突破教學(xué)難點(diǎn)，提升思維能力

［摘? 要］ 幫助學(xué)生解決疑難問(wèn)題是教學(xué)的重要任務(wù)之一. 在教學(xué)中，教師要通過(guò)知識(shí)傳授來(lái)提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力和發(fā)展學(xué)生的思維能力，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法的滲透，為學(xué)生的終身學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).

［關(guān)鍵詞］ 教學(xué)難點(diǎn)；思維能力；知識(shí)體系

運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題是檢查學(xué)生是否真正掌握知識(shí)的重要標(biāo)準(zhǔn)，也是讓教師和學(xué)生都頭疼的問(wèn)題. 在實(shí)際教學(xué)中，由于學(xué)生的主體地位沒(méi)有得到有效落實(shí)，導(dǎo)致學(xué)生的學(xué)習(xí)較為被動(dòng). 學(xué)生依賴教師的指令學(xué)習(xí)，極易產(chǎn)生困惑，而部分教師關(guān)注更多的是知識(shí)本身而忽視了這些困惑，學(xué)生的思維能力自然得不到有效提升. 我們常說(shuō)教師的職責(zé)在于“傳道授業(yè)解惑”，也就是說(shuō)，在教學(xué)中，教師除教授知識(shí)外，還要善于發(fā)現(xiàn)學(xué)生的困惑和問(wèn)題，并及時(shí)給予點(diǎn)撥和指導(dǎo)，以提高學(xué)生學(xué)習(xí)能力. 對(duì)此，教師要圍繞核心任務(wù)設(shè)計(jì)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生探尋發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的基本線索，構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)體系，在自主思考的過(guò)程中理解并內(nèi)化知識(shí).

在蘇教版必修第一冊(cè)“三角函數(shù)應(yīng)用”一課中，教材從物理和生活兩個(gè)角度提出了兩道應(yīng)用三角函數(shù)的例題，以及生活中港口水深的變化與三角函數(shù)關(guān)系的探究案例，教學(xué)參考建議第一節(jié)課講解例1和例2，第二節(jié)課講解探究案例，其中例2為教學(xué)難點(diǎn).

（例2）一半徑為3 m的水輪如圖1所示，水輪圓心O距離水面2 m，已知水輪每分鐘逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)4圈，且當(dāng)水輪上點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)時(shí)（圖中點(diǎn)P0）開(kāi)始計(jì)算時(shí)間.

（1）將點(diǎn)P距離水面的高度z（單位：m）表示為時(shí)間t（單位：s）的函數(shù)；

（2）點(diǎn)P第一次到達(dá)最高點(diǎn)大約要多長(zhǎng)時(shí)間？

筆者有幸聆聽(tīng)了幾位教師對(duì)這一內(nèi)容的講解，從課堂反饋來(lái)看，存在不小的差異，其原因是教師對(duì)教學(xué)內(nèi)容的理解不同，采用不同方案來(lái)突破該教學(xué)難點(diǎn). 下面談一談筆者對(duì)此部分內(nèi)容的教學(xué)思考，與各位同行交流.

何謂難點(diǎn)

數(shù)學(xué)教學(xué)中所謂的難點(diǎn)是指學(xué)生不容易理解的知識(shí)或較難掌握的解題技巧. 本題（例2）講解的是三角函數(shù)在圓周運(yùn)動(dòng)中的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的要求較高——懂知識(shí)轉(zhuǎn)化——既懂水輪的轉(zhuǎn)動(dòng)與角的度數(shù)的轉(zhuǎn)換，了解半徑為r的圓上的一點(diǎn)用坐標(biāo)如何表示；又懂角的始邊OP與x軸的正半軸差一個(gè)角φ的幾何意義. 經(jīng)歷這樣的思維過(guò)程對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是非常困難的，那么如何突破難點(diǎn)，找到問(wèn)題解決路徑呢？

突破難點(diǎn)的教學(xué)實(shí)踐

1. 教學(xué)方案一：以舊知聯(lián)系新知，解決未知問(wèn)題

（1）設(shè)計(jì)問(wèn)題串，鞏固知識(shí).

