改進(jìn)自適應(yīng)粒子群算法的PID參數(shù)優(yōu)化

孫 超，郭乃宇，嚴(yán)明蝶，丁建軍

（1.江漢大學(xué) 省部共建精細(xì)爆破國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢 430000； 2.江漢大學(xué) 智能制造學(xué)院，湖北 武漢 430000）

隨著現(xiàn)代化工業(yè)的發(fā)展，在工業(yè)控制領(lǐng)域中，為控制溫度、壓力、水位等連續(xù)變化的物理量［1-3］，比例、積分、微分（proportional，integral and differential，PID）成為現(xiàn)代工業(yè)生產(chǎn)控制系統(tǒng)中最常見(jiàn)的系統(tǒng)之一［4］。對(duì)于PID 控制器，參數(shù)取值的差異會(huì)影響控制系統(tǒng)的優(yōu)劣，其關(guān)鍵在于3 個(gè)基本單元的參數(shù)搭配，可知決定整個(gè)PID 控制效果的關(guān)鍵為3 個(gè)單元參數(shù)的整定［5］。

常用的PID 參數(shù)整定法有實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)整定法、ZN（Ziegler-Nichols）計(jì)算法［6］和C-C（Cohen-Coon）整定法［7］。但隨著被控對(duì)象的維數(shù)逐漸提高，需探究新的方法對(duì)關(guān)鍵參數(shù)值進(jìn)行尋優(yōu)。唐玉蘭等［8］在永磁式伺服電機(jī)上增加PID 控制器，使用粒子群算法進(jìn)行參數(shù)尋優(yōu)，證實(shí)粒子群算法的優(yōu)越性。彭健等［9］使用雞群優(yōu)化算法求得PID控制器的最優(yōu)參數(shù)，提升了控制系統(tǒng)的精度、響應(yīng)速度和魯棒性。Ren 等［10］使用粒子群算法對(duì)模糊控制PID 系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化，應(yīng)用于圖書(shū)館智能機(jī)器人導(dǎo)航系統(tǒng)的改進(jìn)，提高了導(dǎo)航路徑的準(zhǔn)確度。以上方法雖然較好地解決了PID 參數(shù)尋優(yōu)的問(wèn)題，但是隨著參數(shù)復(fù)雜度的提高，仍未解決局部最優(yōu)解的問(wèn)題。

近年來(lái)，隨著工業(yè)領(lǐng)域控制系統(tǒng)性能需求的提高，粒子群算法易在局部求得最優(yōu)解的問(wèn)題越來(lái)越明顯，為解決這一問(wèn)題，需優(yōu)化粒子群算法［11-14］。于彥［15］對(duì)采用自適應(yīng)權(quán)重的粒子群進(jìn)行PID 控制器的參數(shù)優(yōu)化，雖然使得PID 的效果更好，但該方法會(huì)增大權(quán)重，影響收斂速度和瞬態(tài)響應(yīng)。徐克鋒等［16］基于天牛須搜索算法改進(jìn)粒子群算法，經(jīng)優(yōu)化后的控制器具有更好的控制性能，但采用天牛須搜索算法的收斂速度較慢，面對(duì)復(fù)雜問(wèn)題時(shí)，易出現(xiàn)搜索失敗的情況。張繼榮等［17］將確定權(quán)重的方法由正弦確定改為余弦確定，獲得更好的實(shí)際效果，但基于該方法尋優(yōu)的PID 控制有較強(qiáng)的震蕩和較高的超調(diào)量。

本文提出了一種基于改進(jìn)自適應(yīng)粒子群的優(yōu)化算法，將絕對(duì)誤差積分（integral of absolute value of error criterion，IAE）準(zhǔn)則作為性能指標(biāo)函數(shù)，將以最小值確定慣性權(quán)重法的自適應(yīng)算法引入標(biāo)準(zhǔn)粒子群優(yōu)化算法（particle swarm optimization， PSO）中，對(duì)采用Simulink 建立的PID 控制模型參數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)，并與基于實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)整定法、標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法和一般自適應(yīng)粒子群算法進(jìn)行參數(shù)尋優(yōu)的PID 控制系統(tǒng)的效果比較，提出的新方法表現(xiàn)出更好的控制效果。

