三角巧變換，“五變”妙應用

■許 珍

三角函數的求值、化簡或證明是三角恒等變換的重要內容之一。在高考中,一般與三角函數有關的問題,都以三角恒等變換為重要手段,變換時,經常用到同角三角函數基本關系式、誘導公式、和差倍半公式等,還涉及因式分解、換元法,以及分類討論思想等。

一、角的變換

在三角函數的化簡、求值或證明中,角的變換是最基本的。為了得到合理的角的變換,就必須觀察所求問題中的角與已知條件中的角之間的聯系,消除條件與結論中角的差異,使得所求問題順利獲解。常見角的變換有α=(α+β)-β,2α=(α+β)+(α-β),可視為的半角等。

將條件中的角與結論中的角進行合理的變角處理,或將所求角拆成已知角,是連接和溝通已知與結論的重要手段。注意常用到的一些變角代換有:單角化復角(這里所說的復角是指由角的和或角的差所形成的角)、單角化倍角、倍角化復角、復角化復角等。

二、名的變換

在三角函數的求值、化簡或證明中,由于三角函數的名有三個(正弦、余弦與正切),經常會對一些函數的名進行變換,其目的是減少運算中的三角函數名,給求值、化簡或證明帶來方便。在求值、化簡或證明中,切化弦與弦化切,化異名函數為同名函數是常用的三角函數名的變換技巧。

三角變換時,化同名函數的目的就是方便化簡與變形。常見的三角函數名的變換有:化弦法(利用商數關系將正切轉化為正弦與余弦的關系),化切法(在一次齊次分式或二次齊次分式中,利用同除“cosα”或“cos2α”來轉化為正切關系)等。

三、冪的變換

三角變換中的冪變換是三角變換中十分重要的變換方法之一,通過冪的變換可以為解題提供更多的突破口,為公式的應用提供條件。分析題目的結構,掌握結構的特點,通過降冪、升冪等變換手段,為使用公式創造條件。

四、式的變換

三角函數中有比較多的三角公式,有些三角公式可以直接應用,而有些三角公式經過適當的公式變換之后,也可用于解題。三角公式是變換的依據,要熟練掌握三角公式的正用、逆用和變形應用。

例4 證明:(三正切公式)在斜三角形ABC中,恒有關系式tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC成立。

證明:在斜三角形ABC中,令α=A,β=B,則A+B=α+β=π-C。

結合兩角和的正切公式的變形式tanα+tanβ=tan(α+β)-tanαtanβtan(α+β),可得tanA+tanB=tan(A+B)-tanA·tanBtan(A+B),所以tanA+tanB=tan(π-C)-tanAtanBtan(π-C)。

結合誘導公式得tanA+tanB=-tanC+tanAtanBtanC,整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC。

三角函數的變換問題,實質就是三角函數公式的正用、逆用和變形應用。

五、數的變換

在三角變換中,有時需要將常數轉化為三角函數的值,如常數“1”的代換變形有:1=sin2α+cos2α=sin90°=tan45°等。在具體的三角變換中,可根據題目條件中的不同結構特征,選擇不同的變換方式。

對于常數“1”,往往可以將其轉化為對應的三角函數關系式,結合具體的題目條件加以分析與應用。

說明:本文系江蘇省教育科學“十四五”規劃重點課題“學習進階理論下高中數學單元學習元指導研究”(編號:B/2022/03/65)的階段性研究成果,以及江蘇省教育科學“十四五”規劃重點課題“大概念視角下的高中數學單元整體教學實踐研究”(編號:B/2021/02/28)的階段性研究成果。