數(shù)學(xué)視野下的3D建模與實踐

【摘要】直觀想象能力作為人類智能構(gòu)造中的一個重要組成部分，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)揮著重要的作用。文章著眼于數(shù)學(xué)學(xué)科中的空間能力提升，注重STEM與數(shù)學(xué)課程的深度融合，通過將數(shù)學(xué)三視圖與3D建模課程相結(jié)合，探索如何有效提升高中學(xué)生的空間立體感，輔助高中學(xué)生學(xué)習(xí)三視圖與實物圖的互相轉(zhuǎn)換。以此為基礎(chǔ)開發(fā)了STEM與數(shù)學(xué)學(xué)科融合的空間能力提升案例課程——巧借3D ONE學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)三視圖，包括案例設(shè)計、案例實施、案例分析與反思等。作為探索STEM與數(shù)學(xué)學(xué)科融合的新型教育模式，該案例課程產(chǎn)生了提升學(xué)生直觀想象能力的教育成果。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)教學(xué)；3D建模；3D ONE；三視圖

【中圖分類號】G434【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A【文章編號】1004—0463（2023）04—0107—06

一、引言

三維計算機(jī)圖形學(xué)的認(rèn)知與發(fā)展說明了未來的計算機(jī)學(xué)科教師應(yīng)該能夠開發(fā)計算機(jī)科學(xué)、物理、數(shù)學(xué)和其他學(xué)科中研究對象的三維模型和動畫，創(chuàng)建帶有三維插圖的版權(quán)電子教育資源，將增強(qiáng)現(xiàn)實和3D打印應(yīng)用于學(xué)科教學(xué)活動[1]。隨著學(xué)科核心素養(yǎng)和空間能力越來越受關(guān)注，空間想象能力的提升在學(xué)科領(lǐng)域也日益受到重視[2]。新課標(biāo)中指出數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門科學(xué)，其中數(shù)學(xué)建模和直觀想象是重要的學(xué)科核心素養(yǎng)[3]。已有研究表明，在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)立體幾何教學(xué)中，通過手工繪制三視圖、實體及其截面等來培養(yǎng)學(xué)生的空間能力，有助于提升學(xué)生的空間能力[4]。但是在數(shù)學(xué)立體幾何教學(xué)中，由于教學(xué)條件的限制，沒有太多的實體進(jìn)行三視圖、立體圖形界面等繪制的分析鍛煉，學(xué)生的學(xué)習(xí)和理解是非常困難的[5]。

隨著計算機(jī)輔助設(shè)計的發(fā)展，計算機(jī)三維軟件3D ONE所具備的特點與功能可以與高中立體幾何初步相結(jié)合，3D ONE繪制的圖形清晰、直觀、修改方便，且可以從不同視角繪制、觀察及打印3D實物圖。高中數(shù)學(xué)課標(biāo)中指出立體幾何部分的教學(xué)應(yīng)關(guān)注學(xué)生空間觀念的逐步形成，遵循從整體到部分、從具體到抽象的學(xué)習(xí)原則，在教學(xué)過程中可以借助3D技術(shù)呈現(xiàn)與探究空間幾何體的內(nèi)部特征[6]。以3D建模為任務(wù)驅(qū)動學(xué)生學(xué)習(xí)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，幫助學(xué)生認(rèn)識空間結(jié)合體的結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)一步掌握在平面上表示空間圖形的方法和技能，培養(yǎng)其創(chuàng)造力[2]。

“簡單組合體的三視圖”和“由三視圖還原成實物圖”是高中立體幾何教學(xué)中學(xué)生初步掌握的一個基礎(chǔ)且重要的知識與技能，每年高考都有一道關(guān)于三視圖的選擇題。同時，對于高中學(xué)生而言，直觀想象能力在學(xué)習(xí)理科課程方面有重要的價值，培養(yǎng)與訓(xùn)練學(xué)生的空間立體感是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)立體幾何的關(guān)鍵，但是授課過程中教師很難直觀判斷學(xué)生的空間構(gòu)想是否正確[7]。因此，筆者借助3D建模軟件設(shè)計教學(xué)活動，并將其付諸實踐，輔助學(xué)生分析三視圖，將學(xué)生的空間構(gòu)想可視化；輔助教師考核三視圖，從而提高教學(xué)效果。以此探究3D建模輔助高中學(xué)生學(xué)習(xí)三視圖與實物圖互相轉(zhuǎn)換的效果，在立體幾何教學(xué)中提升學(xué)生空間想象能力的有效性。