1 PID控制器

作為在工業(yè)控制環(huán)境中最常用的控制器之一，PID 控制器是以比例單元（Proportion，P）、積分單元（Integration，I）和微分單元（Differentiation，D）3 個(gè)基本部分組成，其原理如圖1 所示。

圖1 PID結(jié)構(gòu)原理Fig.1 PID structure schematic diagram

PID 控制器以輸入和輸出之間的差異值作為對(duì)象，通過(guò)對(duì)3 個(gè)關(guān)鍵變量的調(diào)節(jié)控制被控對(duì)象。比例系數(shù)調(diào)節(jié)比例單元中參數(shù)值，會(huì)影響控制系統(tǒng)的響應(yīng)速度，并提高處于穩(wěn)態(tài)后系統(tǒng)的精度，用Kp表示；積分環(huán)節(jié)可消除穩(wěn)態(tài)誤差，使輸出值與給定值相同，并保持一致，其系數(shù)用Ki表示；微分環(huán)節(jié)能避免被控對(duì)象出現(xiàn)滯后，減少系統(tǒng)的超調(diào)和振蕩，降低穩(wěn)定裕度，微分系數(shù)用Kd表示。由圖1 可知，PID控制器的動(dòng)態(tài)方程如下：

式中：x（t）為目的信號(hào)；y（t）為輸出結(jié)果；e（t）為x（t）與y（t）的差值；μ（t）為控制器輸出。

由式（2）可知，Kp、Ki和Kd的不同組合會(huì)影響PID 控制器的性能。因此PID 控制器的參數(shù)尋優(yōu)可獲得基本參數(shù)的最優(yōu)解，進(jìn)而確保控制器符合實(shí)際使用需求。

2 自適應(yīng)粒子群算法

2.1 標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法

粒子群算法是早期研究人員根據(jù)群鳥(niǎo)捕食得到啟迪，開(kāi)發(fā)的優(yōu)化算法，其流程如圖2所示。

圖2 標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法流程Fig.2 Flow chart of standard particle swarm optimization algorithm

將群鳥(niǎo)的個(gè)體均視為1 個(gè)粒子，所有粒子記作的群體對(duì)應(yīng)的鳥(niǎo)群，更新每個(gè)粒子的開(kāi)始速度與位置的表達(dá)式如下：

式中：ω為慣性權(quán)重；υi為粒子個(gè)體的速度；ci為粒子的學(xué)習(xí)因子；pi為粒子個(gè)體；pBest為粒子個(gè)體在每一步得出的解的最優(yōu)值；gBest 為粒子個(gè)體在全局中每一步得出的解的最優(yōu)值；ri為均勻隨機(jī)取值；k為迭代次數(shù)。

將c1、c2設(shè)置為c1=c2=2，r1、r2的取值是隨機(jī)的，但分布均勻，其取值均為-1～1。

由式（3）可知，粒子迭代更新的主要依據(jù)是pBest 和gBest。粒子展開(kāi)速度更新后，將影響下一代速度，群體的最優(yōu)解在更新后也會(huì)影響下一代粒子的速度，累加2 種影響的結(jié)果，獲得下一代粒子的速度。

2.2 粒子群算法的自適應(yīng)權(quán)重

粒子群算法中ω影響粒子的飛行速度，從而影響其搜索能力。ω的值越大，粒子飛行速度越快，搜索范圍更大，全局搜索能力加強(qiáng)；ω的值越小，粒子飛行速度越慢，搜索范圍減小，局部搜索能力加強(qiáng)。因此ω值的選擇對(duì)整個(gè)PSO 的實(shí)際效果具有重要作用。

針對(duì)固定ω?cái)?shù)值可能導(dǎo)致算法產(chǎn)生局部最優(yōu)的問(wèn)題，基于自適應(yīng)的思路調(diào)整ω。采用傳統(tǒng)方法調(diào)整ω的表達(dá)式如下：

