落實橫縱對比，立足問題本源

劉清源　黃翠蓮

［摘? 要］ 文章立足教考銜接，以高考常見的雙變量問題為例，通過橫縱對比，找尋雙變量問題的本質，以期拋磚引玉.

［關鍵詞］ 雙變量；橫向比；縱向比

新高考的推行，更加側重學生思維的考查，使得機械式刷題失速失效，從而有效引導教學，服務“雙減”政策. 高考命題嚴格依據高中課程標準，確保內容不超范圍、深度不超要求. 基于此，教師在教學中必須做到遵循教育規律，加強教考銜接，注重通用方法，強調在深刻理解基礎之上的融會貫通、靈活運用，讓學生掌握原理、內化方法、舉一反三，主動探究和深層次學習［1］.

結合近幾年的高考試卷，不難發現函數與不等式、導數知識的綜合交匯應用，一直是學生的困惑和煩惱，一些問題如果沒有抓住其本質，容易有“似曾相識”的感覺而造成混淆，導致問題出現錯解. 本文以高考常見的雙變量問題為例，結合高三復習實際，設置了三道典型的高考試題作為微專題前置性作業，力求通過橫縱對比，找尋雙變量問題的本質.

雙變量問題，主要是基于題設條件給出的兩個變量所展開的問題，常見的雙變量以x，x或m，n或a，b等形式出現，題目所賦予的雙變量（以x，x為例）的關系主要有：

夯實橫向比，求同存異，形成通性通法

題1的雙變量x，x只有大小關系，沒有等量關系，注意到x，x的任意性與函數的單調性定義的表述相一致，教學中要引導學生去發現這個關鍵點.

在此立足微專題的教學特點，利用問題串的形式引導如下：

問題1：設f（x）=（0

問題2：結合單調性的定義，嘗試用x，x來表示f（x）的單調性

問題3：比對題1的選項C，D，你有何發現？

預設：通過分析可知，當0

所以當0f（x），即>，即xe>xe，故選項D正確.

問題4：結合上述分析，如何處理選項A，B？

預設：通過分離變量，構造函數f（x）=ex-lnx，求導可知f′（x）=ex-，f″（x）=ex+. 當00，所以y=f′（x）為（0，1）上的增函數. 當x→0+時f′（x）→-∞，當x→1時f′（x）→e-1>0，故f（x）=ex-lnx不是（0，1）上的單調函數. 所以選項A，B錯誤.

通過問題串把該類問題與之前所學的函數的單調性聯系起來，讓學生明白為什么要將x，x分離到不等式的兩邊后再構造函數，應用函數的單調性求解.

類型1的常見做法：題1的題設條件表述與單調性的定義相符，因此通過運算先把x，x分離到不等式的兩邊，再構造函數，應用函數的單調性求解.

類型2的常見做法：題2、題3的題設條件均蘊含等量關系，通過等量關系轉化減少一個變量，構造函數，應用函數的單調性求解.

兩題的等量關系x·x=1與f（x）=f（x）還是有所差別，前者關系式可以直接消元，后者為超越方程相對復雜，直接消元有一定難度，可以結合函數的單調性將f（x）用f（x）等量替換達成消元的目的.

題2中的等量關系比較簡單，由第（1）小題可知x·x=1，直接消去x，把證明的對象

題3中的等量關系相對復雜，通過設x=，x=得到等量關系f（x）=f（x），結合函數的單調性以及f（x1）=f（x2）進行消元，把2

分析上述兩種不同類型的雙變量問題，可以發現其解決通法都是將“雙元”往“一元”轉化，這對學生的數學運算素養有較高的要求.

分析 變式題1沒有具體給出雙變量的大小關系，但是通過閱讀和分析，可知x，x不存在等量關系，因此可自行給定x，x的大小關系，把絕對值去掉，用類型1的處理方法解決問題. 構造函數f（x）=ex-lnx，由題1可知y=f′（x）為（0，+∞）上的增函數，且f′

<0，f′（1）>0，故f（x）=ex-lnx是（1，+∞）上的增函數，所以選B，C，D.

基于題3的極值點偏移問題，在學生明確極值點偏移原理的基礎上，對結論進行改編和等價替換.

變式題2 已知函數f（x）=x（1-lnx），設x，x為兩個不相等的正數，且f（x）=f（x），若x=，求證：f′（x）<0.

分析 變式題2的證明主要基于題3的極值點偏移原理：題3求證“21. 又f′（x）=-lnx，f″（x）=-<0，所以f′（x）

變式訓練有助于提升學生的思維能力，促使學生真正把握解決問題的方法，真正做到舉一反三.

2. 一題多解，拓展學生的思維

一題多解主要體現在類型2的雙變量問題上——雙變量問題的處理方式不同而產生不同的解法.

解法1：消元、對稱構造.

解法2：引入第三個變量t，把雙變量問題轉化為關于t的一元函數問題，應用函數的單調性求解.

解法3：可以利用二級結論求解.比如利用指數均值不等式e<<和對數均值不等式<<轉化問題中的指數與對數的關系.

例如題2的條件中蘊含著x·x=1，可以直接把x=代入

例如題3對2<+

另外，題2和題3也可以引入第三個變量t=，把原問題轉化為關于t的一元函數問題，當然這其中會用到一些常見的不等式結論.

不僅如此，題2還可以利用對數均值不等式求解：2，所以證明

結語

雙變量問題是一個常見的問題，若能厘清其特征，做好準確分類，對號入座，問題就會變得簡單明了. 在教學中，教師引導學生去發現和探究知識的內涵，既能培養學生的數學抽象、數學運算、邏輯推理等素養，又能減量提質，落實“雙減”. 同時還能幫助學生更加深刻地理解數學基本概念和基本思想方法，重視數學知識的內在關系.

參考文獻：

［1］ 教育部教育考試院.深化高考內容改革 加強教考銜接——2022年高考全國卷命題總體思路［J］. 中國考試，2022（07）：1-6.

基金項目：福建省教育科學“十四五”規劃2022年度課題“雙減背景下薄弱高中前置性作業設計的實證研究”（FJJKZX22-393）.

作者簡介：劉清源（1981—），本科學歷，中學高級教師，從事高中數學教學工作，曾獲泉州市骨干教師、南安市名師等榮譽稱號.