3URS-PPPS并聯變胞切割機構的運動學分析及仿真

王愛芳，劉秀蓮，宋勝偉，楊晨升

（1.黑龍江科技大學 機械工程學院，黑龍江 哈爾濱 150022； 2.湖州職業技術學院 智能制造與電梯學院，浙江 湖州 313000）

并聯變胞機構是根據外界環境變化進行自我重組的新型機構，具有并聯機構和變胞機構的雙重優勢。與傳統定自由度和定拓撲并聯機構相比，并聯變胞機構在連續運行時，可改變其有效構件特性、運動副特性和軸線方位配置，主動控制拓撲結構和自由度變化，具有多功能、多拓撲結構和多自由度這3 個顯著的特征。甘東明等［1］基于螺旋理論，推導了變胞并聯機構的統一運動學逆解方程和完整雅克比矩陣，完成了并聯變胞機構的優化設計。賈璞等［2］提出3（Ra）PS 變胞并聯機構，研究了基于變胞鉸鏈Ra的新型3（Ra）PS變胞并聯機構的可重構特性和統一運動學分析方法。劉秀蓮［3］提出3URS-PPPS 并聯變胞切割機構，研究其構型和性能。羅建國等［4-5］提出具有3 自由度的3-RRR 低耦合度平面并聯機構，通過Matlab 對機構運動學進行仿真分析，獲得該機構的速度及加速度曲線。苗國華等［6］提出一種新型的并聯變胞機構，并對其2 個構態展開運動學分析。馬琨等［7-8］提出2-PrRSPR（P）S 并聯變胞機構，采用封閉矢量法和幾何約束關系，建立機構位姿正解和逆解模型。并聯變胞機構的運動學位姿正解和逆解是研究并聯變胞機構運動學的重點，也是機構工作空間分析和誤差分析的基礎。本文對3URS-PPPS 并聯變胞切割機構建立了統一的位姿模型，采用Matlab 進行數值分析，同時利用ADAMS 仿真，進行對比分析，驗證了運動學方程的正確性。

1 3URS-PPPS 并聯變胞機構結構組成

3URS-PPPS 并聯變胞機構是由可調機架、靜平臺和動平臺、3 個完全相同的URS 無約束支鏈及1 個PPPS 變胞支鏈組成。URS 支鏈的機械結構有驅動單元、第1 胡克鉸U、主動直連桿、第2 轉動副R、從動直連桿和第3 等效球副S（匯交軸線），按照靜平臺至動平臺串行連接構成。PPPS變胞支鏈是由3個空間正交的移動副P和第4等效球副S（匯交軸線）組成，仍按照靜平臺至動平臺串行連接構成。3URS-PPPS 并聯變胞機構在工作時有2 個構態、3個平動的3T 構型和5 自由度的3T2R 構型。由3URS-PPPS 支鏈構成的并聯變胞構型在構態1 和構態2中的約束結構如圖1所示。

圖1 PPPS型復雜曲面并聯變胞切割機構Fig.1 PPPS complex surface parallel metamorphic cutting machine

2 并聯變胞切割機構的統一位姿解析建模

為構建變胞機構在不同源/子構態構型下統一位姿解析模型，設置初始位形和結構參數如圖2所示。其中，靜動平臺的圓周半徑分別為R和r，連接運動副呈120°對稱分布。在分支Ak、Bk和Ck中，構件尺度參數以p1、p2、p3和p4表示，在分支A4、B4、C4和D4中，尺度參數以l1，l2，…，l6表示。

圖2 3URS-PPPS 型并聯變胞切割機構的初始位形和結構參數Fig.2 Initial configuration of parallel metamorphic cutting mechanism

考慮到3T構型和3T2R構型都能采用變胞源構態的3T3R構型簡化描述，因此完整設置動平臺的6個位姿參數是動坐標系原點的位置矢量［x，y，z］T，姿態參數是ZYX形式的3 個歐拉角[α，β，γ]。此時采用先平移后旋轉的方式，動坐標系相對于定坐標系的變換模型表達式如下：

式中：T為平移；R為旋轉。

對于URS 分支，靜平臺上連接點A10、A20、A30，第1 胡克鉸的中心點A1、A2、A3，動平臺上連接點C10、C20、C30，以及球鉸中心點C1、C2、C3的位置矢量都可以表示出來。

對于PPPS 分支，動平臺上連接點o以及球鉸中心點D4的位置矢量同理可以表示。

根據并聯構型的一般變換關系，首先對其進行位姿逆解建模，轉換為給定動平臺的位姿參數x、y、z、α、β、γ，確定驅動關節的角位移量θ11、θ21、θ31、θ44、θ45、θ46。

