基于“三會”培養的高中數學學法指導研究

［摘? 要］ 以新課標倡導的“三會”目標為高中數學教學的出發點，教師在學法指導上需突破傳統的“刷題”教學模式，引導學生更新學習理念，不斷提升學習能力. 文章認為，基于“三會”培養的高中數學學法指導可從以下三點展開：建構知識結構，學會用數學眼光觀察世界；鞏固知識基礎，學會用數學思維思考世界；加強課后探究，學會用數學語言表達世界.

［關鍵詞］ 三會；學法指導；知識結構

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》中提出：數學教學活動是師生、生生之間交往互動與共同發展的過程，數學教學應從學情出發，通過各種教學手段引導學生通過實踐、交流、思考，發展思維，學會學習，形成會用數學眼光觀察世界、會用數學思維思考世界、會用數學語言表達世界的能力（簡稱“三會”）［1］. 在新課標的引領下，教師如何立足“三會”目標，進行學法指導呢？本文從以下幾方面展開分析.

建構知識結構，學會以數學眼光觀察世界

數學是一門系統性極強的學科，學習過程是一個有機整體，教材所安排的每一個知識點都有一定的動機與規律. 基于“三會”培養的學法指導活動首先應從知識結構出發，探尋教學內容所蘊含的歷史發展軌跡、內在邏輯以及與客觀世界的關系等，只有從每一個知識點的學習動機出發，才能在自主探索、合作學習或數學閱讀中體會到每一個知識點的獨到之處.

引導學生自主發現數學結構，并透過數學結構獲得用數學眼光觀察世界的能力，需經歷一個漫長的過程. 數學結構并非人類主觀隨意指派而來的，而是經過人們總結大量經驗得到的. 布爾巴基學派提出：數學研究的母結構分別有代數結構、序結構與拓撲結構. 其中代數結構來自數學事務中的數量關系，其與運算有著重要聯系；序結構具有一定的先后與時間順序；拓撲結構源于空間經驗，具有連續性特征.

數學的各個系統并非單一結構，而是多種結構共同存在. 如學生所熟悉的實數系，不僅有加減乘除（運算）的代數結構，還有大小之分的序結構，以及具有連貫性的拓撲結構. 事實證明，數學結構錯綜復雜地存在各個知識系統中，因此教師進行學法指導時，應結合學情從多角度帶領學生領略數學知識的魅力.

當學生首次接觸新的知識內容時，第一反應就是想方設法將新知納入原有認知結構中，若可以，則會立即啟動該結構的已知性質來接納新知. 從這個習慣不難看出，新知與舊知有著密不可分的聯系，這也是培養學生形成用數學眼光觀察世界的基礎.

縱觀數學史的發展，曾經有很長一段時間數學家們都無法理解復數的概念，因此將這個無法理解的數設定為虛數. 隨著時間的流逝，有人發現可以用平面上的點來表示復數，這是將復數的代數結構與拓撲結構融合的過程，此時的復數研究有了現實意義，其實際應用也很快被推廣開來［2］. 由此也能看出，將新知納入原有認知結構是促使人類學會用數學眼光觀察世界的重要途徑.

案例1 “子集與推出關系”的教學.

問題 判斷下列式子中的α是β的什么條件，分別從充分條件、必要條件與充要條件著手.

①α：x>4；β：x>3. ②α：四邊形為矩形；β：四邊形為正方形. ③α：p?q；β：q?p（p，q分別是p，q條件的否定）.

大部分學生都能準確回答問題①中的α是β的充分條件，問題②中的α是β的必要條件，但對于問題③，不少學生反饋推出符號過多，無法進行準確判斷.

師：問題③無法進行準確判斷的主要原因在于問題比較抽象，大家難以從常規的角度進行判斷. 想要解決這個問題該怎么辦呢？

生1：如果能將問題③轉化成類似于前兩個問題那樣明確、具體，那么判斷就沒有這么復雜了.

師：這是一個不錯的建議！那么問題③應該如何轉換呢？轉換過程中推出的關系和哪些數學對象有聯系呢？這些數學對象又分別是什么呢？這就是本節課我們即將探索的主題.

