基于發展推理能力的數學實驗教學設計與反思

林鋒

［摘 要］數學實驗教學是“做數學”的教學，是培養學生推理能力的重要平臺。文章以“探究圓心運動路徑的問題”數學實驗課為例，探討發展學生推理能力的數學實驗教學設計，以期給當前數學實驗教學一些啟示。

［關鍵詞］數學實驗；推理能力；初中數學

［中圖分類號］ G633.6 ［文獻標識碼］? A ［文章編號］ 1674-6058（2023）26-0020-03

推理能力是學生必備的關鍵能力。數學實驗教學是“做數學”的教學，是培養學生推理能力的重要平臺。在近期舉行的數學實驗專題活動中，筆者以培養學生的推理能力為目標，主講了“探究圓心運動路徑的問題”數學實驗課，并對數學實驗課的教學設計做了全面剖析。現進行相關介紹，與同仁們分享。

一、教學內容分析

本次數學實驗課的授課時間為45分鐘，授課對象是九年級學生，他們已學完“圓”的內容，筆者將全班學生分為8個小組，為學生準備以下實驗工具：半徑為2 cm的圓形塑料片一個，半徑為5 cm的圓形塑料圈一個，邊長為6 cm的正方形框架一個，邊長為5 cm的正五邊形框架一個，萬花尺一套等。

根據教學內容與培養目標，筆者給本節數學實驗課確定如下教學目標：（1）通過數學實驗，探究圓在圓、正方形、正五邊形內部滾動時圓心經過的路徑長，探究圓在圓、正方形、正五邊形外部滾動時圓心經過的路徑長；（2）通過動手滾動、觀察路徑、猜想結論、歸納總結發展學生的合情推理能力，通過代數計算與幾何證明等實驗活動發展學生的演繹推理能力；（3）在數學實驗活動中，不斷積累數學活動經驗，感受數學文化的魅力。

二、教學過程設計與分析

［數學實驗1］圓在圖內部滾動時，圓心經過的路徑探究。

1.小圓與大圓內切時滾動，小圓圓心運動的路徑長探究

操作流程：如圖1所示，把半徑為2 cm的圓形塑料片放入半徑為5 cm的圓形塑料圈內，兩圓內切，用筆尖插入小圓片的圓心，讓小圓在大圓內部滾動一周，在滾動過程中始終保持內切，觀察筆尖的運動路徑是什么圖形。

計算猜想與驗證：你能計算小圓圓心O的運動路徑長嗎？如果大圓的半徑為R，小圓的半徑為r，那么小圓圓心運動的路徑長是多少？如果小圓按住不動，讓大圓運動，并始終保證兩圓內切，那么大圓圓心的運動路徑長是多少？為什么？

生1：我們小組經過操作，觀察到筆尖的運動路徑是一個圓。

生2：筆尖的運動路徑是一個圓，這個圓的圓心是大圓圓心[O']，半徑是5-2=3（cm），所以小圓圓心O的運動路徑長為6π。

生3：如果大圓的半徑為R，小圓的半徑為r，那么小圓圓心運動的路徑仍是一個圓，圓心是大圓圓心[O']，半徑是（R-r），所以小圓圓心運動的路徑長為2（R-r）π。

生4：如果小圓按住不動，讓大圓運動，并始終保證兩圓內切，那么大圓圓心的運動路徑還是一個圓，這個圓的圓心是小圓圓心O，半徑是（R-r），所以大圓心的運動路徑長為2（R-r）π。

設計意圖：學生已經學完了“圓”的全部知識，兩圓始終內切學生知道該如何去做，小圓在大圓內部運動，學生操作比較容易。低起點的教學能使學生快速融入課堂，從操作到猜想再到計算推理，既培養了學生的合情推理能力，也培養了學生的演繹推理能力。