本研究中借助的3D建模軟件是3D ONE教育版，具備簡單易用的程序環(huán)境，不僅支持二維平面草圖繪制和3D實體設(shè)計，而且擁有拉伸、分割、下載3D打印模型等多種功能[8]。

二、文獻(xiàn)綜述

（一）3D建模的教育研究

國外在探索3D建模與打印在教育教學(xué)中的應(yīng)用起步較早。2012年，英國教育部及有關(guān)部門開展了將3D打印技術(shù)應(yīng)用到學(xué)科教學(xué)的研究項目，且該項目獲得了實際的成果，推動了3D打印技術(shù)在學(xué)科教學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用。2013年，美國新媒體聯(lián)盟發(fā)布的《地平線報告》提出3D打印技術(shù)在教育領(lǐng)域的應(yīng)用會在未來四至五年內(nèi)得到普及，并詳細(xì)介紹了3D建模與打印技術(shù)。

隨著打印技術(shù)的發(fā)展，我國大部分中小學(xué)都開設(shè)了3D打印課程，成為培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維和創(chuàng)新能力的重要載體[9]。2015年，我國廣州中望龍騰軟件股份有限公司成立了青少年三維創(chuàng)意社區(qū)（簡稱i3DOne社區(qū)），該社區(qū)集課程、培訓(xùn)、認(rèn)證、賽事活動、教學(xué)管理為一體，全方位服務(wù)科創(chuàng)教育師生，助力我國STEM教育事業(yè)的發(fā)展。同時，為響應(yīng)落實國務(wù)院《新一代人工智能發(fā)展規(guī)劃》及《全民科學(xué)素質(zhì)行動規(guī)劃綱要（2021—2035年）》，助力“雙減政策”落地，我國的一些機(jī)構(gòu)面向?qū)W生舉行了一些3D建模與打印比賽，比如中望軟件開展的第二屆“中望杯”全國青少年科創(chuàng)教育成果展示大賽，以《逐夢航天，探索未來》為主題，面向小初高學(xué)生征集有想象力且有創(chuàng)意的3D設(shè)計作品，分小學(xué)、初中、高中學(xué)段評獎。

（二）數(shù)學(xué)教學(xué)中的3D建模應(yīng)用研究

在美國，數(shù)學(xué)建模是當(dāng)前K-12數(shù)學(xué)、科學(xué)和技術(shù)以及工程（Technology Engineering，TE）教育標(biāo)準(zhǔn)的關(guān)鍵組成部分，然而，數(shù)學(xué)建模在綜合STEM課程中經(jīng)常被忽視或低估，這可能歸因于教師在綜合STEM課程中整合與數(shù)學(xué)建模相關(guān)的內(nèi)容和教學(xué)知識有限。Asempapa R S等人研究了數(shù)學(xué)、科學(xué)和TE教師的數(shù)學(xué)建模知識和觀點的變化，并將3D打印解決方案應(yīng)用于綜合STEM課程，結(jié)果顯示這項研究對教師、學(xué)校、研究人員和專業(yè)發(fā)展提供者都有影響。

