逆向思維在初中數學解題中的應用

姜倩梅

摘要：在初中數學教學中，逆向思維作為初中數學核心素養之一，是一種重要的解題思維，它可以引導學生從不同的角度思考問題，尋找復雜問題的關鍵點和解題的突破口.因此，教師可以借助相關類型的數學問題，引導學生學習并掌握逆向分析、反向推理的解題技巧，培養學生的創造力，提高學生的思維水平，讓學生能夠深入理解復雜的數學概念，提升學生的解題能力.

關鍵詞：初中數學；逆向思維；應用；解題策略

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2023）32-0035-03

基于逆向思維的數學解題方式，需要學生能夠學會從問題的結果出發，通過嘗試置換問題的條件和結果進行思考，通過邏輯推理和反向證明的形式解答復雜的數學問題.對此，學科教師應適時引入逆向思維的數學概念，并進行相關類型問題的實踐分析，在激發學生數學學習興趣的基礎上，培養學生的數學解題思維，提升學生的數學核心素養，為學生的發展奠定堅實的能力基礎.

1 置換推演，分析解題思路

在數學知識體系中，數學概念的延伸與推演往往是雙向的，部分數學推理性問題的設計也同樣如此.學科教師可以進行側面引導，學生在傳統的正向思考受阻的情況下，鼓勵學生嘗試將條件與結果的推演順序置換，深入理解不同類型數學問題的概念本質，促進學生形成雙向思考的解題思維習慣.

在初中數學學習中，經常出現平面直角坐標系與圖形幾何相結合的數學問題，如果按照正向順序求解，其過程可能極為復雜，教師應及時引入反向推理的逆向思維方法，分析這類問題的解題思路.

例1在平面直角坐標系中，已知點A的坐標為（3， 4），點B的坐標為（9， 10），當△ABC為等腰三角形時，求點C的坐標滿足的條件.

在傳統正向思維的影響下，學生可能會嘗試計算等腰三角形的兩邊邊長和角度，然后求點C的坐標滿足的條件.但是當學生進行計算時，會發現其計算量極其龐大，求解過程非常復雜.為根據等腰三角形的性質列方程求解，需確定等腰三角形的底邊和腰，這更是讓該數學問題的求解趨于軌跡范疇，情況更趨向多元化.所以數學教師應及時引入逆向思維模型，將數學問題的條件與結果進行置換，輔助學生推演分析解題思路：首先觀察到△ABC是等腰三角形，所以應利用等腰三角形的性質解決問題，而本題中對△ABC的等腰三角形屬性的界定較為模糊，不能夠確定底邊和腰具體是哪條邊，所以需要基于底邊，進行分類討論和逆向推理，通過將C的坐標（x， y）與等腰三角形條件進行置換，進行逆向推理.在解決本題的過程中，學生需要根據等腰三角形性質，分為三種情況求解.

第一種情況：當BC作為底邊時，AB與AC應為腰，則AB=AC，所以學生首先可以計算AB的長度，AB=（9-3）2+（10-4）2=62+62=62.從而可知當AC=62時，△ABC即為等腰三角形，那么學生就能夠根據點A和點C的坐標，建立方程求解，（x-3）2+（y-4）2=（62）2，學生在得到該答案時，也能夠清晰地認識到，點C始終橫在半徑為62的圓上，其圓心的橫坐標為3，縱坐標為4.

第二種情況：當AC為底邊時，BA與BC應為腰，則BA=BC，學生類比第一種情況，AB=62，當BA=BC時，△ABC為等腰三角形，那么學生就能夠根據點B和點C的坐標，建立方程（x-9）2+（y-10）2=（62）2，點C始終橫在半徑為62的圓上，其圓心的橫坐標為9，縱坐標為10.