2.圓與正多邊形的邊內切時滾動，圓心運動路徑長探究

操作流程：如圖2所示，將半徑為2 cm的圓形塑料片放在邊長為6 cm的正方形框架內，小圓片與正方形的邊始終保持相切，將筆尖插入小圓片的圓心，讓小圓片在正方形內滾動一周，觀察小圓片圓心的運動路徑是什么圖形。如圖3所示，將半徑為2 cm的圓形塑料片放在邊長為5 cm的正五邊形框架內，小圓片與正五邊形的邊始終保持相切，將筆尖插入小圓片的圓心，讓小圓片在正五邊形內滾動一周，觀察小圓片圓心的運動路徑是什么圖形。

計算猜想與驗證：如圖2，你能計算小圓片圓心的運動路徑長嗎？如圖3，你能計算小圓片圓心的運動路徑長嗎？如圖4所示，如果將半徑為r的圓形塑料片放在邊長為m（[m>2r]）的正多邊形框架內，小圓片與正多邊形的邊始終保持相切，將筆尖插入小圓片的圓心，讓小圓片在正多邊形內滾動一周，小圓片圓心的運動路徑是什么圖形？如何計算小圓片的運動路徑長？

生5：在圖2中，小圓片在正方形內滾動，并保證圓與正方形的邊相切，我們小組觀察到圓心的運動路徑是一個正方形，這個正方形的邊長是2 cm，所以小圓心的運動路徑長為8 cm。

生6：在圖3中，小圓片在正五邊形內滾動，并保證圓與正五邊形的邊相切，我們小組觀察到圓心的運動路徑是一個正五邊形，這個正五邊形的邊長經測量約為2 cm，所以小圓心的運動路徑長為10 cm。

生7：在圖4中，小圓片在正多邊形內滾動，并保證圓與正多邊形相切，我們猜想小圓片圓心的路徑是一個正多邊形，且邊數與原正多邊形邊數相同，但不知如何計算圓片的運動路徑長。

設計意圖：從正方形、正五邊形到正[n]邊形體現了由特殊到一般的數學思想，學生借助抽象與類比提出猜想，最后運用演繹推理證明驗證了猜想的合理性。

［數學實驗2］圓在多邊形外部滾動時運動路徑長探究。

操作與觀察：（1）如圖8所示，將半徑為2 cm的小圓片放在半徑為5 cm的圓圈外部滾動，并始終保持小圓與大圓相切，將筆尖插入小圓圓心，觀察小圓圓心的運動路徑是什么圖形。（2）如圖9所示，將半徑為2 cm的小圓片放在邊長為6cm的正方形外部滾動，并始終保持小圓與正方形的邊相切，將筆尖插入小圓圓心，觀察小圓圓心的運動路徑是什么圖形。（3）如圖10所示，將半徑為2 cm的小圓片放在邊長為5 cm的正五邊形外運動，并始終保持小圓與正五邊形的邊相切，將筆尖插入小圓圓心，觀察小圓圓心的運動路徑是什么圖形。

計算猜想與驗證：你能計算圖8中小圓圓心運動路徑長是多少嗎？圖9中，小圓圓心的運動路徑長是多少？圖10中，小圓圓心的路徑長是多少？如圖11所示，將半徑為r的圓片放在多邊形的外部滾動，這個多邊形的周長為L，并始終保持圓與多邊形的邊相切，那么小圓圓心的運動路徑是什么圖形？小圓圓心的運動路徑長是多少？為什么？

生8：通過操作，我們小組發現，在圖8中，小圓圓心的運動路徑是一個圓，這個圓的圓心是大圓圓心，半徑是兩個圓的半徑之和，即[2+5=7]（cm），如圖12所示，所以小圓圓心的運動路徑長為14π。

生9：通過操作，我們小組發現，在圖9中，小圓圓心的運動路徑是一個圓角正方形，如圖13所示，它由四條線段與四段圓弧組成，這四條線段的長等于正方形的周長，即[6×4=24]（cm），四段圓弧都相等，每段圓弧的圓心角度數是90°，半徑是2 cm，所

