對中學數(shù)學教材中“總體”概念定義的再認識

1 一個常見的數(shù)學問題

問題（下面均簡稱為“問題”）（多選題）為了解參加運動會的2 000名運動員的年齡情況，用簡單隨機抽樣的方法，從中抽取了20名運動員的年齡進行統(tǒng)計分析.下列說法中正確的有（）.

A.2 000名運動員是總體

B.所抽取的20名運動員是一個樣本

C.樣本容量為20

D.每個運動員被抽到的機會相等

這是有關“總體、個體、樣本和樣本容量”的基本概念問題.有教師認為答案應為選項CD，也有教師認為答案應為選項ABCD.產(chǎn)生分歧的原因在于所使用的教材中，對“總體”概念的定義不盡相同.

2 中學數(shù)學教材對“總體”概念的定義

下面摘舉不同中學數(shù)學教材中“總體、個體”的定義，尋找產(chǎn)生分歧的原因.

（1）義務教育數(shù)學課程標準2011版

教材1：（義務教育教科書數(shù)學八年級下冊蘇教版2013）

“我們把所考察對象的全體叫做總體（population），把組成總體的每一個考察對象叫做個體（element）.”

“例如，為了解某市八年級學生的體重情況，對該市八年級全體學生的體重進行調(diào)查……該市八年級學生體重的全體是總體，每個八年級學生的體重是個體.”

由于該教材對“總體、個體”進行舉例，因此有教師認為，“問題”中選項A與選項B未指明調(diào)查的具體指標，是錯誤的.

（2）普通高中數(shù)學課程標準2003版

教材2：（普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學必修3蘇教版2012）

該教材未給出“總體、個體”的概念，因此教師延用初中的教學習慣，認為“問題”中選項A，B錯誤.

教材3：（普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學必修3人教A版2004）

該教材未給出“總體、個體”的概念，但涉及了相關的問題，一個在引言部分，另一個在復習參考題中：

“引言：在食品質(zhì)量檢測中，為了了解某批袋裝牛奶（總體）的細菌超標情況.”

“參考題：為了了解某地參加計算機水平測試的5 000名學生的成績，從中抽取了200名學生的成績進行統(tǒng)計分析.在這個問題中，5 000名學生的成績的全體是（）.

A.總體

B.個體

C.從總體中抽取的一個樣本

D.樣本的容量.”

據(jù)此題，有教師認為，“總體”應包含調(diào)查對象的指標.因此，“問題”中選項A，B錯誤；也有一些教師認為，引言說明“某批次的袋裝牛奶”是總體，不用加“細菌含量”這一指標.因此，“問題”中選項A，B正確.

（3）普通高中數(shù)學課程標準2017年版

教材4：（普通高中教科書數(shù)學必修第二冊蘇教版2020）

“我們把考察對象（某一指標的數(shù)據(jù)）的全體叫做總體（population），把組成總體的每一個考察對象叫做個體（subject）.”

教材只給出了定義，但沒有設置相關的例子說明.因此教師延用初中的教學習慣，認為選項A，B錯誤.

教材5：（普通高中教科書數(shù)學必修第二冊人教A版2019）

“我們把調(diào)查對象的全體稱為總體（population），組成總體的每一個調(diào)查對象稱為個體（individual）.為了強調(diào)調(diào)查目的，也可以把調(diào)查對象的某些指標的全體作為總體，每一個調(diào)查對象的相應指標作為個體.”

該教材中設計了一個練習和一個研究問題，對“總體、個體”的概念進行說明：

練習在以下調(diào)查中，總體、個體各是什么？

（1）調(diào)查一個班級學生每周的體育鍛煉時間；

（2）調(diào)查一個地區(qū)結(jié)核病的發(fā)病率；

（3）調(diào)查一批炮彈的殺傷半徑；

（4）調(diào)查一個水庫所有魚中草魚所占的比例.

教師參考書答案：（1）總體是“這個班級的全體學生”，個體是“這個班級的每一個學生”，或總體是“這個班級全體學生每周的體育鍛煉時間”，個體是“這個班級每一個學生每周的體育鍛煉時間”…….

該教材給出的問題2：樹人中學在“全國愛眼日”前，……了解一下全校2 174名學生中視力不低于5.0的學生所占的比例……在這個問題中，全校學生構(gòu)成調(diào)查的總體，每一位學生是個體，學生的視力是考察的變量.”