問題①和問題②比較簡單，意在引發學生提取認知結構中關于用幾種條件進行判斷的基本步驟，為本節課的教學奠定基礎. 問題③稍有難度，難點在于推出符號的抽象性. 但適當的難度成功激發了學生的探究欲，順利引出了本節課的教學主題.

問題③的提出，讓學生主動發現該問題無法從常規的充分必要性的角度去思考，因而提出讓問題變得具體直觀的想法. 順應學生的思維，遵循學生的認知發展規律，引出本節課的教學主題，整個過程自然且流暢. 不僅讓學生充分了解到學習“子集與推出關系”的必要性，還有效激發了學生學習的內驅力，讓學生產生了深入探索的興趣.

在解決問題的過程中，學生通過自主探索有以下兩點收獲：①此問（問題③）的背景為“原命題與其逆否命題是等價命題”，之前學生只是一種直覺，通過本節課的學習，形成了自主證明的能力，這充分體現了人類認知發展的邏輯關系；②通過本節課的學習，學生能自主發現命題、集合、推出關系之間具備怎樣的聯系，感知集合與命題的內涵，充分體會了數學知識的內在邏輯. 這兩點收獲，能有效促進學生學會用數學眼光觀察世界.

從深層次分析，教師若帶領學生從集合論與邏輯學的角度來探討“子集與關系”發生與發展的過程，則能讓學生進一步認識到邏輯知識對科技研究與發展的促進作用和深遠影響，從而嘗試用數學眼光來觀察世界. 久而久之，學生就能通過一定的邏輯關系將各個章節的知識內容組合到一起，形成完整的知識體系.

鞏固知識基礎，學會用數學思維思考世界

根據艾賓浩斯遺忘曲線規律，新知建構后需要經歷鞏固環節才能形成長時記憶. 課后作業、配套練習與復習等都是實施知識鞏固的過程. 在這些過程中，學生的思維會隨著問題的發展而逐漸活躍，通過一定的思考夯實知識基礎的同時，也能深化學生對知識的理解與應用. 受傳統教育思想的影響，仍有些教師以“題海戰術”來深化學生對知識的認識，殊不知這種方法只會消減學生的學習熱情，久而久之，題目刷得越來越多，思維能力卻越來越差，形成惡性循環.

數學教學不僅僅是知識教學，更重要的是思維鍛煉. 縱觀近些年的高考試題，無一不透露出“新穎”二字，這些問題不是“題海戰術”所能解決的，而需要嚴謹的思維與扎實的基礎. 有些學生遇到沒見過的題型或問題就不知所措，其實只要掌握知識的本質，就能形成“以不變應萬變”的解題能力.

教師應在鞏固練習中精選問題，注重一題多解、多題一解等變式訓練，以啟發學生的思維，從一定程度上將學生的線性思維轉化為網狀思維，讓學生學會從不同的維度去分析與解決問題，達到真正意義上的用數學思維思考世界的能力.

案例2 數列問題的解決與拓展.

問題 若數列｛a｝中的a=1，a=2a+1，則數列｛a｝的通項公式是什么？

解法1 退階相減法（過程略）.

變式拓展1：在數列｛a｝中，已知a=1，a=2，a=3a+2a，則數列｛a｝的通項公式是什么？

解法2 同除以某個式子（過程略）.

變式拓展2：在數列｛a｝中，已知a=1，a=2a+3n，則數列｛a｝的通項公式是什么？

變式拓展3：在數列｛a｝中，已知a=1，a=2a+n，則數列｛a｝的通項公式是什么？

解法3 待定系數法（過程略）.

變式拓展4：在數列｛a｝中，已知a=a，a=pa+r（p≠0，1，且r≠0），則數列｛a｝的通項公式是什么？

學生通過學習獲得的概念、定理、法則等有很多，僅僅“知其然”還不夠，還要“知其所以然”，思考這些結論源于何處、去向何方，蘊含著哪些數學思想方法，等等. 只有了解知識的本質，做到“知其然且知其所以然”，獲得良好的思維能力，才能真正從“刷題”中解放學生.

