相似三角形的新定義問題探析

韋柳香

［摘 要］相似三角形的新定義問題相對(duì)復(fù)雜，學(xué)生普遍覺得解決此類問題比較困難。文章結(jié)合幾則典例，從四個(gè)方面分析相似三角形的新定義問題，以培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)新知與運(yùn)用新知的能力，發(fā)展學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)。

［關(guān)鍵詞］相似三角形；新定義；初中數(shù)學(xué)

［中圖分類號(hào)］ G633.6 ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］? A ［文章編號(hào)］ 1674-6058（2023）26-0026-03

新定義問題多以初中學(xué)生已學(xué)知識(shí)為出發(fā)點(diǎn)，通過類比、引申或拓展給出新的數(shù)學(xué)概念或數(shù)學(xué)公式等，以閱讀材料的形式介紹給學(xué)生，讓學(xué)生在新舊知識(shí)之間建立聯(lián)系，理解其內(nèi)容、思想與方法，掌握其本質(zhì)，然后，通過類比、猜想與遷移的方法利用新知識(shí)解決問題。近些年，相似三角形的新定義問題在考試中頻頻出現(xiàn)，學(xué)生普遍覺得解決此類問題比較困難，以下筆者結(jié)合幾則實(shí)例做進(jìn)一步分析探討。

一、“疊似”三角形

“疊似”三角形是指位于一個(gè)角的平分線兩邊且有一條公共邊的兩個(gè)相似三角形，這是一對(duì)特殊位置關(guān)系的相似三角形，它們不僅相似，且共邊，分居在角平分線的兩旁。

點(diǎn)評(píng)：“疊似”三角形組成一個(gè)四邊形，四邊形的一條對(duì)角線平分一個(gè)內(nèi)角，已知兩個(gè)三角形中有共點(diǎn)的兩邊長(zhǎng)的長(zhǎng)，可以求得其余四邊的長(zhǎng)，這里共邊發(fā)揮了橋梁作用，是其他兩邊的比例中項(xiàng)。

二、“等角等積”三角形

“等角等積”三角形是指面積相等的兩個(gè)三角形，且它們有重合頂點(diǎn)，重合頂點(diǎn)所在的角相等。當(dāng)?shù)冉堑确e的兩個(gè)三角形都是直角三角形時(shí)，將其不重合的頂點(diǎn)順次相連，可以得到一組相似三角形。

［例2］我們定義：如圖4，在[△ABC]和[△ADE]中，若[∠BAC=∠DAE]，[S△ABC=S△ADE]，則[△ABC]和[△ADE]關(guān)于點(diǎn)[A]成“等角等積三角形”。（1）如圖5，[∠BAC=∠DAE=90°]，[S△ABC=S△ADE]，求證：[△ABD ]∽[△AEC]；（2）如圖6，在[△ABC]中，[∠BAC=90°]，[D]為[BC]上的一點(diǎn)，連接[AD]。用直尺和圓規(guī)作一個(gè)點(diǎn)[E]，使[△ABC]和[△ADE]關(guān)于點(diǎn)[A]成“等角等積”三角形（保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明）；（3）如圖7，[AC⊥AE]，[AC=4]，[B]為射線[AE]上一點(diǎn)，作[△BCD]，使[A]，[D]位于[BC]的兩側(cè)，[∠BCD=90°]，[S△BCD=12]，連接[AD]，則[AD]長(zhǎng)的最大值為 ? ? 。

（2）過點(diǎn)[A]作[AE⊥AD]，以AC為一條邊作[∠ACE=∠ADB]，[CE]與[AE]相交于點(diǎn)[E]，如圖8所示。

點(diǎn)評(píng)：第（1）小題的模型與解題方法對(duì)于第（2）小題的作圖，以及第（3）小題的求最值很有借鑒意義，因?yàn)榈冉堑确e的兩個(gè)直角三角形的圖形中，會(huì)產(chǎn)生一組相似三角形，所以作等角可以得到相似三角形，從而得到等角等積的三角形。

三、“二倍角”三角形

“二倍角”三角形是指有一個(gè)角是另一個(gè)角二倍的三角形，當(dāng)這個(gè)三角形是等腰三角形時(shí)，這個(gè)三角形就是等腰直角三角形或頂角為36°的等腰三角形。通過相似三角形可以證得二倍角所對(duì)邊的平方等于1倍角所對(duì)邊的平方與另兩邊乘積的和。

分析：（1）分兩種情況，即頂角是底角的二倍時(shí)和底角是頂角的二倍，然后利用三角形內(nèi)角和定理求底角的度數(shù)；（2）類比小思同學(xué)作輔助線的方法，將二倍角的其中一邊反向延長(zhǎng)，使延長(zhǎng)線段的長(zhǎng)等于另一邊長(zhǎng)，構(gòu)造相似三角形，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，證明結(jié)論；（3）由性質(zhì)探索 可知：AB2=AC（BC+AC），把AB=6，BC=5代入，建立關(guān)于AC的一元二次方程，解一元二次方程求得AC的值；（4）如圖14，作∠CBD=∠A，交AC于點(diǎn)D，則△ABD是2倍角三角形。由△CBD∽△CAB求得CD的長(zhǎng)，再由“二倍角”三角形的性質(zhì)，得到AB的長(zhǎng)。

解：（1）當(dāng)?shù)妊切蔚膬?nèi)角分別為[x]，[x]，[2x]時(shí)，[4x=180°]，解得[x=45°]，當(dāng)?shù)妊切蔚膬?nèi)角分別為[x]，[2x]，[2x]時(shí)，[5x=180°]，解得[x=36°]，[2x=72°]，∴底角的度數(shù)為45°或72°，故答案為45°或72°。

（3）由性質(zhì)探索 可知：[AB2=AC（BC+AC）]，∴[AC2+5AC-36=0]，解得[AC=4]或-9（舍去），故答案為4。

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)探究了“二倍角”三角形的性質(zhì)，即二倍角所對(duì)邊的平方=一倍角所對(duì)邊的平方與另兩邊乘積的和。這條性質(zhì)是通過構(gòu)造母子型相似三角形獲得的，在母子型相似三角形中，共用邊是在同一直線上的兩邊的比例中項(xiàng)。然后應(yīng)用二倍角的性質(zhì)求三角形的邊長(zhǎng)，利用二倍角的性質(zhì)求三倍角三角形的邊長(zhǎng)，體現(xiàn)了探究二倍角三角形的價(jià)值。

四、“布洛卡點(diǎn)”型三角形

三角形的布洛卡點(diǎn)是法國(guó)數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家克洛爾于1816年首次發(fā)現(xiàn)的，但他的發(fā)現(xiàn)并未被當(dāng)時(shí)的人們所注意。1875年布洛卡點(diǎn)被一個(gè)數(shù)學(xué)愛好者布洛卡重新發(fā)現(xiàn)，并用他的名字命名。若△ABC內(nèi)一點(diǎn)P滿足∠PAC=∠PBA=∠PCB=∠α，則點(diǎn)P是△ABC的布洛卡點(diǎn)，∠α是布洛卡角。

［例4］若△ABC內(nèi)一點(diǎn)P滿足∠PAC=∠PBA=

點(diǎn)評(píng)：布洛卡點(diǎn)是三角形中一個(gè)特殊的點(diǎn)，它與三個(gè)頂點(diǎn)連接后，形成了一組等角。本題既考查了學(xué)生對(duì)于布洛卡點(diǎn)的理解，也考查了學(xué)生對(duì)于等腰直角三角形及等腰三角形性質(zhì)的理解與掌握。