如何“以不變應萬變”

王秋葉

摘要：“動點問題”不僅可以考查學生對所學知識的掌握程度，也能體現學生的數學邏輯思維水平及直觀想象能力.綜觀初中各類試題，多將“動點問題”列為壓軸題，發揮其選拔功能.從教學現狀來看，多數學生面對“動點問題”時無法確立“動點”與“靜點”之間的關聯，無法正確解答這類問題.基于此，文章結合具體實例，對初中數學“動點問題”單元的課前教學設計進行探究.

關鍵詞：初中數學；動點問題；教學設計

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2023）32-0008-03

“動點問題”教學是初中平面幾何教學中的一個難點[1].“動點問題”大多需要結合幾何、函數等方面的數學知識解決，而這些內容本身就是初中數學教學的難點，再加上動點的“不確定性”，學生難以準確判斷各數量間的關系，因而此類問題的正確率一直都不盡如人意.為提高學生的綜合解題能力，教師在設計“動點問題”單元教學時，應立足學生核心素養的培育，引導學生建立“動點”與“靜點”間的有效關聯，“以不變應萬變”順利解決此類問題.

1 數學動點問題的含義和例舉

1.1 數學動點問題的含義

所謂“動點問題”是指圖形中存在一個或者多個動點，它們在線段、射線或弧線上運動的一類開放性題目[2].這一類題目看起來有很多不確定性，隨著點的位置的變化，題設中的一些變量也會隨之改變.而解決這類問題的關鍵就是在運動變化中找出不變的數量關系和位置關系，“以不變應萬變”是解決此類問題的關鍵.在解決此類問題時，需要用到方程思想、轉化思想、分類思想、數形結合思想等數學思想，其綜合性較強，有一定的難度.

1.2 單元數學動點問題的例舉

研究近年來連云港市的中考試題，就能大致了解到當年連云港市中考數學試題的考查熱點和試題的命題方向，它能幫助各年級的數學教師在教學中注意研究解決問題的方法和策略，為平時的教育教學工作指明方向.只有如此，一線教師才能在平時的教學中更好地培養學生解題素養，更明確地體現新課程標準的導向.本文擬就壓軸題的題型背景和解題思路具體闡述自己的觀點.

例題如圖1，在矩形ABCD中，AD=23AB=4，點E是線段BC上的一個動點，連接AE，將△ABE沿著AE翻折得到△AEF，其中點G是∠DAF的平分線與EF延長線的交點，若點E從點B運動到點C，則點G運動的路徑長為.

分析本題是以矩形為基礎圖形，在邊BC上有一個動點E（變），連接AE，將△ABE沿著AE折疊得到△AEF.此時涉及圖形運動——翻折.根據翻折的性質，容易得到AF=AB=6，EF=EB，∠FAE=∠BAE.而AG是∠DAF的平分線，過點G作GH⊥AD，交AD的延長線于點H，如圖2所示，易證△AGH≌△AGF.因此，無論點E在哪里，總有GH⊥AD，且AH=AF=AB=6（不變）.點G在經過點H且平行于CD的直線上運動，即點G的運動軌跡為線段GH.當點E與B重合時，確定G的起點，如圖3所示；當點E與C重合時，確定點G的終點，如圖4所示.

點G的軌跡是線段GG′，如圖5所示.

設GH=x，那么GG′=6-x，GF=x，CG=4+x.易證G′H=AB=6，DH=CG′=2.在Rt△GG′C中，由勾股定理得CG′2+GG′2=GC2，即22+（6－x）2=（4+x）2.求得x=1.2，GG′=6-x=4.8.

由此可以看出，具體解題步驟為：求出AB=6；確定點G的運動路徑，即線段GG′；當點E與B重合時，確定G的起點，即點G′；當點E與C重合時，確定點G的終點，即點G；求GG′.

具體解題過程如下：

解在矩形ABCD中，因為AD=23AB=4，所以AB=6.由題意得AF=AB=6.如圖2，過點G作GH⊥AD，交AD的延長線于點H.

因為AG是∠DAF的平分線，所以∠GAH=∠GAF，所以△AGH≌△AGF.

從而可得AH=AF=6，DH=2.

因此點G在過點H且平行于DE的直線上運動，當點E與B重合時，G′是G的起點，如圖3所示；當點E與C重合時，點G為終點；點G的運動路徑為線段GG′.設GH=x，那么GG′=6-x，GF=x，CG=4+x.易證G′H=AB=6，DH=CG′=2.在Rt△GG′C中，由勾股定理得CG′2+GG′2=GC2，即22+（6-x）2=（4+x）2.求得x=1.2，GG′=6-x=4.8.即點G的運動路徑長為4.8.

本題選擇矩形為圖形載體，通過圖形的“翻折”運動以及“動點”運動，設置問題，讓學生經歷從“特殊”到“一般”、從“靜”到“動”的探索過程，注重對學生能力的考查，在解決問題的過程中，培養學生的自主探究能力和解決問題的能力.通過確定運動的起點和終點來確定動點運動的路徑長度，為隨之而來的計算推理過程打好基礎.“以不變應萬變”是解決數學“動點”探究題的基本思路，這也是動態幾何數學問題中最核心的數學本質.

