問題引路 手腦協同 數學發現 思理融通

摘要：從點關于坐標軸對稱、原點中心對稱開始，改變對稱軸、對稱中心的位置，探索圖形變換與點的坐標變化之間的規律，引導學生在信息技術環境下動手操作、觀察思考，發現數學，并運用所學知識解決問題.技術讓思想更先進，讓幾何畫板進課堂，構建探索發現型新課堂，實現數學學習方式的轉變，提升學生的數學核心素養，以應對未來社會的飛速發展.

關鍵詞：手腦協同；數學發現；學習方式；幾何畫板

社會的進步、技術的發展對數學的教學方式提出了新要求，以初中生數學學習方式的轉變為核心目標，基于數學實驗，構建實現數學學習方式轉變的探索發現課堂正在形成，數學實驗融入課堂已經成為常態.本文中通過一節數學實踐課的教學實錄，提出筆者在實施數學綜合與實踐活動方面的一些教學思考.

1 教學實錄

教師（以下簡稱師）：同學們，前面我們研究了在直角坐標系中，任意一點關于坐標軸、坐標原點的對稱點的坐標特點.如果把對稱軸、對稱中心進行適當的平移，那么這些對稱點的坐標又會有什么樣的變化呢？讓我們共同來探索吧！

1.1 復習提問

問題1在平面直角坐標系中，任意一點P（a，b）關于y軸的對稱點的坐標是___________.

學生（以下簡稱生）：平面直角坐標系中任意一點P（a，b）關于y軸的對稱點的坐標是P′（-a，b）.

板書：點P（a，b）關于y軸的對稱點是P′（-a，b）.

追問：為什么呢？

生：根據軸對稱的性質，點P（a，b）與其對稱點P′到y軸的距離相等.

1.2 問題引導

師：當我們改變對稱軸的位置時，對稱點的坐標怎樣變化呢？有沒有規律？

問題2如圖1，△ABC的三個頂點的坐標分別是A（-4，1），B（-3，4），C（-1，3）.直線l1經過點（1，0），并且與y軸平行，在圖中畫出△ABC關于直線l1對稱的△A1B1C1，并填寫表1.

學生活動：學生在學案上動手畫圖操作，完成后在平板上用幾何畫板驗證.

生：原來對稱軸是y軸，向右平移1個單位長度得到直線l1，其相應的關于y軸的對稱點的橫坐標要加2個單位長度，縱坐標不變.

生：平面直角坐標系中，任意一點P（a，b）關于直線l1的對稱點的坐標是P′（-a+2，b）.

板書：點P（a，b）關于直線x=1對稱的點的坐標是P′（-a+2，b）.

師：改變對稱軸的位置，你有什么發現？

學生活動：在平板上用幾何畫板平移對稱軸直線x=n，觀察思考，小組合作，交流討論.

發現：

點P（a，b）關于直線x=2對稱的點的坐標是P′（-a+4，b）.

點P（a，b）關于直線x=-2對稱的點的坐標是P′（-a-4，b）.

板書：點P（a，b）關于直線x=n對稱的點的坐標是P′（-a+2n，b）.

追問：為什么呢？

生：根據軸對稱的性質，點P（a，b）與其對稱點P′（x，y）到直線x=n的距離相等，所以有x-n=n-a，y=b，即x=2n-a，y=b.故點P（a，b）關于直線x=n的對稱點坐標是P′（-a+2n，b）.

布置課后探索任務：若直線l′經過點（0，m），并且與x軸平行，任意一點P（a，b）關于直線l′的對稱點的坐標是P′（a，-b+2m）.

師：剛剛討論了軸對稱問題，下面我們再來探索中心對稱問題.

問題3直角坐標系中，任意一點P（a，b）關于原點的對稱點的坐標___________.

生：直角坐標系中，任意一點P（a，b）關于原點的對稱點的坐標是P′（-a，-b）.

板書：點P（a，b）關于原點的對稱點的坐標是P′（-a，-b）.

問題4在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點的坐標分別是A（-4，1），B（-3，4），C（-1，3）.在圖2中，畫出△ABC關于點（0，1）對稱的△A1B1C1，并填寫表2.

學生活動：學生在學案上動手畫圖操作，完成后在平板上用幾何畫板驗證.

生：對稱中心由原點向上平移1個單位長度到點（0，1），相應的對稱點的縱坐標增加2個單位長度，而橫坐標不變.

生：平面直角坐標系中，任意一點P（a，b）關于點（0，1）的對稱點坐標是P′（-a，-b+2）.

板書：點P（a，b）關于點（0，1）的對稱點坐標是P′（-a，-b+2）.

教師：改變對稱中心的位置，你有什么發現？

學生活動：在平板上用幾何畫板平移對稱中心的位置，觀察思考對稱點的變化，小組合作，交流討論.

點P（a，b）關于點（0，2）的對稱點坐標是P′（-a，-b+4）；

點P（a，b）關于點（0，-1）的對稱點坐標是P′（-a，-b-2）；

點P（a，b）關于點（0，n）的對稱點坐標是P′（-a，-b+2n）.