在中國知網(wǎng)上檢索與“數(shù)學(xué)教學(xué)”和“3D建模”相關(guān)的學(xué)術(shù)文獻(xiàn)，結(jié)果發(fā)現(xiàn)將3D建模應(yīng)用到數(shù)學(xué)教學(xué)中的文獻(xiàn)僅有19篇，尚處于起步階段。華東師范大學(xué)孫江山的博士畢業(yè)論文《基于3D CAD的初中生空間能力提升研究》著眼于數(shù)學(xué)學(xué)科教育中的空間能力提升，將3D CAD應(yīng)用到常規(guī)課程教學(xué)中，研究表明該方案能夠顯著提升初中生的三維空間想象力[10]。溫州中學(xué)謝作如等人在文章《讓3D建模和數(shù)學(xué)“強(qiáng)關(guān)聯(lián)”起來——談“數(shù)學(xué)建模和3D打印”課程的設(shè)計》中提出，利用參數(shù)化建模的方式將3D建模和數(shù)學(xué)“強(qiáng)關(guān)聯(lián)”起來，不僅拓展了課程的深度和廣度，還培養(yǎng)了學(xué)生的動手操作和創(chuàng)新意識及創(chuàng)新能力[11]。

基于以上經(jīng)驗，筆者以《巧借3D ONE學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)三視圖》案例課程為例，將數(shù)學(xué)教學(xué)與新興科技相結(jié)合，探索如何有效提升高中學(xué)生的空間立體感，輔助高中學(xué)生學(xué)習(xí)三視圖與實物圖的互相轉(zhuǎn)換，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力，提高學(xué)生的空間想象和動手能力。

三、案例設(shè)計

（一）研究環(huán)境與研究對象

研究環(huán)境為計算機(jī)教室，教室由安裝了3D ONE軟件的教師機(jī)和學(xué)生機(jī)構(gòu)成。研究對象選取的是A省B市附屬中學(xué)高一年級《3D創(chuàng)意設(shè)計》校本課程的45名學(xué)生。

（二）研究計劃

在課程開始之前，筆者設(shè)計了兩套難易程度相當(dāng)?shù)目臻g想象能力測試試卷，內(nèi)容圍繞“簡單組合體的三視圖”和“由三視圖還原成實物圖”。采用智慧課堂在線作業(yè)形式進(jìn)行課前、課后測試。一套試卷在學(xué)習(xí)“巧借3D ONE學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)三視圖”之前測試學(xué)生，用于了解該班學(xué)生空間想象能力的現(xiàn)狀。另一套試卷在學(xué)習(xí)“巧借3D ONE學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)三視圖”之后測試學(xué)生，用于探究3D建模輔助高中學(xué)生學(xué)習(xí)三視圖與實物圖的互相轉(zhuǎn)換的效果，驗證該課程在教學(xué)中提升學(xué)生直觀想象能力的有效性。

（三）研究思路

本研究以培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力為目的。首先，通過文獻(xiàn)閱讀與調(diào)查研究，從當(dāng)前存在的問題入手，說明研究的可行性與必要性。其次，結(jié)合一定的設(shè)計理論，選取較為典型的高中數(shù)學(xué)三視圖內(nèi)容設(shè)計案例，開發(fā)了基于3D ONE的STEM與數(shù)學(xué)學(xué)科融合的空間能力提升案例課程《巧借3D ONE學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)三視圖》，在3D建模的過程中訓(xùn)練與提升學(xué)生的空間想象能力。在課程結(jié)束后根據(jù)課堂效果、作品展示、師生訪談及空間能力測試試卷對學(xué)生進(jìn)行評價，結(jié)合實施效果判斷學(xué)生空間想象能力的發(fā)展情況，以說明研究的有效性。研究思路如圖1所示。

四、案例實施

【課程名稱】巧借3D ONE學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)三視圖

【授課對象】高一年級《3D創(chuàng)意設(shè)計》校本課程的45名學(xué)生

【學(xué)情分析】三視圖是高中立體幾何教學(xué)中的主要內(nèi)容之一，學(xué)好三視圖為學(xué)生后期根據(jù)三視圖計算立體幾何圖形的面積與體積奠定基礎(chǔ)。在初中階段，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了從簡單幾何體到三視圖的單向轉(zhuǎn)化，但是對于三視圖的形成原理、投影關(guān)系以及由三視圖還原成實物圖還不清楚。本節(jié)課借助3D建模軟件，學(xué)生通過觀察和親手構(gòu)造立體模型，在構(gòu)建模型的過程中鍛煉學(xué)生的空間立體感，提升學(xué)生的空間想象能力。

