基于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的概念課案例及其思考

王偉

［摘? 要］ 以“函數(shù)”的教學(xué)為例，在數(shù)學(xué)抽象的基礎(chǔ)上進(jìn)行課堂教學(xué)過(guò)程的構(gòu)思，促進(jìn)教師對(duì)概念課教學(xué)如何培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的深入思考.

［關(guān)鍵詞］ 數(shù)學(xué)的眼光；數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)；抽象能力；概念教學(xué)；函數(shù)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提出要培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)（“三會(huì)”），其中“會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界”的核心就是數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng). 所謂數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，是指通過(guò)對(duì)數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系兩方面抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的聯(lián)系，從事物與事物之間的聯(lián)系、事物內(nèi)部之間的聯(lián)系抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并用數(shù)學(xué)語(yǔ)言加以表征的素養(yǎng). 在現(xiàn)階段初中數(shù)學(xué)實(shí)際教學(xué)中，教師大多重視學(xué)生解題，很少關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培養(yǎng). 在一次寧波市課堂教學(xué)評(píng)比活動(dòng)中，對(duì)“函數(shù)（1）”（浙教版《數(shù)學(xué)》八年級(jí)上冊(cè)第5章第2節(jié)）這節(jié)課，筆者從“數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)”的角度進(jìn)行教學(xué)，讓學(xué)生經(jīng)歷層次清晰、完整的抽象過(guò)程（從具體的數(shù)學(xué)情境中抽象出數(shù)學(xué)概念 →從數(shù)學(xué)概念與概念之間抽象出數(shù)學(xué)關(guān)系→從數(shù)學(xué)問(wèn)題解決過(guò)程中抽象出數(shù)學(xué)思想方法），取得良好的效果. 現(xiàn)將具體設(shè)計(jì)與思考整理成文，供同仁參考研討.

教學(xué)過(guò)程

1. 經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)情境中抽象出函數(shù)的過(guò)程——明確研究對(duì)象

情境1? 電影《我和我的家鄉(xiāng)》為祖國(guó)71周年華誕獻(xiàn)禮，定于10月1日8點(diǎn)在全國(guó)各大電影院上映.

（1）象山時(shí)代金球影城，票價(jià)35元一張，請(qǐng)問(wèn)電影院每場(chǎng)的收入相同嗎？為什么？

（2）若10月1日12：00場(chǎng)賣(mài)出60張票，收入是多少元？

（3）12：45場(chǎng)賣(mài)出80張票，收入是多少？

（4）若活動(dòng)價(jià)定于20元/張，請(qǐng)同學(xué)們完成下表（見(jiàn)表1）.

師追問(wèn)：

問(wèn)題1.1計(jì)算的過(guò)程中，哪些量是常量？哪些量是變量？

問(wèn)題1.2哪個(gè)量隨著哪個(gè)量的變化而變化？

問(wèn)題1.3用x表示銷(xiāo)售票數(shù)，y表示每場(chǎng)收入，可以用關(guān)于x的代數(shù)式表示y嗎？

問(wèn)題1.4當(dāng)x的值確定后，y的值確定嗎？有幾個(gè)？

情境2? 電影院每場(chǎng)次電影播出需要固定成本171元，國(guó)慶期間又推出一張電影票送一枚中國(guó)心吊墜活動(dòng).

問(wèn)題2.1電影院每場(chǎng)的成本與哪些量有關(guān)？

問(wèn)題2.2每個(gè)中國(guó)心吊墜成本6.6元，銷(xiāo)售票數(shù)x張，每場(chǎng)成本m元，m與x之間的等量關(guān)系是什么？

問(wèn)題2.3你可以輸入計(jì)算的EXCEL表格程序來(lái)解決成本的運(yùn)算嗎？

問(wèn)題2.4輸入幾個(gè)x的值，觀察m的值的變化. 當(dāng)x的值確定后，m的值確定嗎？有幾個(gè)？

情境3? 在等候電影期間，小明了解到工作人員小聰?shù)墓べY報(bào)酬按16元/時(shí)計(jì)算，設(shè)小聰這個(gè)月工作的時(shí)間為t小時(shí)，應(yīng)得報(bào)酬為m元，填寫(xiě)下表（見(jiàn)表3）：