通過觀察分支Ak、Bk、Ck（k=1，2，3）的幾何結構，構建約束方程如下：

式中：θ11、θ21、θ31為第1 轉動副的角位移量，，初始值固定為零；θ12、θ22、θ32為第2 轉動副的角位移量，取值范圍也是，初始值表示為θ12，0、θ22，0、θ32，0。

利用式（5）、式（6）可確定3 個URS 分支中的驅動輸入量。再觀察分支A4、B4、C4、D4的幾何結構，構建出約束方程為

式中：θ44、θ45、θ46分別是第4、第5 和第6 轉動副的角位移量，初值都為零，取值范圍給定為分別是第4、第5 和第6 轉動副的單位運動螺旋。

通過式（7）、式（8）可確定PPPS 分支中的驅動輸入量。由2 組位姿逆解模型可知，所建并聯變胞構型具有較好的運動解耦性。無論是變胞源構態的6 自由度構型，還是3T（3T2R）構型，根據動平臺的實際姿態參數都能夠直接獲得恰約束/主動約束變胞分支中的驅動輸入量θ44、θ45、θ46，再附加位姿參數即可獲得無約束分支中的驅動輸入量θ11、θ21、θ31。

基于并聯構型的位姿超越方程，對其進行位姿正解建模，將其轉換為給定驅動關節的主動輸入量θ11、θ21、θ31、θ44、θ45、θ46，確定動平臺的位姿參數x、y、z、α、β、γ。

利用所建機構的運動解耦性，由式（7）、式（8）可得變胞源/子構態的姿態參數統一正解模型，表達式如下：

在3T3R 構型下，主動輸入量θ44、θ45、θ46直接對應著動平臺姿態α、β、γ；在3T 構型下，主動輸入θ44、θ45、θ46都鎖定為常值（一般為0），動平臺也不具有姿態變化；在3T2R 構型下，主動輸入θ46鎖定為常值，保留2 個輸入量θ44、θ45，動平臺也僅具有α、β方向的運動。

根據所建構型的結構組成，當主動輸入θ44、θ45、θ46給定后，動平臺的姿態α、β、γ是固定參數，與θ11、θ21、θ31無關。此時由式（2）～式（6）可得變胞源/子構態的位姿參數統一正解模型，表達式如下：

式中：g1、g2、g3為中間變量。

在3T 和3T2R 構態中，位姿解析表達式不變，僅需適當地修正中間變量g1、g2、g3。

3 數值計算與實體仿真對比分析

為了使位姿解析仿真具有明確的物理意義，在模擬火焰切割加工時給定末端動平臺的期望運動軌跡。以所建位姿解析統一模型為基礎，設置復雜曲面并聯變胞切割機構的結構參數，見表1，對Matlab數值計算與Adams實體仿真進行對比分析。

表1 復雜曲面并聯變胞切割機構的結構參數Tab.1 Structural parameters of parallel cellular cutting mechanism with complex curved surface

根據Matlab 數值計算得出位姿逆解模型對應的主動輸入變化規律如圖3 所示。由圖3 可知，將主動輸入變量離散參數分別代入位姿正解模型，可得對應的動平臺輸出參數，如圖4所示。

圖3 位姿逆解模型對應的主動輸入變化規律Fig.3 The change law of active input corresponding to the inverse model of pose

圖4 位姿正解模型對應的動平臺輸出參數Fig.4 The output parameters of the moving platform corresponding to the forward displacement model

在ADAMS 實體仿真過程中，采用相同的輸入參數，得到位姿輸出結果，如圖5所示。

圖5 實體仿真模型對應的動平臺輸出參數Fig.5 The output parameters of the moving platform corresponding to the entity simulation model

進一步對比數值計算和實體仿真結果，見表2。

表2 數值計算和實體仿真分析的誤差對比結果Tab.2 Error comparison results of numerical and solid simulation analysis

通過圖3中曲線變化趨勢和表2中相對誤差統計結果可知，在整周期運行時的位置參數中，最大相對誤差小于0.003；姿態參數不存在運動誤差，數值計算與實體仿真結果基本一致。

4 結論

（1） 介紹3URS-PPPS 型并聯變胞切割機構結構及構態，構建了3URS-PPPS 型并聯變胞切割機構在不同源/子構態構型下的統一位姿解析模型。

（2） 由數值計算和實體仿真結果對比結果可得：所建統一位姿解析模型是正確有效的，并展現了并聯變胞切割機構的運動解耦保持性與多構態連續運動能力。