考慮安裝誤差6σ穩健設計的減速器改進齒面接觸分析

徐作棟，董月清，陽小勇

（1.天津職業技術師范大學 機械工程學院，天津 300222； 2.湖南三一工業職業技術學院 智能制造學院，湖南 長沙 410129；3.洛陽有色金屬加工設計研究院 技術部，河南 洛陽 471039； 4.湖南大學 機械工程與運載學院，湖南 長沙 410008）

錐齒輪在實際使用中，存在著安裝尺寸誤差并發生變形的情況［1-2］。錐齒輪在運轉時，由于存在一定安裝誤差，一方面會引起齒輪齒面發生接觸性能的變化，導致齒面接觸印痕偏離理想條件；另一方面還會形成波動幅度較大的傳動誤差曲線，使齒輪副傳動狀態不穩定，出現振動、沖擊的情況，齒輪副無法正常運轉，使齒輪系統的可靠性下降［3-5］。從當前錐齒輪的加工成本與制造技術水平層面考慮，如要進一步提升齒面平整度與安裝精度將會引起成本的明顯升高，并不能實現整體經濟效益的提升［6］。由此可見，為降低齒輪的安裝偏差，促進整體系統穩定性的提升，需要進一步改善嚙合特性，這也是優化錐齒輪齒面的重要措施。

Baxter［7］構建了4×2的矩陣用于分析安裝誤差引起的二階嚙合效果變化，計算時通過差分方法取代求導過程。Litvin 等［8］主要測試了不同錯位條件下錐齒輪發生齒面接觸整體的變化，同時探討了安裝誤差造成的傳動誤差差異。蔡香偉等［9］通過運用解析計算的方式研究了安裝誤差引起的齒面嚙合性能變化，同時重點分析了敏感度矩陣和V/H 檢驗的相互影響。根據以上研究結果，吳訓成［10］通過顯示模式推導得到接觸點在公切面中沿垂直方向形成的安裝誤差敏感度，同時建立了計算公式來實現齒面主動設計。唐進元等［11］分別測試了不同預設點的安裝誤差靈敏性，重新調整了預定錐齒輪主動設計模式，得到最優預設初始點位置參數，使誤差靈敏度系數明顯減小；蘇進展［12］對差曲面進行全曲率優化調整，從而在安裝錐齒輪時獲得更優的誤差敏感度，通過優化計算確定了可以降低安裝誤差敏感度的參數，采用量化算法確定了齒面印痕參數，測試了不同安裝誤差下發生的印痕參數變化規律，針對上述各項參數構建了敏感度矩陣，并利用仿真模型進行了驗證，對小輪加工過程的各項參數優化處理得到具有穩定參數的印痕齒面。

本文借鑒前期關于齒輪安裝誤差與印痕量化的研究成果，在分析安裝誤差基礎上根據印痕特性與6σ穩健優化的方法構建目標函數，通過Monte Carlo 算法完成抽樣，采用多島遺傳算法實現二階接觸參數優化并調整安裝誤差。對比了本文提出的優化方法和確定性優化方法差異性，表明采用本文設計的穩健性方法滿足可靠性要求。

1 考慮安裝誤差的承載接觸模型

錐齒輪發生嚙合的過程中，齒面在嚙入與嚙出期間一直保持相切的狀態，通過齒輪接觸分析（load tooth contact analysis，TCA）實現錐齒輪副接觸過程的仿真分析。加入安裝誤差向量E作為影響因素的條件下采用局部綜合法進行分析，對齒面加工參數進行設計優化得到TCA［13］表達式如下：

式中：E為系統的安裝誤差向量；sp、sg、θp、θg、?r1、?r2為輪曲面結構參數。

TCA未考慮載荷因素造成的影響，以加載齒輪接觸分析（load tooth contact analysis， LTCA）開展分析，得到以下的方程：

式中：F為大小n×n的柔度矩陣；p為載荷矢量；w為間距矢量；Θ為在輪齒彈性變形階段產生的大輪轉角；r1為小輪接觸點回轉半徑矢量；r2為大輪接觸點回轉半徑矢量；d為發生n維變形時得到的間距矢量；T1為小輪輸入扭矩。當p≥0，d取值0；當p＜0 時，d取值大于0，d取值為1，2，…，n，n為嚙合位置可能發生接觸的離散點數量。

LTCA 中包含TCA 算法結果，以式（2）進行計算時，存在安裝誤差的情況下進行LTCA 計算時，對間距向量與回轉半徑矢量實施坐標轉換，得到安裝誤差加載齒輪接觸分析（installation error load tooth contact analysis，IELTCA）計算式：

2 考慮安裝誤差的6σ穩健設計

2.1 6σ穩健設計理論

設計產品組成結構及對其進行使用測試時，設計方式與各項影響因素的改變都會反映到產品質量的變化層面，可以將上述變量分成確定性和不確定性2 種類型［14］。齒輪系統安裝過程中產生的誤差屬于不確定變量。6σ穩健優化方法屬于一項統計學方法，初始設計階段可以先建立齒輪安裝誤差概率模型進行嚙合質量分析，根據6σ分析的方法判斷各個隨機變量引起的嚙合性能變化，由此確定符合嚙合特性與可靠性的最佳解。按照6σ穩健方法進行優化設計的具體過程是先在某一設計點設置隨機擾動信號，再通過算法獲得靠近均值點的樣本數據，從而評價此方案可靠度與穩健性。以6σ穩健優化方法和確定性優化方法進行差異對比的結果［15-16］如圖6 所示。根據如下模型計算式進行穩健優化設計：