第三種情況：當AB為底邊時，即作為一種特殊情況，學生不能得知AC和BC中其中任意一條的具體長度，那么學生則需要善用兩點之間的距離公式，構建當AC=BC時的方程，即（x-3）2+（y-4）2=（x-9）2+（y-10）2，進一步展開整理得x+y=13，從而可知點C在橫縱截距都為13的直線上.

由此可以看出，通過逆向思維解題思路的引入與分析，將條件與結果進行置換，能使學生準確把握不同情況下的解題思路.因此，逆向思維能夠使學生的數學解題思路清晰完整，培養學生雙向思考的數學解題思維習慣，有助于學生更好地理解和把握數學概念與性質，全面提升學生的數學推理能力和問題解決能力.

2 思維轉換，優化解題效率

在初中數學解題過程中，思維模式的轉化是提高解題效率的關鍵.逆向思維的實踐應用可以幫助學生轉換解題方向，提高解題效率.對此，數學教師應引入逆向思維，減少解題過程中的繁瑣計算，優化解題步驟，實現解題效率的顯著提升.

在初中數學問題解答中，大多數問題都涉及數學公式，常常需要通過代入數值進行計算求解.這種順向思維的方式可能會導致計算量較大，耗費時間較多，而通過逆向思維，轉化解題的思維方式，從而減少計算量，提高解題效率[1].

例2某家服裝店以每件30元的價格購進一批T恤，如果以每件40元的價格售出，那么在一個月內，能夠售出300件，但是根據過去積累的銷售經驗，當出售價格每提升1元，當月T恤的銷售量則會減少10件，設T恤的出售價格漲價x元，現服裝店要求該種T恤當月的利潤總額達到3 360元，并盡可能減少庫存，則x的值應為多少？售價為多少時，利潤最大？

學生在解決該應用題的第一問時，可以得到x與y之間的函數關系式，即y=（300-10x）（x+40-30）=-10x2+200x+3 000，再將y=3 360代入到關系式之中，得到-10x2+200x-360=0，最終化簡為x2-20x+36=0.在常規思維下，學生根據教學內容，往往會使用公式法進行計算，而公式法的步驟較為繁瑣，還需要在Δ=b2-4ac≥0的前置條件下進行，學生極有可能忽略這些步驟，造成不必要的失分.針對本題，學生應嘗試轉變思維模式，利用十字相乘法進行因式分解，得到x2-20x+36=（x-2）（x-18）=0，從而直接得出x=2和x=18兩個答案.為了盡快減少庫存，x=18不符合題意，舍去，故x=2.在第二個問題的解答中，學生也能夠意識到需利用函數最值公式x=-b2a和y=4ac-b24a進行求解，但是將數據代入時，學生會發現y=4×（-10）×3 000-20024×（-10），其計算量非常較大，很容易出現計算失誤，所以學生更需要利用逆向思維，簡化復雜的計算過程，將分子以乘法分配律的形式進行轉化，調整為200×（-600-200），極大程度簡化了計算過程，全面提高解題效率.

由此可見，逆向思維能夠顯著提高解題效率.通過轉換思維模式，減少繁瑣計算，優化解題過程，幫助學生更好地理解問題，找到更簡便、更直接的問題解決方法，以促進解題速度和正確率同步提升.

3 邏輯構建，探明解題本質

逆向思維是解決問題的重要思維方式，而邏輯分析作為逆向思維的主軸，是探明數學問題本質的基本方法.對此，數學教師需通過培養學生的逆向思維，幫助學生探明數學問題的本質，培養學生的邏輯思維能力和分析問題能力，提高學生的解題能力和創造力，促使學生深入思考問題，掌握數學問題的解題策略.在進行抽象概念的證明時，可運用逆向思維分析問題.

例3證明：2為無理數.

