一道教材習(xí)題引發(fā)的深度學(xué)習(xí)

1 深度學(xué)習(xí)

深度學(xué)習(xí)是課程改革以來對課程理解和課堂實踐的深化，它既是一種理念也是一種實踐指導(dǎo)策略.深度學(xué)習(xí)是指在教師引領(lǐng)下，學(xué)生圍繞著具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題，全身心積極參與，體驗成功，獲得發(fā)展的有意義的學(xué)習(xí)過程.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程是學(xué)生圍繞學(xué)習(xí)內(nèi)容展開的活動過程，初中數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的特點是學(xué)生能夠全身心投入具有挑戰(zhàn)性的富有思維含量的學(xué)習(xí)活動.

筆者在一節(jié)習(xí)題課中設(shè)計了三個具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)活動：一是發(fā)現(xiàn)習(xí)題的多個不同的證明方法；二是通過不同證明方法的對比，發(fā)現(xiàn)并確認題中多余的條件；三是將多余條件結(jié)論化，進而探求習(xí)題的結(jié)構(gòu).三個學(xué)習(xí)活動銜接自然，過程流暢，思維含量一個比一個高，逐步將課堂學(xué)習(xí)活動推向高潮.整節(jié)課學(xué)生自主、自發(fā)地參與到課堂學(xué)習(xí)活動中來，不斷體驗到發(fā)現(xiàn)和證明出結(jié)論帶來的快樂，這也正是深度學(xué)習(xí)理念指導(dǎo)下的課堂實踐的最好展現(xiàn).

2 教學(xué)紀實

2.1 展示習(xí)題，指明目標

教師：很多時候我們只顧埋頭做題，一題做完緊接下一題，很少停下腳步去深入研究一道題，今天老師帶領(lǐng)大家對課本上一道習(xí)題進行深入探究，希望大家從中能有所收獲.（展示習(xí)題）本節(jié)課我們只研究這一道題，請大家開動腦筋積極思考.

題目（人民教育出版社八年級數(shù)學(xué)上冊第25頁習(xí)題第10題）如圖1，六邊形ABCDEF的內(nèi)角都相等，∠DAB=60°，AB與DE有怎樣的位置關(guān)系？BC與EF有這種位置關(guān)系嗎？這些結(jié)論是怎樣得出的？

教師：做完的同學(xué)寫一下過程，然后再看看整道題，你有沒有什么發(fā)現(xiàn)？沒做出來的同學(xué)，盡可能地算出圖中所有的角，并給出證明.

過程回顧：首先指明這節(jié)課的目標是對一道題進行深入研究.讓學(xué)生用不同的方法解答，激發(fā)學(xué)生的探究欲，同時，希望學(xué)生通過各種不同方法的對比，發(fā)現(xiàn)“∠DAB=60°”是多余條件，讓接下來的學(xué)習(xí)過程銜接更自然.

2.2 一題多解，拓寬思路

教師：老師已經(jīng)看到了不同的證明方法，大家開動腦筋，用盡可能多的方法來證明你的結(jié)論.

教師：會做這道題的同學(xué)請舉手.好，有超過一半的同學(xué)舉手了.請一位同學(xué)說一下你的證明過程.

學(xué)生1：AB∥DE，且BC∥EF.

證明：由∠DAB=60°，得∠FAD=∠DAB=60°.由∠E+∠F+∠FAD+∠EDA=360°，且∠E=∠F=120°，可知∠EDA=60°，所以∠EDA=∠DAB，故AB∥DE.又∠F+∠FAD=∠B+∠DAB=180°，所以EF∥AD，BC∥AD，于是BC∥EF.

教師：對于DE∥AB，同學(xué)們還有其他證明方法嗎？

學(xué)生2：如圖2，過點F作FH∥ED.由∠1+∠E=180°，得∠1=60°，則∠2=120°-∠1=60°，所以∠2+∠FAB=180°，所以FH∥AB.故DE∥AB.

學(xué)生3：如圖3，延長EF，和BA的延長線交于點H.

由∠1=180°－∠EFA=60°，∠2=180°－∠FAB=60°，又∠H+∠1+∠2=180°，得∠H=60°，所以∠E+∠H=180°，故DE∥AB.

學(xué)生4：如圖4，連接AE.由∠1+∠2+∠F+∠3+∠4=360°，∠1+∠F+∠3=180°，可知∠2+∠4=180°，所以DE∥AB.

教師：對于DE∥AB，同學(xué)們給出了四種不同的證明方法，大家再觀察一下，看你有沒有什么發(fā)現(xiàn)？

學(xué)生5：除了第一種方法，其余三種都作了輔助線.

學(xué)生6：后三種方法都沒有用到“∠DAB=60°”這個條件.

教師：這兩個同學(xué)的證明方法都很好！請問條件“∠DAB=60°”能否去掉？

過程回顧：讓學(xué)生盡情展示，在一個個證明方法中逐漸打開思路，過程自然流暢，學(xué)生都沉浸在思維的海洋里.

2.3 導(dǎo)向深入，抓住關(guān)鍵

學(xué)生7：從做題過程來看，條件“∠DAB=60°”可以去掉.DA這條線段也可以去掉.