問(wèn)題1：如圖2所示，圓O的半徑為r，以圓心O為頂點(diǎn)，Ox為始邊的角α的終邊上的點(diǎn)P的坐標(biāo)是什么？

問(wèn)題2：如圖3所示，將角φ的一邊OA逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角的大小到OP，那么點(diǎn)P的坐標(biāo)是什么？

問(wèn)題4：水輪每分鐘逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)4圈，t秒后水輪轉(zhuǎn)動(dòng)多少度？

（2）聯(lián)系舊知，解決新的問(wèn)題.

教師提出例2的變式0題：

如圖5所示，若降雨后水面上升了4 m，請(qǐng)解決以下問(wèn)題.

①點(diǎn)P與水面的距離z（單位：m）如何用時(shí)間t（單位：s）的函數(shù)表示？

②經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間的轉(zhuǎn)動(dòng)，點(diǎn)P可以第一次到達(dá)最高點(diǎn)？

2. 教學(xué)方案二：設(shè)疑激發(fā)學(xué)生的好奇心，以特殊問(wèn)題為起點(diǎn)，從特殊到一般，促進(jìn)問(wèn)題的解決

（1）創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課.

根據(jù)學(xué)生熟悉的生活中的事物，如鬧鐘，引導(dǎo)學(xué)生思考：秒針、分針?lè)謩e轉(zhuǎn)一格得到的角是多少度？

（2）知識(shí)應(yīng)用.

學(xué)生思考例2時(shí)遇到了困難，教師及時(shí)提出：讓我們先來(lái)看一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題，找一找相關(guān)的解題方法（出示例2的變式題）.

基礎(chǔ)問(wèn)題：一半徑為3 m的水輪如圖6所示，水輪圓心O剛好在水面上，已知水輪每分鐘逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)4圈，且當(dāng)水輪上點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)時(shí)（圖中點(diǎn)P0）開(kāi)始計(jì)算時(shí)間.

①點(diǎn)P距離水面的高度z（單位：m）可以用時(shí)間t（單位：s）的函數(shù)表示嗎？

②點(diǎn)P第一次到達(dá)最高點(diǎn)大約要多長(zhǎng)時(shí)間？

變式題1：如圖6所示，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)C，B，D分別開(kāi)始計(jì)時(shí)，點(diǎn)P距離水面的高度z（單位：m）表示為時(shí)間t（單位：s）的函數(shù)分別是什么？

變式題2：如果水面由于干旱下降了2 m，如圖7所示，點(diǎn)P從點(diǎn)P0開(kāi)始計(jì)時(shí)，那么點(diǎn)P距離水面的高度z（單位：m），如何用時(shí)間t（單位：s）的函數(shù)表示？

拓展：①轉(zhuǎn)動(dòng)的周期變化了嗎？

②t（單位：s）內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的角度變化了嗎？

③點(diǎn)P的縱坐標(biāo)還是其距離水面的高度嗎？

師生共同討論得到一致認(rèn)識(shí)：?jiǎn)栴}①②“沒(méi)有變化”，問(wèn)題③“變化了”.

變式題3：若降雨后水面上升了2 m（見(jiàn)圖8），點(diǎn)P從點(diǎn)P0開(kāi)始計(jì)時(shí)，又該如何用時(shí)間t（單位：s）的函數(shù)表示點(diǎn)P距離水面的高度z（單位：m）？并計(jì)算點(diǎn)P第一次到達(dá)最高點(diǎn)的時(shí)間.

變式題3作為學(xué)生的探究練習(xí).

3. 教學(xué)方案三：將未知問(wèn)題逐層分解成多個(gè)子問(wèn)題，最后獲得解決方案

（1）以問(wèn)題情境激發(fā)學(xué)生的興趣.

用圖片展示明代科學(xué)家宋應(yīng)星《天工開(kāi)物》中的水車和三峽水電站的大型機(jī)組.

問(wèn)題：我們看到圖片中古代的灌溉設(shè)施和現(xiàn)代的水電站都使用了水輪，其實(shí)水輪在生活中有著廣泛的用途，觀察水輪的運(yùn)動(dòng)，它具有怎樣的特點(diǎn)？如果用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行研究，應(yīng)該用何種函數(shù)進(jìn)行表示？

展示例2，并將題干中的半徑改為4 m，請(qǐng)學(xué)生讀題并思考，關(guān)注學(xué)生在解決過(guò)程中出現(xiàn)的困難.