式中：ωmax、ωmin分別為ω的最大值和最小值；f為粒子的適應(yīng)度；favg為其平均值；fmax為其最大值。

當(dāng)ω較小時(shí)，求得的解更接近最優(yōu)值，以該思路進(jìn)行優(yōu)化，以最小權(quán)值作為自適應(yīng)權(quán)重，根據(jù)不同適應(yīng)度計(jì)算求解ω，使其為適合使用的最佳值，其表達(dá)式如下：

當(dāng)f＞favg時(shí)，粒子與其最優(yōu)解之間仍相差較大，應(yīng)加大慣性權(quán)重，擴(kuò)大其搜索范圍，以便更加靠近最優(yōu)解；當(dāng)f＜favg時(shí)，粒子已較接近其最優(yōu)解，更需進(jìn)行局部搜索以探索最優(yōu)解。

2.3 性能指標(biāo)的選擇

為確定控制系統(tǒng)性能的優(yōu)良度，采用性能指標(biāo)作為判斷方法，常用的性能指標(biāo)有ISE、ITSE、IAE和ITAE4種，其表達(dá)式如下：

性能指標(biāo)不同，控制器的效果也不同，但其目的均是使e（t）更小。四者相比，ISE的速度較快，但震蕩也較大；ITSE在瞬態(tài)響應(yīng)后的偏差較小，但會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后的穩(wěn)定性較差；采用IAE的系統(tǒng)阻尼效果較好，瞬態(tài)響應(yīng)速度也較快，并能有效抑制系統(tǒng)的小偏差；ITAE的最大動(dòng)態(tài)偏差較大，用分析法計(jì)算較困難。IAE面對(duì)較小偏差時(shí)的效果較好，本文選擇IAE作為性能指標(biāo)函數(shù)。

3 自適應(yīng)粒子群算法在PID參數(shù)優(yōu)化的應(yīng)用

對(duì)PID 控制系統(tǒng)3 個(gè)參數(shù)值尋優(yōu)的過(guò)程，是基于IAE計(jì)算獲得適應(yīng)度的函數(shù)，并以較小值為基準(zhǔn)確定ω值以達(dá)到優(yōu)化PSO 的目的，隨后找尋PID 控制系統(tǒng)3 個(gè)基本參數(shù)的最優(yōu)解，確保系統(tǒng)達(dá)到更好的使用效果。采用該方法對(duì)PID 進(jìn)行參數(shù)尋優(yōu)的結(jié)構(gòu)圖如圖3所示。

圖3 改進(jìn)的粒子群算法優(yōu)化PID的結(jié)構(gòu)Fig.3 Structure diagram of improved particle swarm optimization PID

使用改進(jìn)后的粒子群算法優(yōu)化PID 參數(shù)時(shí)，根據(jù)式（3）、式（4）更新粒子群的位置和速度，其流程如圖4所示。

圖4 改進(jìn)粒子群算法優(yōu)化PID控制系統(tǒng)流程Fig.4 Flow chart of improved particle swarm optimization PID control system

4 實(shí)驗(yàn)過(guò)程及仿真結(jié)果分析

4.1 實(shí)驗(yàn)過(guò)程

為驗(yàn)證經(jīng)改進(jìn)的粒子群對(duì)PID 參數(shù)值進(jìn)行尋優(yōu)后的系統(tǒng)性能，將實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)整定法、標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法、一般自適應(yīng)權(quán)重的粒子群算法及自適應(yīng)權(quán)重的粒子群算法分別應(yīng)用于對(duì)同一PID 調(diào)頻系統(tǒng)的參數(shù)尋優(yōu)，并比較結(jié)果。

實(shí)驗(yàn)的過(guò)程中，粒子的數(shù)量為20，最大迭代次數(shù)為20，將粒子維度設(shè)為3，分別對(duì)應(yīng)求最優(yōu)解的3 個(gè)參數(shù)，c1=c2=2，將粒子速度的初始值設(shè)為零，取值為［-1，1］，防止粒子速度超出可用范圍而跳過(guò)最優(yōu)解。根據(jù)式（6）確定ω，增強(qiáng)粒子對(duì)局部和全局的搜索能力，將ωmax、ωmin分別設(shè)為0.9 和0.4。采用IAE作為適應(yīng)度函數(shù)，利用其能使系統(tǒng)產(chǎn)生適當(dāng)阻尼的特性，減少系統(tǒng)誤差，提高系統(tǒng)穩(wěn)定性。