【教學(xué)對象分析】高一年級《3D創(chuàng)意設(shè)計》校本課程班的學(xué)生具有一定的計算機(jī)操作基礎(chǔ)，且已經(jīng)學(xué)習(xí)過3D ONE軟件的基本操作。

【教學(xué)目標(biāo)】

信息意識：利用3D ONE軟件搭建與呈現(xiàn)簡單組合體的3D模型。

計算思維：綜合運用3D建模思想分析三視圖并進(jìn)行3D轉(zhuǎn)換。

數(shù)字化學(xué)習(xí)與創(chuàng)新：利用3D ONE軟件的視圖導(dǎo)航、搭建和拉伸、切割命令實現(xiàn)三視圖與3D實物圖的相互轉(zhuǎn)換；學(xué)會制作簡單組合體的3D模型，學(xué)會用恰當(dāng)?shù)募夹g(shù)語言與他人交流技術(shù)思想和分享成果。

信息社會責(zé)任：培養(yǎng)和鍛煉學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中善于利用工具和軟件提高自身的分析能力；培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模和直觀想象素養(yǎng)，體會技術(shù)創(chuàng)新的愉悅感。

【教學(xué)工具】PPT、鉛筆、直尺、橡皮、圓規(guī)、3D ONE軟件

【教學(xué)過程】

（一）簡單組合體的三視圖分析

“三視圖→3D實體”的思維過程是需要強(qiáng)化和練習(xí)的，我們可以嘗試借助3D ONE軟件呈現(xiàn)3D組合實體，幫助學(xué)生認(rèn)識簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)一步掌握平面上表示空間圖形的方法和技能，進(jìn)行簡單組合體的三視圖分析，培養(yǎng)其創(chuàng)造力和空間想象能力。

教師指導(dǎo)學(xué)生借助3D ONE平臺，利用平臺“視圖導(dǎo)航”功能先觀察簡單幾何體（長方體、球、圓柱等）的不同視圖，再觀察由簡單幾何體組成的組合體的不同視圖。教師演示3D ONE中點投影、線投影、面投影命令，師生共同探究簡單組合體三視圖的投影規(guī)律，繪制簡單組合體的三視圖。探究過程如圖2所示。

教師提問：我們在分析簡單組合體三視圖的過程中，采用了什么樣的方式？

學(xué)生回答：將簡單組合體分割成多個簡單幾何體，觀察組合體的每一部分，化繁為簡，一步一步繪制簡單組合體的三視圖。

通過課堂師生探究，由易到難展示3D組合實體，總結(jié)出繪制簡單組合體三視圖的簡便方法——“化繁為簡”。即將組合體分割為多個簡單幾何體（長方體、球、圓柱等），將簡單幾何體相互增加、減少的方式，根據(jù)其方位關(guān)系逐步繪制三視圖，在構(gòu)成組合體的過程中完成三視圖的繪制。

【學(xué)生活動】觀察3D組合實體及構(gòu)成3D組合實體的各個簡單幾何體，逐步繪制三視圖，體驗三視圖投影關(guān)系在繪制三視圖中的應(yīng)用，發(fā)現(xiàn)三視圖繪制規(guī)律；回顧簡單組合體三視圖繪制思路分析，轉(zhuǎn)換思路到三視圖還原3D實物圖。

【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會“化繁為簡”分析簡單組合體的三視圖，并將其遷移到三視圖還原3D實物圖的分析中。為下節(jié)課《三視圖還原3D實物圖》的學(xué)習(xí)作鋪墊。