2 在單元教學中體驗初中數學“動點問題”的關鍵詞“以不變應萬變”是初中數學“動點問題的”關鍵詞.當下流行的“單元教學”對于學習“動點問題”來說，優勢顯而易見.在新課程標準指引下，單元教學需要將教學內容與相關知識、技能和基本經驗關聯起來，以形成相關知識結構體系.初中數學“動點問題”單元教學的主要步驟有：第一步，選取教學內容；第二步，確定素養培養目標；第三步，教學設計；第四步，設計教學評價.

2.1 選取教學內容

初中數學“動點問題”常見的場景有以下幾種：點在三角形（等腰三角形、直角三角形）中運動（4課時）；點在四邊形（梯形）中運動（4課時）；點在相似圖形中運動（2課時）；點在一般幾何圖形中運動（2課時）；點在二次函數中運動（5課時）.全部教學任務共需要17課時，與非單元教學相比，所需要學時更少，并且增加了“圖形背景”“函數思想方法與應用”等重要內容.這樣的單元教學設計有利于培養學生的數學素養，與如今的“雙減”政策密切相結合，有效提高學生的學習效率.

2.2 確定素養培養目標

《義務教育數學課程標準（2022年版）》明確指出：義務教育數學課程應使學生通過數學的學習，形成和發展面向未來社會和個人發展所需要的核心素養[3].根據數學課程標準，與現有學情聯系到一起，確定以下初中數學“動點問題”培養目標：

2.3 教學設計

單元教學設計的關鍵在于單元教學內容的整體設計，在進行單元教學設計時需要在“教什么”和“怎么教”這兩個方面花功夫.“教什么”是對教學內容的選取與把握，而“怎么教”則考驗教師的教學能力.在這里，將“怎么教”濃縮為三個關鍵詞：滲透、提煉和銜接.

“滲透”是教學的第一階段，即將動點問題的常見模型類型與其中的變量、常量、對應關系等的基本概念互相聯系起來；第二階段是“提煉”，將“動點問題”的核心知識、數學思想方法提煉出來；第三階段是“銜接”高中知識.由此可見，“滲透”是解決問題的基礎，“提煉”是解決問題的關鍵，而“銜接”則是問題解決后數學知識能力的升華.

2.4 設計教學評價

趙思林等在《數學核心素養的內涵探究》一文中指出：數學核心素養是個體的身體和心理協同作用于數學活動而形成具有“數學頭腦”的自組織的數學經驗系統[4].數學核心素養既是個體在長期的數學理解、應用、思維、發現（創造）等活動中反復修煉自主生成的過程，也是個體對數學經驗不斷積累、反省、反證的自我體驗過程.初中數學“動點問題”單元教學應將扎實學習“四基”、努力培養“四能”為目標，讓學生在獲得解決“動點問題”的知識經驗、積累解決問題的數學思維的基礎上，通過對“動點問題”學習經驗的不斷反思、反證等思維方式，培養學生“動點問題”的“三會”素養.

3 關于初中“動點問題”單元教學的建議

教學設計能力和課堂教學能力是考查教師業務能力的重要指標.高質量的教學設計需要深入貫徹單元教學的理念，從整體的角度讓學生體驗大單元教學的優勢，讓學生更好地掌握“動點問題”的解決手段與方法.此外，在進行教學設計時，要突出“育人”的核心思想，找準“育人”的切入點.需要特別注意的是，在數學課堂教學過程中，針對相關典型例題的教學活動不能僅以單一的解題形式呈現，而是需要體現出活動的具體目標、具體任務、具體方式等，必要時還需要教師在活動過程中進行指導和評價.

在課堂教學環節，建議從以下方面提高教師對“動點問題”的認識水平和教學能力：在進行“動點問題”的教學設計時，要讓學生認識到具體的“動點問題”與相應的數學模型之間的聯系；要讓學生的學習過程被充分關注到，并能及時對學生的學習方式和學習方法進行指導，讓不同水平的學生參與到學習的過程中來，從而讓數學的“育人”價值得到體現；要讓教學目標在預設與生成之間得到呼應，充分激發學生的數學學習興趣；要精心設計有效的“問題串”，通過有梯度的問題，讓學習進程“緩而不慢”.

參考文獻：

［1］ 劉珠伊.幾何畫板輔助平面幾何中動點問題的教學實踐研究[D].長沙：湖南師范大學，2019.

[2] 徐菊萍. 借助幾何畫板，巧妙破解“與圓有關的位置關系”動點型策略[J]. 蘇州教育信息化，2016（4）：17-20.

[3] 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準[M].北京：北京師范大學出版社，2022.

[4] 趙思林，高崢，熊露.數學核心素養的內涵探究[J].內江師范學院學報，2020（6）：12-17.

［責任編輯：李璟］