萬能公式的巧妙應(yīng)用

■謝 吉

一、三角函數(shù)的求值

例1 已知α,β∈[0,π),,求cosβ的值。

分析:利用萬能公式求出cosα與sinα的值,再求cosβ的值。

二、三角恒等式的證明

分析:根據(jù)等式兩邊的特征,利用萬能公式加以代換,通過整理變形即可獲證。

證明:直接代入萬能公式化簡即可。

故原式成立。

三、最值問題的應(yīng)用

利用萬能公式,引入?yún)?shù),結(jié)合方程思想,通過合理轉(zhuǎn)化,可巧妙求得最值問題。

分析:利用萬能公式,引入?yún)?shù),再對參數(shù)進行分析,從而求得最值。

解:若x=kπ(k∈Z),則y=0。

解答本題的關(guān)鍵是利用萬能公式,把已知函數(shù)轉(zhuǎn)化為一個含參數(shù)的“有理式”,再根據(jù)方程有解求得函數(shù)的最值。

四、方程根的應(yīng)用

利用萬能公式,結(jié)合方程根的應(yīng)用,通過建立關(guān)系式,達到證明和求解的目的。

例4 若α,β是方程acosx+bsinx=c(a2+b2≠0)在區(qū)間(0,π)內(nèi)的兩個相異的根,求證:

分析:根據(jù)題設(shè)條件求出的值,再求出sin(α+β)的值,即可達到證明的目的。

解答本題的關(guān)鍵是挖掘條件中的信息,溝通條件與結(jié)論的聯(lián)系,通過方程根的轉(zhuǎn)化,結(jié)合萬能公式,得到要證明的結(jié)果。

變形練習4:設(shè)α,β是方程2tan2x+的 根,求tan2α+tan2β的值。

提示:由題設(shè)結(jié)合萬能公式得tan2x+4tanx-1=0。結(jié)合韋達定理得tan2α+tan2β=(tanα+tanβ)2-2tanαtanβ=18。