教師：那為什么題目要多給條件呢？

（學(xué)生7沉默不語，課堂陷入沉默.）

教師：此題是“11.3多邊形及其內(nèi)角和”的一道習(xí)題，主要考查靈活運用多邊形內(nèi)角和公式解決問題的能力.題目多給條件，一是為了讓大家往計算角這個方向思考，二是給大家留出探索發(fā)現(xiàn)的空間，這也是此題放在“拓廣探索”欄目中的原因.

教師：經(jīng)過大家的思考探索，可以把題目簡化為“凸六邊形ABCDEF的內(nèi)角都相等，求證：DE∥AB”.

學(xué)生8：老師，我又發(fā)現(xiàn)了新的證明方法.不用“∠DAB=60°”這個條件，連DA就可以證明.

教師：好的，你先不說過程，讓大家思考一下，這樣可不可以證明？

學(xué)生8：如圖5，因為∠2+∠3+∠E+∠F=360°，所以∠2+∠3=120°.

又∠1+∠2=120°，所以∠1=∠3.故DE∥AB.

教師：非常好，過程清楚，思路明確.要證明平行，但沒有截線，連DA后就有了截線，產(chǎn)生內(nèi)錯角，證內(nèi)錯角相等.大家回顧一下，以上幾種證明方法有沒有共同點？解答這題的關(guān)鍵是什么？

學(xué)生9：課本原題除學(xué)生1的證法外，其余證明方法都作了輔助線，作輔助線后才產(chǎn)生了截線，所以這道題的關(guān)鍵是要有截線.

教師：學(xué)生9總結(jié)得很好.大家能否歸納一下作截線的方法？

學(xué)生10：作截線有三種方式，即連接、延長和作平行線.

過程回顧：通過教師的引導(dǎo)、學(xué)生的積極參與，證明思路越來越清晰，最后點出了證明平行的關(guān)鍵是找截線，并歸納了作截線的三種方法.

2.4 拋出問題，探索結(jié)構(gòu)

教師：既然條件“∠DAB=60°”是多余的，老師有一個想法，能否把它放到結(jié)論中，也就是由每個內(nèi)角都相等能否得到∠DAB=60°.題目改編如下：

如圖6，六邊形ABCDEF的內(nèi)角都相等，∠DAB是否等于60°？給出你的判斷并說明理由.

教師：要解決上面這個問題，我們先解決另外一個問題，題中的六邊形是否是正六邊形？

（課堂陷入沉默，一分鐘后有學(xué)生舉手.）

學(xué)生11：不一定是正六邊形，可以將BC邊向上平移，如圖7，如果原圖是正六邊形，則平移后的圖形就不是.

教師：學(xué)生11舉出的反例很好地解釋了原圖不一定是正六邊形，通過平移邊，在不改變角度大小的情況下，改變了邊長.下面回到∠DAB是否等于60°這個問題上來，大家還同意∠DAB=60°嗎？

學(xué)生12：不一定是60°，將BA向上平移，∠DAB的度數(shù)會變小.

教師：你是如何判斷∠DAB變小的？

學(xué)生12沉默，學(xué)生13舉手.

學(xué)生13：如圖8，由AB∥GH，得∠DAB=∠2.又∠2＞∠1，所以∠DAB＞∠1.故向上平移∠DAB會變小.

教師：非常好！通過兩位同學(xué)的分析，我們可以看到∠DAB的度數(shù)不是一個確定的值，那“六個內(nèi)角都相等”這個條件能確定什么？不能確定什么？

學(xué)生14：可以確定DE∥AB，不能確定∠DAB.

學(xué)生15：還可以確定EF∥BC，還有CD∥AF.

教師：也就是可以確定六邊形正對著的三組邊平行，但不能確定六邊形的邊長，如果大家能夠看到這一層，那這個圖形在你眼里就是可以變化的，很多問題就可迎刃而解.

過程回顧：通過將多余的條件結(jié)論化，來探索試題的結(jié)構(gòu)，將此題的研究進一步推向深入.拋出問題“六個角相等的六邊形是否為正六邊形”，為問題的解決指明了方向.

3 教學(xué)感悟

課本的一道普通習(xí)題，如果不去深入研究，可能十分鐘就講完了，但沉下心來研究一番，結(jié)果發(fā)現(xiàn)它是一座思維的寶庫.筆者并不想直接將這里的寶藏呈現(xiàn)給學(xué)生，而是一步步引領(lǐng)學(xué)生看到發(fā)現(xiàn)寶藏的過程，在這個過程中，讓學(xué)生逐步體會到解完題后，我們還能怎樣去思考，教會學(xué)生思考問題的方法，一同經(jīng)歷一堂思維的盛宴.

教師能設(shè)計出具有挑戰(zhàn)性、富有思維含量的學(xué)習(xí)活動是學(xué)生在課堂上開展深度學(xué)習(xí)的必要條件.這就需要教師多研究試題，而研究試題中最有意義的事情是研究教材習(xí)題.只有教師的深度學(xué)習(xí)和研究才有可能促成學(xué)生深度學(xué)習(xí)的產(chǎn)生.