問(wèn)題3.1在這個(gè)變化的過(guò)程中，有幾個(gè)變量？分別是什么？

問(wèn)題3.2哪個(gè)量隨著哪個(gè)量的變化而變化？

問(wèn)題3.3給定一個(gè)t的值，我們可以得到幾個(gè)對(duì)應(yīng)的m的值？怎樣用關(guān)于t的代數(shù)式表示m？

問(wèn)題3.4y與x，m與x，m與t的這種關(guān)系相同嗎？是怎樣的關(guān)系？

設(shè)計(jì)意圖? 以國(guó)慶節(jié)電影票、中國(guó)心吊墜、工作報(bào)酬引入，不僅使學(xué)生感受到新知與生活的聯(lián)系，認(rèn)識(shí)到研究新知的必要性，而且激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和愛(ài)國(guó)主義情懷. 對(duì)于情境中的所有信息，學(xué)生通過(guò)觀察、識(shí)別、比較等認(rèn)知行為提取出與概念相關(guān)的關(guān)鍵信息，再進(jìn)行計(jì)算、分析、比較等思考后確定抽象的對(duì)象是變量之間的關(guān)系，對(duì)函數(shù)的本質(zhì)屬性有了初步的認(rèn)識(shí). 函數(shù)的本質(zhì)屬性過(guò)于抽象，Excel表格的動(dòng)態(tài)功能可以突破課本中x，y的人為預(yù)設(shè)、靜態(tài)、單一的缺陷，它像一個(gè)函數(shù)轉(zhuǎn)化器讓學(xué)生直觀、生動(dòng)地看到函數(shù)概念的內(nèi)涵.

2. 參與定義函數(shù)的活動(dòng)——形成函數(shù)的概念

根據(jù)上述分析，進(jìn)行歸納概括.

問(wèn)題4.1? 拋開(kāi)實(shí)際背景，上述三個(gè)情境中的變量和變量關(guān)系都有哪些共同特征？

問(wèn)題4.2? 這些特征是否適用于一般的同類(lèi)的變量關(guān)系？

教師在傾聽(tīng)學(xué)生觀點(diǎn)的基礎(chǔ)上進(jìn)行總結(jié)性講解：它們的共同特征是，每組關(guān)系都涉及兩個(gè)變量；對(duì)于一個(gè)變量的每一個(gè)確定的值，另一個(gè)變量都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng). 這樣的變量關(guān)系在數(shù)學(xué)上稱(chēng)為函數(shù).

問(wèn)題5嘗試用文字語(yǔ)言給函數(shù)下個(gè)定義.

通過(guò)對(duì)問(wèn)題5的分析，抽象得到：一般地，在某個(gè)變化過(guò)程中，設(shè)有兩個(gè)變量x，y，如果對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，那么就說(shuō)y是x的函數(shù)，x叫作自變量. 例如：上述變量關(guān)系中，m是x的函數(shù)，x是自變量……

設(shè)計(jì)意圖? 根據(jù)學(xué)生的思維特征，在概念教學(xué)中，必須遵循從具體到抽象的原則，必須經(jīng)歷對(duì)學(xué)習(xí)材料進(jìn)行“觀察比較—感知辨認(rèn)—加工提取—建立表象”的概念“再創(chuàng)造”過(guò)程. 在明確研究的對(duì)象是變量的關(guān)系時(shí)，學(xué)生通過(guò)比較、歸納、概括等復(fù)雜思考提取共性（變量的規(guī)律及變量之間的關(guān)系）后建立清晰的函數(shù)概念表象，這使學(xué)生感受到了更高層次的數(shù)學(xué)抽象，積累了抽象概括的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn). 在用數(shù)學(xué)語(yǔ)言對(duì)函數(shù)概念加以表征時(shí)，八年級(jí)的學(xué)生還缺乏相關(guān)的經(jīng)驗(yàn)和能力，此時(shí)需教師價(jià)值引導(dǎo).