本題的三種解法其實都蘊含著同等重要的數學思想方法. 顯然，這些數學思想方法的形成并非一蹴而就的，它們是在漫長的學習生涯中逐漸總結、提煉而來的，學生在之前的解題中或許應用過，在結構特征的分析中或許提煉過，總歸都有一定的源頭.

教師在進行學法指導時，應結合學生的最近發展區，利用學生原有的思維結構去探索問題的解決方法，讓學生充分感知數學學科的系統性與邏輯性等特征，并聯系基本概念，有效鞏固學生對“聯系”的理解. 當然，案例2中的問題還有其他多種解法，但涉及學生未接觸過的內容，此處不再贅述.

值得注意的是，教師與學生探討每一種解題方法或解題思路時，都要重視過程的完整性，讓學生從真正意義上達到掌握與應用的程度，也突出每一種解題方法或解題思路承上啟下的作用. 應用每一種解題方法或解題思路后，教師都要引導學生及時進行反思與拓展，以深化學生對此類問題的認識，達到觸類旁通的目的.

長此以往，學生就能切身體會到如何應用自己所擁有的知識與技能、思想方法等擬定問題并提出解決問題的方案，從根本上促進思維的提升. 同時，錯題的訂正、整理與總結等都是提高學生思考能力的重要途徑. 實踐證明，從真正意義上揭開數學這門學科的神秘面紗，是促使學生用數學思維思考世界的關鍵.

加強課后探究，學會用數學語言表達世界

隨著新課改的推進，“以生為本”“減負增效”“培養創新人才”等理念越來越受到廣大教育工作者的重視. 為了踐行這些重要的教育教學理念，加強課后探究已然成為培養學生學科核心素養的重要路徑.

教師可結合學生的實際情況與教學資源，給學生布置一些科學合理的課后探究活動，鼓勵學生通過查閱文獻、小組討論等方式進行自主探究，適時適當給予一定的學法指導，要求學生將研究成果以調研報告、小論文等形式呈現出來，作為互動交流的依據. 互動交流的過程是學生用數學語言表達世界的過程，也是促進學生形成創新意識的基礎.

案例3 “最大容積問題”的課后探究活動.

問題 將一塊邊長為1米的正方形紙盒的四個角各剪下一個小正方形后，將剩下的圖形折疊成一個無蓋的盒子，若要讓盒子的容積達到最大容量，求被剪下的小正方形的邊長.

學生探索：假設剪下的小正方形的邊長為x米，那么制作而成的盒子的容積則為V=x（1-2x）2（立方米），且0

一旦明確了問題探索方向，就可以鼓勵學生通過自主思考與小組合作等方式進行研究. 學生在思考與交流的過程中，借助基本不等式不難獲得初步結論，再利用多媒體等資源以及基本不等式證明三元基本不等式，最后將探究思路與探究過程整理成小論文.

這是一道承接基本不等式的問題，整個活動由學生課后自主完成，主要由小組合作與小論文撰寫兩環節組成. 在小組合作環節，每一個學生都在明確的分工與合作中積極開動腦筋參與探索，分享自身的觀點、思路等；在小論文撰寫環節，學生則借助現代化的手段查閱資料，獲得更多的見解，夯實理論基礎.

顯而易見，小論文撰寫過程是學生用數學語言記錄自己的想法、觀點與思維的過程，也是逐漸形成辯證、嚴謹的數學觀的過程. 這種開放式的課后探究活動，不僅有效發散了學生的思維，增強了學生對知識深度與廣度的認識，還讓學生形成了用數學語言表達世界的能力.

總之，“教書育人”是教師的重要職責，學生在課堂中不僅僅要掌握基本的數學知識，更重要的是要學會思考，順利獲得“三會”能力. 結合高中生的身心發展規律，教師可從課堂教學、知識鞏固與課后探索三個環節著手，利用適當的教學手段、學法指導，激活學生的思維能力，促使學生建構完整的知識結構，發展學生的數學學科核心素養.

參考文獻：

［1］ 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］ 史寧中. 學科核心素養的培養與教學——以數學學科核心素養的培養為例［J］. 中小學管理，2017（01）：35-37.

作者簡介：顧靜凌（1978—），本科學歷，中小學一級教師，從事高中數學教學與研究工作，曾獲江陰市三力課堂大比武一等獎.