（2）設(shè)計(jì)系列問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生探究.

首先，展示系列問(wèn)題，供學(xué)生思考.

①水輪運(yùn)動(dòng)1 s，點(diǎn)P轉(zhuǎn)過(guò)的弧度數(shù)是多少？

②設(shè)圓與x軸的正半軸相交于點(diǎn)A，設(shè)∠AOP=α，探究角α與時(shí)間t（單位：s）之間的關(guān)系.

③點(diǎn)P的縱坐標(biāo)如何用角α的三角函數(shù)來(lái)表示？

④假設(shè)水輪運(yùn)動(dòng)的起始位置是P，求∠AOP與時(shí)間t（單位：s）之間的關(guān)系.

⑤請(qǐng)用時(shí)間t（單位：s）的函數(shù)將點(diǎn)P距離水面的高度f(wàn)（t）表示出來(lái).

其次，建立數(shù)學(xué)模型，解決問(wèn)題.

學(xué)生思考問(wèn)題后嘗試回答：

教師即時(shí)反饋，規(guī)范解答過(guò)程.

最后，引導(dǎo)總結(jié)，回顧反思.

①回顧這道題的解答過(guò)程，特別是突破難點(diǎn)的過(guò)程，你受到啟發(fā)了嗎？

②上述答題方案，可以推廣到一般的試題中嗎？

引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)解決難題的一般步驟：遇到疑難問(wèn)題時(shí)，要冷靜沉著去分析條件，可以采取問(wèn)題串的形式去思考、探索解題途徑，或?qū)⒁话銌?wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊問(wèn)題.

拓展研究1：點(diǎn)P可以距離水面最高多少米？點(diǎn)P第一次到達(dá)最高點(diǎn)大約要多長(zhǎng)時(shí)間？

拓展研究2：水輪轉(zhuǎn)動(dòng)2015 s時(shí)點(diǎn)P距離水面多少米？

4. 教學(xué)方案四：在師生互動(dòng)、追問(wèn)探究中逐漸接近目標(biāo)，探索答案

教師展示例2，并將題干中的半徑改為4 m.

師：本題要解決的目標(biāo)是什么？

生1：描述距離和時(shí)間之間的關(guān)系.

師：很好，對(duì)這個(gè)目標(biāo)我們能不能進(jìn)行一定的轉(zhuǎn)化？

生2：可以，z=y+2.

師：這里的y是什么？

生3：y就是圓上動(dòng)點(diǎn)P的縱坐標(biāo).

師：我們有沒(méi)有學(xué)過(guò)求圓上的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)的方法？

生3：在單位圓上學(xué)過(guò)，單位圓上的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)可以表示為（cosα，sinα）.

師：好的，這里的α可以求出來(lái)嗎？

生4：α=∠AOP，∠POP為水輪從點(diǎn)P開(kāi)始所轉(zhuǎn)過(guò)的角，根據(jù)題意可求出水輪轉(zhuǎn)動(dòng)的速度——1 s轉(zhuǎn)過(guò)的角度是，因此t s轉(zhuǎn)過(guò)的角度是t.

學(xué)生是課堂教學(xué)的主體，教學(xué)設(shè)計(jì)要以學(xué)生為本，尊重學(xué)生的主體地位，以學(xué)生的長(zhǎng)期發(fā)展為教學(xué)目標(biāo). 教學(xué)方案除了要契合課程標(biāo)準(zhǔn)和教學(xué)內(nèi)容外，還要符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和特點(diǎn)，否則教學(xué)目標(biāo)就難以真正落實(shí)，也達(dá)不到應(yīng)有的教學(xué)效果. 通過(guò)解題教學(xué)，可提高學(xué)生的思維品質(zhì)和思維能力，使學(xué)生單一的具象思維不斷向立體化的抽象思維發(fā)展. 只有不斷提升學(xué)生的思維能力，才能提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力，因此解題訓(xùn)練是思維發(fā)展的生長(zhǎng)點(diǎn). 上述四種教學(xué)方案對(duì)學(xué)生思維的訓(xùn)練存在著很大的差異.