根據(jù)教材的定義和相關問題示范，我們既可以把“調(diào)查對象的全體作為總體”，也可以把“調(diào)查對象的某些指標的全體”作為總體，因此有教師認為，“問題”中選項A，B正確.

3 大學數(shù)學教材對“總體”概念的定義

從高等教育教材中溯源，可以更加明晰中學數(shù)學教材編寫者的用意，從而更加明確中學數(shù)學知識的教學方向.

教材6：〔大學數(shù)學立體化教材概率論與數(shù)理統(tǒng)計第二版（中國人民大學出版社2006）〕

“把具有一定共性的研究對象的全體稱為總體（或母體），其大小與范圍隨具體研究與考察的目的而定.把構(gòu)成總體的每一個成員（或元素）稱為個體.

“例如，研究某燈泡廠生產(chǎn)的一批燈泡的質(zhì)量，則該批燈泡的全體構(gòu)成了一個總體，其中每一個燈泡就是一個個體.

“在數(shù)理統(tǒng)計中我們所關心的并非是每個個體的所有特征，而僅僅是它的一項或幾項數(shù)量指標.代表總體的指標是一個隨機變量，總體中每個個體是隨機變量的一個取值，從而總體對應于一個隨機變量.對總體的研究就相當于對這個隨機變量的研究.后面將不區(qū)分總體與相應的隨機變量.

“定義1：統(tǒng)計學中稱隨機變量（或向量）X為總體，并把隨機變量（或向量）的分布稱為總體分布.”

由于數(shù)理統(tǒng)計研究的是隨機變量，代表總體的指標也是一個隨機變量，因此“不區(qū)分總體與相應的隨機變量”，為了研究目標更明確，從而對總體用“隨機變量”進行定義.總體既可以是“這批燈泡”，也可以是“這批燈泡的質(zhì)量”.因此，人教A版2019年教材的描述接近這個定義.

人教A版2004年教材雖沒有給出“總體、個體”的概念，但從“引言”中對總體的描述，也能看出教材編寫者對這個概念的認識與人教A版2019年教材一致.該教材復習參考題中的練習題，與這個認識不矛盾.“5 000名學生的成績的全體”是總體，沒有說“5 000名學生”不是總體.蘇教版義務教育教科書數(shù)學八年級下冊中，雖用了“該市八年級學生體重的全體為總體”的示范性描述，但沒有說“該市八年級學生為總體”的描述是錯誤的.

在蘇教版的兩版教材中，一版未給出這個概念的描述，另一版雖給出了描述但未設置相關的題目，并且認為“把考察對象（某一指標的數(shù)據(jù)）的全體叫做總體”.教材將“某一指標的數(shù)據(jù)”用小括號標出，說明總體既可以是“考察對象的全體”，也可以是“考察對象某一指標的數(shù)據(jù)的全體”.

4 一些粗淺的想法

4.1 要仔細研讀教材和課程標準

我們正處于新課程改革初期，要仔細研讀教材和課程標準，明確新舊教材在育人理念、教學要求、內(nèi)容安排、概念描述上的差異.只有摒棄經(jīng)驗主義，更新教學方式，改進育人理念，提高知識素養(yǎng)，才能適應新的課堂.

4.2 從學業(yè)要求的角度，關注知識的學習目標

教學應關注學業(yè)要求的落實.例如，《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》有關“統(tǒng)計”的學業(yè)要求是“選擇恰當?shù)某闃臃椒ǐ@取樣本數(shù)據(jù)，并從中提取需要的數(shù)字特征推斷總體.能夠正確運用數(shù)據(jù)分析的方法解決簡單的實際問題.理解統(tǒng)計推斷結(jié)果的或然性，正確運用統(tǒng)計結(jié)果解釋實際問題”[1].因此，在“統(tǒng)計”的教學中，應該關注抽樣方法設計、數(shù)據(jù)整理和分析、樣本對總體的估計方法、統(tǒng)計結(jié)果的準確性分析和應用等方面的問題.對于那些意義不大的問題，不要咬文嚼字，更不要本末倒置，如此才能讓教學更有價值，才能真正促進學生素養(yǎng)目標的達成.

4.3 避免分歧的最好方法是教考一致

教師對“問題”的分歧不僅是“總體”的定義，更是對“教考分離”的擔憂.“總體”這個概念的理解并不困難，對這個概念的認識不需特別深刻，無論使用哪版教材，只要在統(tǒng)一的標準下教學，即命題者和教學者的認知一致即可.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018，34.