對于初中生來說，無理數的概念可能過于復雜和難以理解，學生很難通過正向思維來完成證明.為此，數學教師需要幫助學生整理問題的邏輯鏈條，嘗試使用反證法進行證明.假設2是有理數[2]，那么根據有理數的性質，任何有理數都可以表示為分數的形式，將2可以表示為mn，其中m、n是不為零的整數，并且m、n互質，根據假設，學生即可通過等式兩邊同時平方，得到（mn）2=（2）2=2的關系式，由此可得m2=2n2，由于m2是偶數，學生可以將m表示為2k，其中k為整數，那么m2=4k2=2n2，最終可以得到n2=2k2，這意味著n也是偶數，然而事實上，m和n本質上已經是互質關系，這與一開始的假設互相矛盾.因此，學生可以依托于邏輯鏈進行反向證明，得出2不是有理數，而是無理數.

通過反證法，學生可以更為清晰地把握證明的思維邏輯，幫助學生理解抽象概念的證明過程，并培養學生的逆向思維邏輯和探究問題本質的能力.

可見，通過逆向思維和邏輯分析，數學教師可以幫助學生理解復雜的數學概念，解決更為抽象的問題，并掌握解題的關鍵思路.這種方法不僅能提高學生的解題能力，還能培養學生的創造力和深入思考問題的能力，使學生的數學思維更加靈活和清晰.

4 反向檢驗，驗證解題答案

逆向思維在初中數學解題中的應用，不僅僅停留于問題的解答，同樣也適用于答案的檢驗.通過逆向思維，學生依托于計算結果，通過推理和分析，驗證解題答案的正確性，培養學生的邏輯推理能力，提高解題的正確率和準確性.

在初中數學試題的設計與設置中，方程求解、不等式求解和因式分解求解是代數部分的重點內容，這一系列題型的設計是為了檢驗學生的計算能力和基礎知識水平，所以該部分數學問題的答案具有初中數學的特殊性，其求解過程即便需要應用多種數學解題方法，但最終得到的答案更偏向基礎[3].

例4解一元二次方程2x2+5x-3=0.

當學生進行正確解答時，最終所得到的答案應為x1=-3和x2=0.5.但是當學生未能完全掌握逆向思維的解題方法，不使用十字相乘法，而繼續使用公式法求解時，往往會在公式的使用上出現紕漏，造成不必要的錯誤.所以，學生在解決此類題型時，可以借助逆向思維進行反向檢驗，驗證所得到答案的正確性.借助逆向思維，學生可以將x的值代入原方程，然后計算等式是否成立.將x=-3代入方程左邊，得到2×（-3）2+5×（-3）-3=18-15-3=0，與原方程左邊等于右邊的條件一致.將x2=0.5代入方程，同樣進行計算，最終得到2×0.52+5×0.5-3=0.5+2.5-3=0，與原方程左邊等于右邊的條件一致，所以通過逆向思維驗證，學生得出的解答x1=-3和x2=0.5是方程的解.

由此可以看出，逆向思維在初中數學解題中的應用，不僅可用于較為復雜問題的解答，也可用于答案的檢驗.在初中數學教學中，教師需有意識地培養學生的逆向思維能力，在學生學會逆向求解和反向檢驗的同時，夯實自身的數學基礎，從而提升學生的數學核心素養.

總之，逆向思維的培養對學生數學能力水平的提升具有長遠的價值和意義.在初中數學教學中，數學教師可通過設計逆向思維教學活動，引導學生嘗試置換問題的條件和結果，深入理解其中蘊含的數學思想，探求數學問題的本質，在培養學生的數學邏輯思維，提高整體解題效率的基礎上，把握反向證明與逆向求解的技巧，提升學生的數學核心素養.

參考文獻：

［1］ 劉奎.初中數學解題教學中逆向思維的應用研究[J].數學之友，2023（5）：53-55.

[2] 黃圣杰.逆向思維在初中數學解題中的應用[J].數理天地（初中版），2023（13）：35-36.

[3] 湯久妹.基于學生經驗的初中數學教學中學生逆向思維能力的培養[J].數學學習與研究，2019（15）：104-105.

［責任編輯：李璟］