教學(xué)方案一，通過(guò)想好的步驟牽著學(xué)生一步一步跟著走，學(xué)生的思路限定在教師的預(yù)設(shè)里面，不會(huì)偏離教學(xué)目標(biāo)，學(xué)生容易理解知識(shí)，教師也容易把握課堂節(jié)奏，適和基礎(chǔ)較為薄弱的班級(jí). 但是這一方案也有一定的缺點(diǎn)，那就是學(xué)生的思維受到了一定的限制，缺乏深入思考，容易對(duì)教師產(chǎn)生依賴. 在面對(duì)難題時(shí)，由于學(xué)生缺少獨(dú)立解決的能力，因此常常束手無(wú)策，容易形成畏難心理，基本被教師牽著走.

教學(xué)方案二，先展示未知問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解決，再引導(dǎo)學(xué)生由簡(jiǎn)單特殊的問(wèn)題開(kāi)始積累解題經(jīng)驗(yàn)，從而學(xué)習(xí)新的知識(shí)，由特殊到一般是學(xué)生在面對(duì)疑難問(wèn)題時(shí)常常采用的解題思想和方法. 在這個(gè)教學(xué)方案中，學(xué)生經(jīng)歷了難題的突破過(guò)程，體會(huì)到了知識(shí)的解決過(guò)程，學(xué)會(huì)了思考和學(xué)習(xí)，適合水平層次中等以上的班級(jí).

教學(xué)方案三，先用動(dòng)畫播放的方式引入情境，目的是增強(qiáng)學(xué)生的視聽(tīng)感受，激發(fā)學(xué)生的興趣；再通過(guò)層層遞進(jìn)的探究性問(wèn)題逐一分散難點(diǎn)，將綜合性的難題分成5個(gè)小問(wèn)題進(jìn)行局部探究，在關(guān)鍵環(huán)節(jié)以小組合作探究的方式進(jìn)行推進(jìn)，通過(guò)分解問(wèn)題的方法建立函數(shù)模型. 在教學(xué)中，教師注重指導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)審題、梳理題干的要素和數(shù)量關(guān)系，提醒學(xué)生利用相互轉(zhuǎn)化的方法解決問(wèn)題. 本方案中的總結(jié)反思也是解題環(huán)節(jié)的重要一環(huán)，幫助學(xué)生鞏固解題思路，促使學(xué)生掌握解題規(guī)律. 通過(guò)拓展練習(xí)，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)函數(shù)模型的應(yīng)用，熟悉函數(shù)模型建立的方法. 本教學(xué)方案以問(wèn)題串的形式，通過(guò)局部探究解決疑難問(wèn)題，適合知識(shí)基礎(chǔ)層次中等或較高的學(xué)生.

教學(xué)方案四，以目標(biāo)倒推的方法解題，采用設(shè)問(wèn)和追問(wèn)的方式不斷推導(dǎo)通向目標(biāo)的路徑. 本教學(xué)案例先確定目標(biāo)，接著轉(zhuǎn)化和分解目標(biāo)，最后遷移知識(shí)找到類似問(wèn)題——單位圓中的坐標(biāo)表示，利用三角函數(shù)的定義解決問(wèn)題. 當(dāng)問(wèn)題中目標(biāo)的起點(diǎn)變成P時(shí)，同樣是不斷圍繞目標(biāo)進(jìn)行思考和探索，促進(jìn)已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行類比和轉(zhuǎn)化. 這一教學(xué)方案有利于鍛煉學(xué)生的思維，但對(duì)學(xué)生思維的要求較高，適合知識(shí)基礎(chǔ)層次較高的學(xué)生.

不同的教學(xué)方案對(duì)學(xué)生的要求不同，當(dāng)然也會(huì)從不同的角度鍛煉學(xué)生不同的思維能力，但都要使學(xué)生學(xué)會(huì)從題目中提取有效信息進(jìn)行整合，探尋解題之道.

作者簡(jiǎn)介：楊智慧（1980—），本科學(xué)歷，中學(xué)高級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作.