3. 了解函數(shù)的三種表達(dá)形式——感悟數(shù)形結(jié)合思想

解析法：像m=6.6x+171這樣表示函數(shù)關(guān)系的等式叫作函數(shù)表達(dá)式，簡(jiǎn)稱(chēng)函數(shù)式，用函數(shù)表達(dá)式表示函數(shù)關(guān)系的方法也叫作解析法.

女生跑800米，成績(jī)與時(shí)間成函數(shù)關(guān)系，見(jiàn)表4：

把自變量的一系列值和函數(shù)的對(duì)應(yīng)值列成一個(gè)表，這種表示函數(shù)關(guān)系的方法叫作列表法.

如圖1，這種用圖象表示函數(shù)關(guān)系的方法叫圖象法.

歸納總結(jié)：同一個(gè)函數(shù)問(wèn)題可以用三種不同的形式來(lái)表示（如圖2），這三種形式如何轉(zhuǎn)化我們要留著以后探索. 這三種表達(dá)形式各有什么優(yōu)點(diǎn)呢？

設(shè)計(jì)意圖? 結(jié)合實(shí)例了解函數(shù)的三種表示方法，即列表法、解析法、圖象法. 通過(guò)計(jì)算、查表、圖象找點(diǎn)感受“一個(gè)變量確定，另一個(gè)變量隨之唯一確定”，突出函數(shù)的本質(zhì)屬性，剝離“用公式表示變量關(guān)系”這一非本質(zhì)屬性. 從函數(shù)定義的文字?jǐn)⑹龅饺N表達(dá)形式：符號(hào)、表格、圖象，從文字到符號(hào)，這是數(shù)學(xué)抽象的重要環(huán)節(jié)，從符號(hào)到圖表，這是從抽象到具體，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律. 舉例同一個(gè)函數(shù)問(wèn)題可以用三種不同的形式表達(dá)，滲透了數(shù)形結(jié)合思想. 這樣的數(shù)學(xué)活動(dòng)加深了學(xué)生對(duì)函數(shù)本質(zhì)的理解，有助于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，能讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)量關(guān)系和幾何圖形的聯(lián)系，加強(qiáng)了數(shù)與形對(duì)應(yīng)關(guān)系的意識(shí).

4. 參與知識(shí)與技能的應(yīng)用的活動(dòng)——解答有代表性問(wèn)題

（一）辨一辨

y是關(guān)于x的函數(shù)的是______.

（二）舉例：

請(qǐng)舉一個(gè)生活中的函數(shù)的實(shí)例.

（三）實(shí)際應(yīng)用

某汽車(chē)油箱有20升油，它在高速公路上行駛，耗油量為0.07升/千米，汽車(chē)行駛的里程為x千米，油箱中剩下的汽油量為y升 .

①寫(xiě)出y與x之間的函數(shù)解析式；

②求當(dāng)x=20時(shí)的函數(shù)值，并說(shuō)明它的實(shí)際意義；

③象山距離上海293千米，可以到達(dá)嗎？為什么？

設(shè)計(jì)意圖? 形成函數(shù)的概念后，及時(shí)進(jìn)行函數(shù)概念的辨析，通過(guò)正例和反例讓學(xué)生明確概念的外延. 追問(wèn)為什么，進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)函數(shù)內(nèi)涵的理解. 通過(guò)學(xué)生舉例，體會(huì)函數(shù)是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界重要的工具，促進(jìn)學(xué)生對(duì)概念外延的進(jìn)一步把握. 實(shí)際問(wèn)題的解決讓學(xué)生經(jīng)歷概念的“具體—一般—具體”的過(guò)程，形成用數(shù)學(xué)的眼光（函數(shù)的觀點(diǎn)）認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)世界的意識(shí)，體會(huì)蘊(yùn)含在應(yīng)用過(guò)程中的函數(shù)思想和方法. 在實(shí)際問(wèn)題的解決過(guò)程中概括出解題的一般步驟，感悟到模型思想，學(xué)生在這一過(guò)程中發(fā)展了數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

5. 參與回顧與梳理的活動(dòng)——提煉內(nèi)化分享

教師出示問(wèn)題清單，學(xué)生圍繞問(wèn)題清單進(jìn)行思考：

（1）學(xué)習(xí)了函數(shù)的哪些知識(shí)？

（2）我們是如何學(xué)習(xí)函數(shù)的，后續(xù)還要學(xué)習(xí)什么？

（3）梳理這節(jié)課的研究思路，并繪制相應(yīng)的知識(shí)框圖.

