關于追擊相遇問題的探討

周軍平

【摘要】追擊和相遇問題是物理必修一運動學部分的一類重要題型，主要考查學生對兩物體運動過程的分析和相關物理量的求解，其核心是分析兩物體在同一時刻能否到達相同的空間位置.這類問題一般都源于生活實例，與學生生活密切相關，很好地體現出物理學科的核心素養.

【關鍵詞】追擊相遇問題；高中物理；解題方法

追擊相遇問題是高一物理運動學中較為綜合且有實踐意義的一類習題，同時也是高考物理考查的熱點.它通常會涉及兩個以上物體的運動過程，每個物體的運動規律又不盡相同.對此類問題的求解，除了要透徹理解基本物理概念，熟練運用運動學公式，還應仔細審題，挖掘題文中隱含著的重要條件，并盡可能地畫出草圖以幫助分析，確認物體間運動的速度關系、時間關系和位移關系.

1 核心知識：一個條件，兩個關系

一個條件是：兩者速度相等，它往往是物體間能夠追上、追不上或兩者距離最大、最小的臨界條件，也是判斷是否能追上的機會條件（到速度相等時，如果還沒有追上，后面往往就再也沒有機會），所以速度相等是分析判斷的關鍵切入點.

兩個關系是：時間關系和位移關系.

時間關系是指兩物體運動時間是否相等，兩物體是同時運動還是一先一后運動等；而位移關系是指兩物體同地運動還是一前一后等，通過畫運動示意圖找到兩物體間的位移關系是解題的突破口，因此在學習中一定要養成畫草圖分析問題的良好習慣，這對幫助我們理解題意，啟迪思維大有好處.

2 處理追擊和相遇問題的基本思路和常用解題方法

兩個物體在同一直線上運動，往往涉及追擊、相遇或避免碰撞等問題，解答此類問題的關鍵條件是：兩物體能否同時達到空間中的某位其中置.

基本思路：①分別對兩物體進行研究；②畫出運動過程示意圖；③列出位移方程；④找出時間關系、速度關系；⑤解出結果，必要時進行討論.

常用解題方法：

（1）列式法：當二者速度相等時，二者相距最遠（最近）.抓住這個臨界條件列式求解.

（2）數學判別式法：設相遇時間為t，根據條件列方程，得到關于t的一元二次方程，用判別式進行討論，若Δ>0，即有兩個解，說明可以相遇兩次；若Δ=0，說明剛好追上或相遇；若Δ<0，說明追不上或不能相遇.

（3）圖象法：畫出x－t圖象或v－t圖象，然后利用圖象進行分析求解.

（4）相對運動法：巧妙地選取參考系，找出兩物體間的相對運動關系進行求解.

筆者這里通過一個例題來講解學習、鞏固該題型的常用解題方法.

例題 如圖1所示，在傾角為θ的光滑斜面頂端有一質點A自靜止開始自由下滑，與此同時在斜面底端有另一質點B自靜止開始以加速度a背離斜

面在光滑水平面上勻加速運動， A下滑到斜面底端時能沿光滑的連接處平穩朝B追去，重力加速度為g，試求：為使A不能追上B，a的取值范圍應是多少？

解法1 列式法

A滑到底端后做勻速直線運動，在B的速度等于A之前，兩者距離越來越小，若速度相等時A未追上B，則速度相等后也不會追上，因為A、B距離又越來越大，可知A要追上B，則追上B時，A的速度必大于或等于B的速度.顯然a越大，A越難追上B，a大到某臨界值時A恰能追上B，超過此值A便不能追上B.

A在斜面上做勻加速運動，設A到斜面底部的速度為vA ，所經過的時間為t1=vA/gsinθ ，之后A勻速，B勻加速，設又經過時間t2后，A恰好能追上B.A恰好能追上B的臨界條件是vAt2=1/2a（t1+t2）2，

vB=a（t1+t2）=vA，兩式相除得t2=t1，可得a的臨界值為a=1/2gsinθ.

綜上所述，為使A不能追上B，a的取值范圍應為a>1/2gsinθ.

此種方法求解方便快捷，無須探究物理過程，運用數學知識簡單明了.

解法3 圖象法

圖象法是描述物理過程、揭示物理規律、解決物理問題的一種重要方法，在解決很多物理問題時往往更直觀、更形象、更簡潔，有列式法不可替代的優越性.

分別做出A和B兩質點的v-t圖象，如圖2所示.

解法4 相對運動法

追擊相遇問題相對復雜的地方在于兩個物體均在運動，若是能令其中一個物體靜止不動，那么就變成了一個物體的勻變速直線運動，一般以前車為參考物即可.注意此時的臨界條件為后者A相對于前者B的速度為0時，A相對于B的位移為0.此方法只要找準了相對速度及加速度，那么不管是計算量、還是分析難度都將大為減小.

設A在斜面上運動的時間為t，到達斜面底端時速度vA=gsinθ t，此時B的速度vB=at，位于斜面底端左側x=1/2at2處.

當A到達了光滑的小彎曲部分處時，以B為參考系，A的相對初速度為 Δv=vA－vB=（gsinθ－a）t，相對加速度為在Δa=0－a=－a，在x距離內相對速度要減為零.

則由02－Δv2=－2·Δa·x，

（gsinθ－a）t2=2·a·1/2at2，

化簡成gsinθ－a=a，得a=1/2gsinθ，

即加速度的取值范圍為a>1/2gsinθ.

3 結語

綜上所述，在處理追擊與相遇問題時，要緊抓“一圖三式”，即過程示意圖、時間關系式、速度關系式和位移關系式.若被追趕的物體做勻減速直線運動，一定要注意，追上前該物體是否已停止運動.仔細審題，注意抓住題目中的關鍵字眼，充分挖出題目中的隱含條件，如“剛好”“恰巧”“最多”“至少”等，往往對應一個臨界狀態，滿足相應的臨界條件.還有其他模型，解題技巧都大同小異.重要的是學會分析運動過程，找到不同物理量之間的關系，培養分析綜合能力，從而培養物理學科核心素養.

參考文獻：

[1]劉玲，例析追擊和相遇問題的解題思想和方法[J].中學物理，2013，31（12）：66-68.

[2]陳紅艷，例析追擊和相遇問題的解題方法[J].數理化結題研究初中版，2016，23（08）：10.