“整體把握”——高觀點(diǎn)下的數(shù)學(xué)教育

李紅

北京市第二十二中學(xué)教師，北京市特級(jí)教師，正高級(jí)教師，北京市“紫禁杯”優(yōu)秀班主任一等獎(jiǎng)獲得者；中央民族大學(xué)特聘研究生導(dǎo)師。《〈什么是數(shù)學(xué)〉習(xí)題解析》主編，北師大版高中數(shù)學(xué)教材、教參核心編者。承擔(dān)并主持了多項(xiàng)國家級(jí)、市級(jí)課題。

“整體把握”是在對(duì)數(shù)學(xué)本體認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上提出的數(shù)學(xué)教育理念，其內(nèi)涵為整體把握中學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)、課程內(nèi)容、思想方法和學(xué)生學(xué)習(xí)。在其理念指導(dǎo)下的數(shù)學(xué)教學(xué)，能更好地引領(lǐng)學(xué)生走進(jìn)數(shù)學(xué)這座既生動(dòng)有趣又宏偉震撼的神圣殿堂，從宏觀到微觀，理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，領(lǐng)略數(shù)學(xué)的魅力。

1.“整體把握”之?dāng)?shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與數(shù)學(xué)探究中的“橫縱軸思維模式”

數(shù)學(xué)教育的核心是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，數(shù)學(xué)教學(xué)除了傳授具體知識(shí)和做題技巧外，還應(yīng)在授業(yè)、解惑中傳遞給學(xué)生數(shù)學(xué)真正的“道”，使學(xué)生理解數(shù)學(xué)的研究?jī)?nèi)容、思想方法和學(xué)科本質(zhì)。

在課堂教學(xué)中，以“橫縱軸思維模式”引領(lǐng)學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與數(shù)學(xué)探究的樂趣。“橫縱軸思維模式”中的橫軸為知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)框架，以及其中的邏輯關(guān)系和轉(zhuǎn)化條件；縱軸為學(xué)科歷史、課程設(shè)置和學(xué)生學(xué)習(xí)的發(fā)展脈絡(luò)，將教學(xué)內(nèi)容涉及的學(xué)科背景、文化內(nèi)涵以及不同學(xué)段的學(xué)習(xí)認(rèn)知，作為課堂教學(xué)中引領(lǐng)學(xué)生思維發(fā)展方向的基礎(chǔ)，開展教學(xué)活動(dòng)。

“橫縱軸思維模式”有效地推進(jìn)了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的探究過程，使學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過程，深刻領(lǐng)悟概念的內(nèi)涵，體會(huì)“站在巨人肩膀上”的登高望遠(yuǎn)。

2.“整體把握”之視覺思維與有序思維的“雙主導(dǎo)思路”

中學(xué)數(shù)學(xué)的三大核心內(nèi)容是函數(shù)、幾何與運(yùn)算，華羅庚先生曾用“數(shù)無形時(shí)少直覺，形少數(shù)時(shí)難入微”來說明代數(shù)與幾何的緊密聯(lián)系，因此，建立視覺思維與有序思維的“雙主導(dǎo)思路”對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是非常有必要的，有助于學(xué)生在代數(shù)運(yùn)算求解和幾何邏輯證明中，培養(yǎng)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、靈活性、深刻性。

數(shù)學(xué)的研究過程千變?nèi)f化，有的是從代數(shù)的一種形態(tài)到另一種形態(tài)，如方程或不等式的求解問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題；有的是將某個(gè)幾何問題轉(zhuǎn)化為另外一個(gè)幾何問題，如將證明直線與平面平行問題轉(zhuǎn)化為證明平面內(nèi)一條直線與平面外一條直線的平行問題；有的是先通過幾何推理以定性分析的方式得到一般結(jié)論，再從代數(shù)的角度以定量計(jì)算求出具體結(jié)果。

運(yùn)算不能簡(jiǎn)單地理解為計(jì)算出某一結(jié)果，運(yùn)算是代數(shù)推理的重要方式。運(yùn)算能產(chǎn)生新的數(shù)學(xué)對(duì)象，能更好地認(rèn)識(shí)原有的數(shù)學(xué)對(duì)象，能建立更廣泛的聯(lián)系，能推動(dòng)數(shù)學(xué)的發(fā)展。例如，求負(fù)數(shù)平方根的運(yùn)算定義了新的虛數(shù)單位i，帶來了數(shù)系的擴(kuò)充，推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。

如何有效、自然地建立視覺思維與有序思維“雙主導(dǎo)思路”需要教師通過大量思考、反復(fù)實(shí)踐去摸索。舉例來說，尺規(guī)作圖屬于幾何的古典問題，但它的思維方法卻是代數(shù)的。又如，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)里最令人著迷的公式”的歐拉公式，是將數(shù)學(xué)里最重要的幾個(gè)數(shù)字聯(lián)系到一起，可是歐拉公式又有著美妙的幾何解釋。在實(shí)際教學(xué)過程中，教師應(yīng)充分利用此類數(shù)學(xué)問題，引導(dǎo)學(xué)生從代數(shù)上想辦法解決幾何問題，或從幾何上想辦法解決代數(shù)問題，以此融會(huì)貫通，建立起視覺思維與有序思維的“雙主導(dǎo)思路”。

3.“整體把握”之“課堂觀察”與“螺旋式創(chuàng)造實(shí)踐”的緊密結(jié)合

“課堂觀察”是指研究者或觀察者帶著明確的目的，憑借自身感官以及有關(guān)輔助工具，直接或間接地從課堂情境中收集資料，并依據(jù)資料作相應(yīng)研究的一種教育科學(xué)研究方法。課堂觀察的設(shè)計(jì)分為三個(gè)環(huán)節(jié)：課前準(zhǔn)備，確定觀察的目的和實(shí)際規(guī)劃；課堂觀察，記錄課堂情況；課后觀察，資料分析與結(jié)果呈現(xiàn)。

課堂教學(xué)中，教師會(huì)鼓勵(lì)學(xué)生不斷質(zhì)疑、提問、思考、論證，嘗試解決問題，隨后再質(zhì)疑、提問、論證，再嘗試提出新的問題……這一過程可稱為“螺旋式創(chuàng)造實(shí)踐”，這樣的實(shí)踐活動(dòng)為學(xué)生提供了創(chuàng)造性思考的空間，充分發(fā)揮了學(xué)生的主體作用；教師及時(shí)給予學(xué)生恰當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)，也體現(xiàn)了教師的主導(dǎo)作用。研究者依據(jù)課堂觀察作出的評(píng)判，可以幫助教師更好地進(jìn)行課后反思，對(duì)隨后的教學(xué)策略進(jìn)行相應(yīng)的調(diào)整。授課者、學(xué)習(xí)者、研究者融為一個(gè)和諧的整體，形成很好的研究氛圍，對(duì)教師整體把握數(shù)學(xué)教學(xué)、提升教學(xué)質(zhì)量、促進(jìn)學(xué)生發(fā)展至關(guān)重要。

多年來的不斷探索與實(shí)踐，逐漸形成了基于“整體把握”理念下的初高中教學(xué)模式，教師引領(lǐng)學(xué)生以“橫縱軸思維模式”發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，用視覺思維與有序思維“雙主導(dǎo)思路”分析問題、解決問題，采用“課堂觀察法”與“螺旋式創(chuàng)造實(shí)踐”相結(jié)合的方式進(jìn)行教學(xué)調(diào)整，極大促進(jìn)了教師和學(xué)生的發(fā)展，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的教育價(jià)值。

編輯 _ 可黎明（兼）