深度挖掘?qū)W情　有序轉(zhuǎn)化提升

［摘? 要］ 如何在高三一輪復習中告別“負重低效”的學習現(xiàn)狀？開展深度學習下的高三一輪復習可以擔此重任. 文章以“裂項相消法求數(shù)列前n項和”為例，從前期分析（深度挖掘?qū)W情）、片段回顧（有序轉(zhuǎn)化提升）及教學反思三方面具體闡述深度學習的可行路徑.

［關鍵詞］ 深度學習；裂項相消法；挖掘?qū)W情；有序轉(zhuǎn)化

“老師，為什么可以裂成-？”

“你將式子通分逆用就會發(fā)現(xiàn)它們是相等的！”

“哦？！”

這是筆者和學生在“數(shù)列求和”復習課后的一段對話，望著學生那“依然困惑”的表情，聽著那一聲略帶失望的“哦”，筆者意識到我們的課堂需要改變……

回想“數(shù)列”這一章內(nèi)容，學生的新課學習在高一網(wǎng)課期間，這導致學生的基礎不扎實，雖然在高二學考復習中也進行過模塊式復習，但是由于其時間短、任務重，因此大部分學生對一些數(shù)列求和方法的掌握仍停留在“記憶—模仿—強化”的淺層學習階段，對數(shù)列求和方法的本質(zhì)知之甚少. 究其根本在于教師一味地追求教學進度而忽視探尋學生思維的起點、厘清數(shù)學問題的本質(zhì)，用高密度、低思維的刷題訓練取而代之，現(xiàn)在想來，實在不可取！

如何在高三一輪復習中告別“負重低效”的學習現(xiàn)狀？如何讓學生由淺層學習走向深度學習呢？深度學習并不是什么神秘的新創(chuàng)造，它是北京師范大學郭華教授對優(yōu)秀教學實踐與理論研究的總結(jié)、提煉與升華，界定為“在教師引領下，學生圍繞著具有挑戰(zhàn)性的學習主題，全身心積極參與、體驗成功、獲得發(fā)展的有意義的學習過程”［1］. 即在數(shù)學學習過程中，不僅關注知識技能“是什么”“怎么用”，還要探究知識技能的來龍去脈［2］，逐步實現(xiàn)學生思維的進階. 現(xiàn)以“裂項相消法求數(shù)列前n項和”為例，具體闡述在高三一輪復習中追尋深度學習的可行路徑.

1. 前測：挖掘?qū)W情

（1）前測設計.

為改變教師主觀想象學情的習慣，特設計了課前任務單（見圖1）用以了解學生對“裂項相消法求和”的現(xiàn)有理解狀態(tài). 該任務單由問題1和問題2兩部分組成. 問題1由一組從易到難的常見的有裂項相消結(jié)構(gòu)的問題組成，幫助學生重拾用裂項相消法求數(shù)列前n項和的步驟，并對學生的易錯點“裂項后系數(shù)配平”“裂項相消后還剩多少項”進行了量化統(tǒng)計. 問題2由三道開放題組成，第②題、第③題意在挖掘平常教學中尚未發(fā)現(xiàn)的真問題，第①題把困難前置，打破學生的思維定式，量化統(tǒng)計學生對裂項相消法本質(zhì)的理解.

（2）結(jié)果分析.

執(zhí)教班級共40人，發(fā)放任務單40份，收回40份，結(jié)果統(tǒng)計（如圖2所示）及分析如下：

第一，問題1的統(tǒng)計結(jié)果表明，常見的、簡單的裂項式子，，，甚至要做適當變形的，學生完成得比較好. 對于第②題，班級只有4名學生裂項后忘記了系數(shù)乘. 但是對于學生不常見的第⑤題，正確率只有25%，主要原因有：不知道怎么裂項、裂項后哪些項要作抵消.

第二，問題2暴露了筆者意料之外的情況，解題正確并不意味著學生對數(shù)學方法真正理解，只是源于學生刷題熟練后的機械記憶. 對于第①題，35%的學生認為不能用裂項相消法求和，原因是（2n-1）不是分式形式，且｛2n-1｝是等差數(shù)列，直接用等差數(shù)列求和公式就行了；雖然65%的學生認為可以用裂項相消法求和，但沒有學生給出正確解釋，從學生的答題情況可以看出，很多學生嘗試把（2n-1）轉(zhuǎn)化成分式形式，打算裂項求解，但最終都失敗了. 對于第②題，很多學生不約而同給出的是分子為1，分母上兩個相乘式子的差是常數(shù)的分式，但其中可裂而不可消的式子也占35%，如等.

