基于APOS理論的概念教學設計

孫丹丹

摘要：數學具有抽象概括性，因此數學教學要遵循這一特點；APOS理論基于數學抽象性的特點，將數學概念的學習概括為操作或活動、過程、對象、概型四個階段.本文中以初中數學“實數”的教學為例，得到基于APOS理論為框架數學概念教學的教學設計.

關鍵詞：初中數學；實數教學；APOS理論

數學概念是解決數學問題的基礎，因此概念教學是初中數學教學的重點和難點.但是，目前初中生還不能深入理解某些數學概念，基于此運用APOS理論模型通過具體實例，幫助學生初步理解數學概念，讓學生在此基礎上進行思維內化，抽象出數學概念的本質屬性，再將其精確化為具體的數學對象，最后形成關于該數學概念的綜合心理圖式[1].APOS理論給出了數學概念教學的具體步驟，為初中數學概念教學提供了理論基礎，降低了初中數學概念教學的難度.

1 教學設計

1.1 操作或活動階段：實例直觀，激發興趣

問題1 為了美化校園，學校打算建一些正方形花壇，如果每個花壇面積為1 m2，那么正方形的邊長應為多少？如果把每個正方形的面積改為2 m2，此時應該怎樣確定正方形的邊長？

設計意圖：從學生生活中的實例出發，使學生感受到數學在生活中的作用，問題設計層層深入，激發學生的探究興趣.

1.2 過程階段：思維內化，抽象概念

環小數，并給出“無限不循環小數又叫做無理數”的定義.

1.3 對象階段：合作探究，領悟概念

問題3 你能列舉出一些無理數嗎？

如圖2，將直徑為1的圓從原點O出發沿著數軸正方向滾動一周，O′的位置對應的數就是π.

來嗎？

在學生深刻理解無理數的概念后，教師給出實數的概念，即有理數和無理數統稱為實數.

問題6 類比有理數m與其相反數和絕對值的關系，你能總結歸納出實數t與-t和|t|的關系嗎？

小組合作探討，得到：

問題7 數軸上的點和實數之間有什么關系？

學生4：一一對應關系.

設計意圖：類比有理數與數軸上點的對應關系，總結出無理數與數軸上點的對應關系，體會數形結合思想，為學生理解高中數學中集合的概念作鋪墊.

1.4 概型階段：建立聯系，綜合概念

問題8 實數由哪些數組成？你能分類嗎？

問題9 還有其他分類方式嗎？

設計意圖：把新知識實數、無理數與已學的知識建立聯系，讓學生形成關于實數的綜合心理圖式.同時，將零散的知識系統化則有助于學生記憶該概念，并能夠有效地加以運用.

2 教學反思

2.1 注重實例直觀，激發學習興趣

數學源于生活，生活中的實例能使學生更容易理解題目，激發探究熱情.通過實例直觀，從具體到抽象幫助學生理解數學概念.同時，在問題探究的過程中培養學生的數學建模能力.在基于APOS理論的“實數”的教學中，從學校修建花壇的實例出發，讓學生體會發生在身邊的數學問題，通過利用數學知識解決現實問題，感悟數學的魅力;用計算器計算2，讓學生親眼看見運算過程，記憶深刻;用PPT動態演示“π”的形成過程，使學生看到“思維的過程”，加深學生對實數與數軸上的點一一對應關系的理解.但教學過程中要避免“為了直觀而直觀”的現象，要注重實例直觀的真實可靠性.

2.2 重視動手操作，培養數學抽象能力

2.3 提倡合作交流，提升數學抽象能力

基于APOS理論的“實數”教學中，“過程”和“對象”階段都需要學生有較強的數學抽象能力，所以通過小組合作探究，組內成員相互啟發引導，有助于學生更好地抽象和理解數學概念.在學生“抽象概念”的過程中，教師要循序漸進地引導學生，培養學生的抽象思維.同時合作交流符合《義務教育數學課程標準（2022年版）》的要求，是我國人才培養的需要.

2.4 鼓勵知識整合，建立認知結構

在基于APOS理論的“實數”的教學中，鼓勵學生對已學習過的數系進行分類與整合，有助于學生區分有理數與無理數的概念，理解實數概念的本質，培養分類思想，提高數學抽象能力，使數學概念系統化；同時，為高中數學繼續擴充數系打下堅實的基礎，也為高中數學中集合的學習做了鋪墊.但是，分類思想的運用，要遵循數學概念分類的原則，避免分類重復或者遺漏的情況，從而體現數學的簡潔之美、科學之美.

參考文獻：

[1]曹一鳴.數學教學論[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2]史寧中.學科核心素養的培養與教學——以數學學科核心素養的培養為例[J].中小學管理，2017（1）：35-37.

[3]史寧中.讓學生愛上數學學習[J].中國基礎教育，2023（8）：34-35.