào)對(duì)根與系數(shù)關(guān)系的總結(jié)與提煉.想讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中獲得更多的能力，必然要鼓勵(lì)他們自主探索與發(fā)現(xiàn)一些問(wèn)題的規(guī)律，并通過(guò)驗(yàn)證來(lái)確定自己的猜想是否準(zhǔn)確.因此，教師的精心設(shè)計(jì)與引導(dǎo)具有重要意義.

3 解題教學(xué)

每個(gè)人受生活環(huán)境與認(rèn)知背景的影響，都有自己獨(dú)特的思維習(xí)慣，有些思維習(xí)慣根植于學(xué)生的大腦中難以改變.為了讓學(xué)生的思維跟上時(shí)代的發(fā)展與教學(xué)手段的革新，在解題教學(xué)中教師可示范例題解析過(guò)程，讓解題思路完全暴露在學(xué)生面前，鼓勵(lì)學(xué)生自主進(jìn)行觀察與分析，以激活思維，提升解題能力.

數(shù)學(xué)思想方法的指導(dǎo)在解題教學(xué)中尤為重要，盲目的生搬硬套只會(huì)禁錮學(xué)生的思維[3].因此，教師應(yīng)注重學(xué)生的解題反思與總結(jié)的過(guò)程，讓學(xué)生不斷地將新知內(nèi)化到新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，提高解題能力.

案例3“菱形”的教學(xué)

問(wèn)題1如圖1，已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)是3 cm，∠DAB=120°，AC與BD分別為兩條對(duì)角線，交點(diǎn)為O，則菱形ABCD的面積是多少？

只要學(xué)生學(xué)過(guò)菱形面積的計(jì)算方法，解決此題就沒(méi)有什么困難.在學(xué)生獨(dú)立解決此問(wèn)題時(shí)，筆者巡視并進(jìn)行個(gè)別指導(dǎo).當(dāng)學(xué)生順利完成此問(wèn)題后，筆者以計(jì)算菱形面積的方法為基礎(chǔ)，設(shè)計(jì)出幾個(gè)新的問(wèn)題，以啟發(fā)學(xué)生的思維.

3.1 問(wèn)題延伸，發(fā)展求異思維

問(wèn)題2如圖2，以上求菱形面積的方法是否適用于矩形或平行四邊形？為什么？

3.2 揭露本質(zhì)，發(fā)展探究思維

問(wèn)題3如圖3，已知AC與BD為四邊形ABCD的兩條對(duì)角線，相交于點(diǎn)O，且AC⊥BD，以上求面積的方法是否適用于本題？為什么？

3.3 歸納提煉，發(fā)展整體思維

問(wèn)題4請(qǐng)根據(jù)問(wèn)題1～3，歸納出你所獲得的結(jié)論，并說(shuō)一說(shuō)這幾個(gè)問(wèn)題的本質(zhì)是什么？涉及到哪些數(shù)學(xué)思想方法？

利用典型例題，引導(dǎo)學(xué)生逐層深入地進(jìn)行探究，不僅能增強(qiáng)學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)與技能的掌握程度，還能拓展解題思路，增強(qiáng)思維的廣度，為培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)與核心素養(yǎng)提供幫助.

總之，新課標(biāo)引領(lǐng)下的數(shù)學(xué)教學(xué)以培養(yǎng)學(xué)生形成高階思維為主要目的.逐層深入的教學(xué)過(guò)程，使得學(xué)生在逐層遞進(jìn)中感知、感悟并學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)思想與方法，形成良好的探究習(xí)慣與思維方式，為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升奠定基礎(chǔ).

參考文獻(xiàn)：

[1]波利亞.怎樣解題[M].閻育蘇，譯.北京：科學(xué)出版社，1982.

[2]周欣.兒童數(shù)概念的早期發(fā)展[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2004.

[3]杜威.我們?cè)鯓铀季S·經(jīng)驗(yàn)與教育[M].姜文閔，譯.北京：人民教育出版社，2005.