（二）三視圖還原3D實物圖

三視圖的繪制可以采用“化繁為簡”的方式，三視圖還原3D實物圖是否可以采取類似的思路展開分析呢？一起來探究一下吧（如圖3所示）。

通過課堂師生探究，利用“化繁為簡”的方法，拆分三視圖，形成清晰簡單的圖形。在3D建模的過程中，借助3D ONE平臺，利用“增加材料/減少材料”的方法，使用平臺中的“基本實體”“草圖繪制”及“拉伸”命令，根據(jù)三視圖方位關(guān)系逐步繪制3D實物圖。在3D建模的過程中進(jìn)一步讓學(xué)生明確三種視圖之間存在的密切關(guān)系，即“長對正（正視圖與俯視圖），高平齊（正視圖與側(cè)視圖），寬相等（側(cè)視圖與俯視圖）”。

【學(xué)生活動】思考并繪制三視圖還原3D實物圖的形狀，嘗試采用“化繁為簡，增加材料”“化繁為簡、減少材料”以及將其綜合應(yīng)用的方法，還原3D實物圖，并利用3D ONE軟件建立模型進(jìn)行驗證。完成3D模型后展示與交流建模思路。

【設(shè)計思路】鍛煉學(xué)生的空間想象力，并考查學(xué)生綜合運用3D ONE軟件的能力及動手實踐能力，在3D建模的過程中進(jìn)一步讓學(xué)生明確三種視圖之間存在的密切關(guān)系“長對正（正視圖與俯視圖），高平齊（正視圖與側(cè)視圖），寬相等（側(cè)視圖與俯視圖）”，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。為學(xué)生下節(jié)課“應(yīng)用三視圖建模”的學(xué)習(xí)作鋪墊。

（三）應(yīng)用三視圖建模

通過上面的學(xué)習(xí)，同學(xué)們了解并實踐了組合體三視圖的3D轉(zhuǎn)換的基本方法，了解到三視圖的3D轉(zhuǎn)換不僅僅局限在增、減材兩種思路，我們可以根據(jù)實際情況綜合應(yīng)用，在三視圖建模中同時利用增、減的思想。

教師提問：三視圖在設(shè)計過程中如何應(yīng)用？

學(xué)生回答：可以根據(jù)圖樣來制作模型或原型。

任務(wù)驅(qū)動：根據(jù)Inventor零件圖樣繪制零件實物圖。

學(xué)生分組進(jìn)行合作探究，體驗三視圖的繪制、還原以及應(yīng)用。并在之后的設(shè)計實踐中，學(xué)生嘗試運用三視圖來表達(dá)自己的設(shè)計構(gòu)思，與他人交流設(shè)計方案，在班級展示與講解作品及其設(shè)計思路，通過全體師生的評價，來進(jìn)一步完善作品。

【學(xué)生活動】分組討論制作，根據(jù)三視圖完成3D模型。小組成果展示與評價。

【設(shè)計意圖】通過小組考核讓學(xué)生構(gòu)想出3D模型在電腦中呈現(xiàn)出來，檢查學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。考查學(xué)生綜合運用及動手實踐能力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，加深理解，鞏固學(xué)習(xí)成果。

五、案例分析與反思

（一）案例分析

《巧借3D ONE學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)三視圖》案例課程共計6課時，歷時5周，案例參加學(xué)生共計45人。首先，借助3D ONE平臺，可以讓學(xué)生親身體驗從“鑒賞、學(xué)習(xí)、繪制、還原、應(yīng)用”這五個方面學(xué)習(xí)二維圖形和三維實體相互轉(zhuǎn)化的過程，使得學(xué)生頭腦中的想象、創(chuàng)意變?yōu)楝F(xiàn)實。學(xué)生在此過程中不僅學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)三視圖知識，也提高了動手操作及創(chuàng)新能力。其次，案例前后測試結(jié)果數(shù)據(jù)顯示，學(xué)生測試平均分從76分提高到了92分，提升了21%，有效說明對于學(xué)生三維空間想象能力的培養(yǎng)，同時案例課程教學(xué)也顯現(xiàn)出了積極有效的教學(xué)效果。