式中：X1=［x1，…，xi，…，xn］屬于隨機變量；y為輸出響應；μy、μxi為設計變量；σy、σxi為輸出響應方差；xui、xli依次對應隨機設計變量xi上限與下限；n為σ水平，在n取值6的情況下，得到6σ穩健模型。

與確定性方法進行比較可知，6σ穩健設計方法可以在遠離約束邊界條件下得到可靠性優化解。建立目標函數f（x），當隨機變量波動幅度為±Δx1時，目標函數形成了±Δf1的大幅波動，位于穩健設計點處；隨機變量波動為±Δx2時，目標函數形成了±Δf2的小幅波動，有效抑制穩定性解失效率并減小波動區間，結果如圖1所示［16］。

圖1 穩健性優化模型Fig.1 Robust optimization model

2.2 基于IELTCA優化設計數學模型

本文以錐齒輪副含安裝誤差作為依據進行承載接觸分析（IELTCA），同時優化了齒面接觸印痕中心當量，通過齒面印痕特征當量確定約束表達式，獲得下述安裝誤差齒面6σ穩健優化模型［16］：

式中：η為接觸軌跡和齒根之間形成的夾角；m'0為傳動比一階導數；δ為接觸區域長半軸與齒寬之比；Hp為小輪軸向位移；Hg為大輪軸向位移；L為大小輪軸線位移；α為大小輪軸線偏角。

目標函數如下：

式中：W1、W2為權重系數；S1、S2為對目標均值和標準差進行歸一化的系數；μg、σg分別為印痕中心位置當量值的均值和標準差；E0為期望目標值。

約束條件如下：

式中：S'、d'、e'屬于印痕范圍、方向與傳動精度誤差當量；μxi、σxi為xi均值和標準差；xmin、xmax為變量上、下限。

安裝誤差邊界設置見表1，接觸邊界設置見表2。

表1 安裝誤差邊界設置Tab.1 Installation error boundary setting

表2 接觸邊界設置Tab.2 Contact boundary settings

由式（5）和式（6）可知，利用6σ穩健優化方法得到的目標函數存在如下2個方面的特征：① 位于印痕中心區域的當量值符合平均性能目標，達到了最低均值。② 發生安裝誤差波動的情況下，獲得與動性能目標相符的輸出響應結果，此時達到最低標準差。

根據約束條件考慮印痕常規特征與接觸區間形成傳動誤差變化。采用6σ穩健優化模型進行分析時可以確保方案滿足適用性，并在錐齒輪傳動階段獲得穩定的安裝誤差。6σ穩健優化的具體流程［16］如圖2所示。

圖2 考慮安裝誤差的6σ穩健優化流程Fig.2 6σ robust optimization flow chart based on installation error

3 算例

本次選擇WPLF040型錐齒輪傳動過程開展6σ穩健優化處理，齒輪的各項基本參數見表3，初始二階接觸參數見表4。安裝誤差呈現隨機正態分布的特點，以標準差值作為極限值；二階接觸參數都呈現均勻分布的狀態，結果見表5 和表6。通過敏感度系數優化確定性，再根據DFSS 分析方法，計算多目標優化的線性加權均值。

表3 齒輪基本參數Tab.3 Basic parameters of round blanks

表4 初始接觸參數Tab.4 Initial contact parameters

表5 印痕特征響應結果Tab.5 Results of characteristic response of impressions

表6 傳動誤差響應結果Tab.6 Transmission error response results

設定相同的初值，并保持確定性優化結果和穩健優化結果處于同樣的安裝誤差條件下，便于對結果進行比較。按照6σ方法開展分析，對正態隨機安裝誤差進行優化得到二階接觸參數，通過Monte Carlo抽樣的方式完成3種結果的100次隨機抽樣，再對包含安裝誤差的齒面接觸印痕實施IELTCA計算。表5與表6給出了各項參數計算結果。

通過分析3 種方案安裝誤差隨機抽樣響應數據可知，沒有經過優化的最初參數受到安裝誤差的影響較大，發生了印痕中心位移的大幅波動，形成了2.43σ的傳動誤差，未達到穩健性約束的狀態，存在失效的問題。通過確定性優化后促進了安裝誤差穩健性的提升，傳動誤差為3.52σ，可靠度超過99.9%，此時形成了波動較大的印痕中心，因此并未形成優化邊界，存在一定缺陷；6σ穩健優化過程有助于印痕特征形成更穩定的安裝誤差，傳動誤差為達到8σ水平，同時可靠度超過99.993 7%，波動區間都未超過優化邊界，并實現了印痕中心波動程度的大幅減小，獲得了穩定性更高的齒輪系統。

為了比較各方案的控制性能，根據IELTCA 分析接觸印痕與傳動誤差變化曲線。齒輪傳動特性對比如圖3 所示。由圖3 可知，處于不同的二階接觸參數下對應的印痕特征也存在顯著差異，顯著改善了各安裝誤差下的傳動誤差。由于6σ穩健設計傳動誤差波動相對確定性優化方法減小了30%，由此推斷6σ穩健設計具備更優可行性。

圖3 齒輪傳動特性對比Fig. 3 Comparison of gear transmission characteristics

5 結論

（1） 6σ穩健優化過程有助于印痕特征形成更穩定的安裝誤差，可靠度超過99.993 7%，實現了印痕中心波動程度的大幅減小，獲得了穩定性更高的齒輪系統。

（2） 處于不同的二階接觸參數下對應的印痕特征也存在顯著差異，顯著改善了各安裝誤差下傳動誤差。6σ穩健設計方法相對確定性優化方法，傳動誤差波動減小了30%，可行性更好。