本文選取傳遞函數(shù)如下的PID 調(diào)頻系統(tǒng)作為被控對(duì)象：

式中：G為傳遞函數(shù)；s為頻率。

PID 調(diào)頻系統(tǒng)的Simulink 仿真模型如圖5所示。

圖5 PID調(diào)頻系統(tǒng)Simulink仿真模型Fig.5 Simulink simulation model of PID frequency modulation system

輸入為階躍信號(hào)，Error.mat 為性能指標(biāo)IAE的值，使用Matlab 2019編寫(xiě)仿真函數(shù)。

4.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

3 種粒子群算法的適應(yīng)度函數(shù)值曲線如圖6 所示。由圖6 可知，以本文提出的方法在收斂時(shí)的適應(yīng)值最低，在第4次迭代時(shí)接近收斂，其他2種方法的分別在第10次和第11次迭代趨于收斂。綜上所述，以最小值為準(zhǔn)進(jìn)行改進(jìn)，PSO 收斂速度更快，且在收斂后的控制系統(tǒng)的精度更高。

圖6 3種粒子群優(yōu)化算法的適應(yīng)度函數(shù)值曲線Fig.6 Fitness function value curve of three particle swarm optimization algorithms

將4 種參數(shù)值整定的方法用作PID 控制系統(tǒng)，其響應(yīng)曲線如圖7 所示，結(jié)果見(jiàn)表1。由圖7 和表1可知，經(jīng)多次整定，系統(tǒng)超調(diào)量為14.30%，調(diào)節(jié)時(shí)間為4.190 s，采用標(biāo)準(zhǔn)粒子群進(jìn)行參數(shù)尋優(yōu)后，系統(tǒng)的超調(diào)量降到了8.15%，調(diào)節(jié)時(shí)間為4.445 s，與經(jīng)驗(yàn)整定法相比，略有上升，可能是粒子迅速陷入局部極值所導(dǎo)致。自適應(yīng)粒子群算法解決了該問(wèn)題，使系統(tǒng)超調(diào)量下降到3.45%，調(diào)節(jié)時(shí)間減少到1.028 s。本文提出算法的超調(diào)量為3.20%，且調(diào)節(jié)時(shí)間減少為0.165 s，進(jìn)一步提高了系統(tǒng)性能。另外，經(jīng)本文提出算法優(yōu)化的PID 系統(tǒng)基本無(wú)振蕩，其他方法均略有振蕩，說(shuō)明該算法可提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性。因此改進(jìn)的自適應(yīng)粒子群算法可優(yōu)化超調(diào)量、響應(yīng)速度、收斂速度等指標(biāo)，同時(shí)提升了系統(tǒng)的穩(wěn)定性，控制系統(tǒng)其在實(shí)際應(yīng)用中具有良好的控制效果。

表1 4種參數(shù)優(yōu)化方法的PID整定結(jié)果Tab.1 PID tuning results of four parameter optimization methods

圖7 4種參數(shù)優(yōu)化方法的PID控制效果Fig.7 PID control effect of four parameter optimization methods

5 結(jié)語(yǔ)

本文改進(jìn)了傳統(tǒng)自適應(yīng)粒子群算法中的自適應(yīng)權(quán)重算法，使慣性權(quán)重在局部始終以較小值迭代，提升了粒子的尋優(yōu)能力。采取IAE計(jì)算適應(yīng)度函數(shù)，提升阻尼的選擇能力，提高系統(tǒng)的速度。使用該算法對(duì)PID 調(diào)頻系統(tǒng)展開(kāi)參數(shù)尋優(yōu)，并與實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)整定法、標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法和一般自適應(yīng)粒子群算法的尋優(yōu)結(jié)果對(duì)比，結(jié)果顯示其超調(diào)量為3.2%，調(diào)節(jié)時(shí)間減少到0.165 s，與其他3 種方法相比，其振蕩更低，收斂速度更快，且可提升系統(tǒng)穩(wěn)定性，控制系統(tǒng)具有良好的控制效果。