案例課程授課過程中，首先，學(xué)生學(xué)習(xí)效果明顯，教師設(shè)置的任務(wù)由簡到難，學(xué)生能在輕松的環(huán)境下完成；而且學(xué)生已經(jīng)在校本課程前期學(xué)習(xí)過3D ONE軟件基礎(chǔ)操作，對軟件環(huán)境比較熟悉，對學(xué)習(xí)過程起了很大的幫助。其次，通過課堂觀察、小組合作、師生訪談及學(xué)生作品展示表明，教師通過使用空間描述不斷問答，結(jié)合繪制策略和實物原型，利用3D ONE平臺實時修改和優(yōu)化，引導(dǎo)學(xué)生在頭腦中不斷地將進(jìn)行二維三視圖到三維實物圖之間的轉(zhuǎn)換，再利用3D ONE平臺進(jìn)行驗證，讓學(xué)生注意并理解更多的三維實物圖的幾何細(xì)節(jié)特征，促進(jìn)了學(xué)生構(gòu)建更加明晰的空間概念，有效地在學(xué)科融合中提升學(xué)生的空間能力。

（二）案例反思

《巧借3D ONE學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)三視圖》案例課程以學(xué)生為主體，借助3D ONE學(xué)習(xí)三視圖激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。整個課堂從“鑒賞、學(xué)習(xí)、繪制、還原、應(yīng)用”這五個方面學(xué)習(xí)了二維圖形和三維實體間的相互轉(zhuǎn)化。通過合作探究，學(xué)生體驗了三視圖的繪制、還原以及應(yīng)用，完成了案例課程教學(xué)任務(wù)；并為今后在設(shè)計實踐中，運用三視圖來表達(dá)自己的設(shè)計構(gòu)思，與他人交流設(shè)計方案，優(yōu)化設(shè)計方案、還原3D實物奠定了基礎(chǔ)。

3D ONE平臺為教師教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)三視圖都提供了便利。首先，教師可以根據(jù)學(xué)生情況和教學(xué)進(jìn)度，有針對性地設(shè)計合適的3D模型，進(jìn)行3D展示或3D打印為三視圖繪制提供素材。其次，在三視圖教學(xué)過程中，存在三視圖與3D實物圖之間可逆的兩個過程。鍛煉學(xué)生分析三視圖是教學(xué)上的一個重點，3D ONE平臺能夠?qū)W(xué)生作品可視化，有助于教師驗證學(xué)生繪制出的3D模型精準(zhǔn)程度，也有助于教師判定學(xué)生的掌握程度。

但也有不足之處，學(xué)生樣本不是隨機(jī)的，學(xué)生的空間能力變化也可能是其他不可測的、隨時間改變的因素引起的，且常規(guī)的數(shù)學(xué)課程中包含了一些有助于培養(yǎng)學(xué)生空間感的教學(xué)內(nèi)容和活動，這可能導(dǎo)致3D ONE案例課程不能夠完全展現(xiàn)出提高學(xué)生空間能力的效果。但是，課堂觀察及訪談表明，3D ONE課程教學(xué)對于高中學(xué)生空間想象能力的提升是有益的，學(xué)生在案例課程中，要在腦海中實踐二維圖形到三維實體的轉(zhuǎn)化，且有3D ONE平臺的驗證支持，使得學(xué)生能夠直觀形象地理解數(shù)學(xué)概念，構(gòu)建明晰的空間概念，有利于學(xué)生空間能力的發(fā)展。

六、結(jié)論與建議

課堂教學(xué)是教育數(shù)字化轉(zhuǎn)型的核心，本研究注重STEM與數(shù)學(xué)課程的深度融合，讓3D建模進(jìn)入了高中課堂。筆者借助3D ONE搭建一個數(shù)學(xué)與三維空間圖形思想溝通的橋梁，將數(shù)學(xué)三視圖與3D建模課程相結(jié)合，探索如何有效提升高中學(xué)生的空間立體感，輔助高中學(xué)生學(xué)習(xí)三視圖與實物圖的互相轉(zhuǎn)換。因此，筆者認(rèn)為借助3D ONE輔助三視圖的教學(xué)是教授三視圖的首選方法，希望對中小學(xué)教師開發(fā)STEM與數(shù)學(xué)學(xué)科融合的課程有一定的借鑒價值。

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編輯：張昀