生10：通過操作，我們小組發現，在圖10中，小圓圓心的運動路徑是一個圓角正五邊形，如圖14所示，但不知如何計算小圓圓心的運動路徑長。

師生活動：如圖14所示，小圓在正五邊形的外部滾動，當小圓滾過每個頂點時，都形成一段圓弧，這五段圓弧的長度都相等，那么每段圓弧的半徑與圓心角分別是多少？當小圓滾過頂點E時，小圓半徑OE從垂直于DE的狀態，到O′E垂直于EF的狀態，所以圓弧的半徑就是小圓的半徑2 cm，此時[∠OED=90°]，[∠O′EF=90°]，[∠DEF=108°]，所以[∠OEO′=72°]，因為這五段圓弧的半徑都相等，均為2 cm，將它們合在一起，恰好構成一個半徑為[2 cm]的圓，這個圓的周長為4π，所以這五段圓弧長之和為4π，運動路徑中的五條線段等于五邊形的周長[=5×5=25 cm]，所以在圖10中，小圓圓心的運動路徑長為（[25+4π]） cm。

如圖11所示，當半徑為r的小圓片在周長為L的多邊形的外部滾動時，小圓圓心的運動路徑是什么圖形呢？運動路徑長是多少？我們可以從小圓片在正方形外部滾動，小圓片在正五邊形外部滾動時，運動路徑及其長度中找到活動經驗，首先小圓圓心的運動路徑也是由線段與圓弧組成的圓角多邊形，其中的線段長之和等于多邊形的周長L，其中的圓弧長之和等于小圓的周長，所以半徑為r的圓在周長為L的多邊形外部滾動時，小圓圓心的運動路徑長=L+2πr。

設計意圖：實驗設計由內而外，思維的難度與推理的難度也在增大。當小圓片在正方形外部滾動時，有部分學生認為其運動路徑是正方形，產生錯誤的原因是學生根據小圓在大圓的外部滾動時運動路徑是一個圓這一經驗，認為小圓在正方形的外部滾動時運動路徑也應是一個正方形，這是知識的負遷移造成的結果。筆者讓學生實際操作，通過動手操作，學生發現小圓圓心的運動路徑并不是一個圓，而是一個圓角正方形。有了這次的經驗教訓，學生在操作正五邊形時謹慎多了，通過實際操作，學生發現小圓在正五邊形外部滾動時，圓心拐過頂點時，形成了一小段圓弧，而不是一個點。在猜想驗證部分，由數字變為字母，從特殊到一般，筆者始終讓學生思考兩個關鍵點：一是小圓圓心的運動路徑由幾部分組成？二是頂點處旋轉的角度之和是360°嗎？學生結合已有的活動經驗提出自己的猜想，然后用演繹推理的方法進一步論證，最后得到了“半徑為r的圓在周長為L的多邊形外部滾動時，小圓圓心的運動路徑長=L+2πr”的結論。

［數學實驗3］萬花尺的美妙圖案。

如圖15所示，這是一副萬花尺，通過筆尖可以使小圓在大圓內滾動起來，在小圓內有數個小孔，這些小孔并不是均勻分布的，將筆尖插入不同的小孔，經過若干次在圓內滾動后，畫出的圖案都不一樣。

如圖16和圖17所示是學生利用萬花尺與彩筆畫出的美麗圖案。

設計意圖：讓學生自己動手畫出與本次數學實驗課相關的“繁花曲線”，充分體驗數學實驗之美。

三、教后反思

（一）有效的問題情境是發展學生推理能力的重要載體

問題情境可引導學生自主探索數學結論，有利于發展學生的推理能力。第一，筆者設計問題情境，讓學生用筆尖插入小圓片的圓心，在滾動過程中始終保持內切，觀察筆尖的運動路徑是什么圖形，計算小圓圓心O的運動路徑長，激發了學生探究的興趣與欲望。第二，筆者設計開放性問題情境，在開放性問題情境的驅動下，學生在 “做數學”中主動探究，促進了學生推理能力的發展。

（二）豐富的活動空間是發展學生推理能力的有力保障

新課標指出，通過多樣化的活動來培養學生的推理能力。本節課的數學實驗以“做”為支架，引導學生邊做邊學。在做數學實驗的過程中，學生經歷了猜想、操作、觀察、質疑、再操作等推理過程。不難發現，數學實驗活動為學生推理能力的發展提供了較大的空間，使學生積累了豐富的活動經驗，提升了數學學科核心素養。