三角函數解析式中ω 的求解策略

■翁志堅

在三角函數的圖像與性質中,求解參數ω的值或取值范圍問題一直是高考命題的一個熱點,也是同學們學習的一個難點。下面結合實例,從三角函數的周期性、單調性、最值、零點,以及圖像的視角應用,說明在不同條件下求解參數ω的技巧與策略。

一、根據函數的周期性求ω

在三角函數y=Asin(ωx+φ)中,函數的最小正周期T與參數ω密切相關,利用三角函數的周期公式構建兩者之間的聯系,從而確定參數ω的值或取值范圍。

分析:根據題設條件,先利用函數f(x)的周期構建參數ω的不等式,得到參數ω的取值范圍,再利用函數的對稱中心,構建參數ω的關系式,求得參數ω的值。

二、根據函數的單調性求ω

對于函數y=Asin(ωx+φ)的單調性,一方面與參數ω的值的正負有關,另一方面,單調區間的長度也與周期有關。周期的大小由參數ω決定,三角函數的單調性、單調區間與參數ω的值密切相關,因此利用三角函數在區間上的單調性可以確定參數ω的值或取值范圍。

分析:利用函數f(x)的單調區間的兩個端點處的三角函數值恰好位于正弦函數的一個單調遞增區間內,建立相應的不等式,結合參數ω的限制條件,即可求出ω的取值范圍。

三、根據函數的最值(或極值)求ω

三角函數的最值(或極值)與其單調性、單調區間的長度密切相關,而這些都與三角函數的周期密不可分,因此利用三角函數的最值(或極值)可以確定參數ω的值或取值范圍。

分析:利用三角函數的單調性與周期性的關系及周期公式,結合三角函數的最值即可求解。

四、根據函數的零點求ω

研究三角函數的零點問題時,可采取整體換元思想,即通過ωx+φ的取值確定三角函數的零點情況。反之,可根據三角函數的零點確定參數ω的值或取值范圍。

例4 記函數f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期為T。若f(T)=為函數f(x)的零點,則ω的最小值為_____。

分析:先利用條件中的三角函數關系式及變量的取值范圍確定函數f(x)的解析式,再利用函數的零點建立三角方程,結合整體思維構建關于參數ω的關系式,最后確定參數ω的最小值。