設(shè)計(jì)意圖? 以“問(wèn)題清單”式的反思性問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生回顧與思考，在此基礎(chǔ)上師生共同繪制知識(shí)框圖（如圖3），促進(jìn)學(xué)生函數(shù)概念的系統(tǒng)化與結(jié)構(gòu)化，增強(qiáng)了學(xué)生的反思意識(shí)，發(fā)展了學(xué)生的語(yǔ)言表達(dá)、抽象等多種能力，從而有利于學(xué)生理解數(shù)學(xué)、學(xué)好數(shù)學(xué). “函數(shù)”的研究路徑為今后學(xué)習(xí)類(lèi)似的問(wèn)題提供了方向引領(lǐng)和方法指導(dǎo).

教學(xué)反思

1. 培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，教師需創(chuàng)設(shè)情境型問(wèn)題鏈

史寧中教授認(rèn)為抽象有兩個(gè)層次：一是從感性具體到理性具體；二是符號(hào)化. 具體來(lái)說(shuō)就是將現(xiàn)實(shí)的問(wèn)題數(shù)學(xué)化，從數(shù)學(xué)要素中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)關(guān)系、概念、命題等. 基于此，教師需創(chuàng)設(shè)有效的情境型問(wèn)題鏈. 有效的情境型問(wèn)題鏈?zhǔn)紫惹榫巢粌H真實(shí)，有內(nèi)涵，而且包含學(xué)生所不熟悉的新知識(shí)；其次它能引發(fā)學(xué)生進(jìn)行分析、比較、概括等復(fù)雜思考. 本文中情境1、情境2、情境3分別是關(guān)于電影院里的電影票、電影院每場(chǎng)成本、營(yíng)業(yè)員工作報(bào)酬的生活情境，為函數(shù)的學(xué)習(xí)提供真實(shí)性的生長(zhǎng)點(diǎn)，引出函數(shù)學(xué)習(xí)的必要性. 情境1中追問(wèn)的問(wèn)題1.1以舊憶新，提供函數(shù)概念的生長(zhǎng)點(diǎn)：變量；問(wèn)題1.2引出研究對(duì)象是變量之間的關(guān)系；問(wèn)題1.3將變量之間的關(guān)系符號(hào)化，隱含函數(shù)的單值對(duì)應(yīng)關(guān)系；問(wèn)題1.4進(jìn)一步探討變量之間的單值對(duì)應(yīng)關(guān)系；問(wèn)題3.4探討三組變量關(guān)系的共性特征.上述問(wèn)題鏈的問(wèn)題層次清晰、有梯度，為學(xué)生抽象概念搭好了“腳手架”，最終達(dá)成了數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培養(yǎng).

2. 培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，學(xué)生需經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)抽象過(guò)程

學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)是在抽象過(guò)程中逐步孕育的，并且只有完整的抽象過(guò)程才能培養(yǎng)出抽象能力，并最終發(fā)展為數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng). 因此，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)再現(xiàn)抽象的過(guò)程，強(qiáng)化抽象的過(guò)程. 本文中學(xué)生經(jīng)歷了以下四方面的抽象過(guò)程：一是從具體的生活情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題；二是從變量與變量之間的關(guān)系抽象出函數(shù)的概念；三是從數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決過(guò)程中抽象出“一般到具體”、函數(shù)等數(shù)學(xué)思想；四是在歸納總結(jié)中形成函數(shù)概念的系統(tǒng)化與結(jié)構(gòu)化. 學(xué)生在層次清晰的抽象過(guò)程中參與抽象、嘗試抽象，積累了概況抽象的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)也在抽象經(jīng)驗(yàn)的積淀與升華中養(yǎng)成.

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國(guó)教育部. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

［2］史寧中. 數(shù)學(xué)基本思想18講［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2016.

［3］李昌官. 數(shù)學(xué)抽象及其教學(xué)［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2017，26（04）.