板書：點P（a，b）關于點（0，n）的對稱點坐標是P′（-a，-b+2n）.

追問：為什么呢？

生：根據中心對稱的性質，對稱中心是對稱點連線段的中點，用中點公式可驗證說明.

生：平面直角坐標系中，任意一點P（a，b）關于點（m，0）的對稱點坐標是P′（-a+2m，-b）.

生：平面直角坐標系中，任意一點P（a，b）關于點（m，n）的對稱點坐標是P′（-a+2m，-b+2n）.

1.3 解決問題

問題5若先將△ABC向上平移m個單位長度，再作該三角形（平移后的三角形）關于直線l（直線l經過點（n，0），并且與y軸平行）成軸對稱的圖形，記為△A1B1C1，根據解決上述問題所獲得的經驗，你能寫出△A1B1C1三個頂點的坐標嗎？

問題6已知△ABC的三個頂點坐標分別是A（-4，1），B（-3，4），C（-1，3），如圖2，在坐標平面中有一點P，使以A，B，C，P為頂點的四邊形為平行四邊形，請寫出所有符合要求的點P的坐標.

學生活動：學生在學案上動手畫圖操作，并在平板上用幾何畫板驗證，完成后交流.

1.4 活動收獲，能力升華

在本次活動中，我們加深了對平面直角坐標系的認識，進一步體會了直角坐標系中圖形的變換（平移、旋轉、翻折）與圖形上點的坐標變化之間的聯系，完善了對圖形變換的整體認識.同時，通過畫圖、觀察、歸納、猜想、驗證，進一步掌握由特殊到一般的科學學習方法.

學生暢所欲言，交流個人收獲……

2 教學后記

2.1 技術讓思想更先進

隨著信息技術的發展，我們更深切地感受到信息技術對人類的學習觀念和學習方式所產生的影響，會使我們更加主動、更加高效率地通過學習來發展自我，以應對時代帶來的挑戰.幾何畫板在數學教學中的應用是教學現代化的需要和趨勢，也是實現教育手段現代化的必由之路.在數學課堂教學中使用幾何畫板做數學實驗，學生能更好地發現數學規律，更快地掌握數學知識.例如，本課中通過幾何畫板的動態演示功能，改變三角形的位置，由特殊到一般，給學生以直觀的形象，通過大量的數據反映規律，活化教學環境，充分調動學生數學學習的積極性，激發學習內驅力，培養創新及發散思維能力.

2.2 問題讓探究學習有梯度

在教學過程中設置階梯式的問題，啟發學生思考，從而更好地鍛煉學生的思維.本節課由關于y軸對稱到關于平行于y軸的直線對稱，由特殊的整數點位置的三角形到任意點位置的三角形，由數字到字母，問題是漸漸展開的.課堂上教師要關注每一個學生，目光不能僅被幾個“優等生”給吸引.處于“邊緣”的孩子對數學學習缺少興趣，是因為他們沒有體會到“會、懂、被表揚”的快樂，我們要學會傾聽，讓課堂給學生安全感，不管學生說的是對還是錯，老師和同學都應該以包容的心態進行傾聽.設置階梯式的問題，即使處于”邊緣“的學生也能體會到“我會、我行、我能做、做得對”的快樂，由此產生學習數學的興趣.另外，教師要重視課堂的自然生成，發現學生提出的真問題，解構自己原先提出的問題，順其自然的課堂才是真課堂.

2.3 建構讓知識發生更自然

“知識不是被動接受的，而是認知主體積極建構的”，這是建構主義理論的核心.學生學習數學更多的是為培養良好的數學素養.這節課“從特殊到一般、再從一般到特殊”，知識的發生顯得自然和諧.從特殊到一般的數學思想是歸納推理，從一般到特殊的數學思想是演疑推理，這二者都是最基本的數學思想方法.數學思想的領會通過教師在課堂的正確引導有效滲透到學生的數學學習中，這是提高學生綜合數學素養的必然途徑.從“不完全歸納得出的猜想”到“嚴格的演繹推理說明的結論”，無可厚非，從特殊到一般的數學思想起到了拋磚引玉的作用.“從特殊到一般”和“從一般到特殊”的思想看似平淡無奇卻又無處不在，它更好地體現了數學來源于生活，又運用于生活.

2.4 數學實驗變革學習方式

數學的學習是可以通過觀察、實驗、歸納、推理等過程實現的.本節課由探索整數的格點到自由變化的點的一般規律，讓數學發現、推理論證等自然發生，幾何畫板是符合建構主義的理想的學習媒體，是建構主義實踐的載體.董林偉［1］主導的江蘇數學實驗項目提出：數學學習應回歸發現、論證、應用的本意，讓學生在做數學中享受完整的學習過程，同時提出“手腦協同，啟思明理”的教學主張和“做支架”的數學學習方式.

參考文獻：

[1]董林偉.數學實驗：初中生數學學習方式的變革[J].全球教育展望，2020（9）：103-115.