總之，大部分學生只有面對形如

（k為常數(shù)）的數(shù)列才能用裂項相消法求和，稍作變化就不知所措. “怎樣的數(shù)列可以用裂項相消法求和”“怎樣裂項”“裂項相消后還剩多少項”是大部分學生當前最難解決的思維癥結(jié).

2. 教法：深度學習

深度學習注重新知與學生已有經(jīng)驗的相互轉(zhuǎn)化，從而使學生與知識建立意義關聯(lián)［3］.

從人教A版選擇性必修第二冊教材看“數(shù)列”的知識脈絡（見圖3）可知：裂項相消法是數(shù)列求和的通性通法，其更具一般性. 從裂項相消法的角度重新審視等差數(shù)列求和、等比數(shù)列求和、差比數(shù)列求和，有助于將數(shù)列求和方法構(gòu)建成有機網(wǎng)絡，從中領悟數(shù)列求和的本質(zhì)是化簡，即如何將n項化為有限項，滲透化歸思想，與后續(xù)利用數(shù)學歸納法及放縮法求數(shù)列前n項和一脈相承.

基于學生經(jīng)驗與新知脈絡的分析，筆者以“裂項相消法求數(shù)列前n項和”這節(jié)復習課為教學支點，沿著“初識本質(zhì)—再識本質(zhì)—深識本質(zhì)”的邏輯路線展開教學，不僅關注裂項相消法求和“是什么”“怎么用”，還探究裂項相消法求和的來龍去脈，幫助學生將碎片化的數(shù)列求和方法結(jié)構(gòu)化，從整體視角厘清各種數(shù)列求和方法間的區(qū)別與聯(lián)系，實現(xiàn)數(shù)列這一章節(jié)的知識網(wǎng)絡的構(gòu)建. 為此，本節(jié)課確定了以下三個教學任務.

任務1：以學前任務單問題2第②題學生的解答為情境，期望幫助學生明晰“怎樣的數(shù)列可以用裂項相消法求和”，使學生初步理解裂項相消法的原理以及操作步驟.

任務2：以人教A版必修5第47頁習題2.3B組第4題為資源，引領學生對“熟而不透”的數(shù)列再探，通過師生、生生的對話交流，幫助學生解決“怎樣裂項”和“裂項相消后還剩多少項”的學習困惑；嘗試判斷、評論，使學生進一步理解裂項相消法的原理以及操作步驟.

任務3：以學前任務單問題2第①題為資源，引領學生對其進行深度探究，通過對比、交流、反思，使學生深度理解裂項相消法的原理以及操作步驟；嘗試編題、交流、互評，從整體視角認識數(shù)列求和，優(yōu)化知識結(jié)構(gòu).

1. 迷失概念的轉(zhuǎn)化

迷失概念是概念偏離科學性獲得而產(chǎn)生遷移（應用）障礙的一種現(xiàn)象. 筆者通過對學前任務單問題2第②題學生解答的整理與分析，針對學生對“怎樣的數(shù)列才能用裂項相消法求和”問題的迷失，挑選出兩位學生具有代表性的解答編寫成問題1及遞進的拓展題.

問題1 （對學前任務單問題2第②題的整理）班級有同學認為下列數(shù)列都可以用裂項相消法求和，你覺得可以嗎？請說明理由！

拓展題1：請理性審視同伴對課前任務單問題2第②題作答的情況，并給予評判.

拓展題2：如何修改②③④數(shù)列，可以用裂項相消法求和？

（1）誘導思考.

多數(shù)學生對區(qū)分“怎樣的數(shù)列可以用裂項相消法求和”沒有十足的把握，因此將學生作答的情況作為情境，能夠喚醒學生的內(nèi)驅(qū)力，無論學生作對與否，都渴求知道“為什么”. 學生的探究欲被激發(fā)，思維被激活.

（2）由淺及深.

片段1 筆者請生1、生2闡明理由.

生1：都可以，因為①②③④數(shù)列的通項都是分式的形式，而且通項都可以拆分成“兩項的差”

-；⑤數(shù)列的通項經(jīng)過理化可得=-. 都滿足裂項相消的條件.

生2：我也覺得都可以，因為它們滿足兩個條件，一是通項都是分式的形式，二是通項的分母都是兩項相乘的形式，而且這兩項的差為常數(shù).

師：其他人有沒有不同的意見呢？

生3：我覺得①⑤數(shù)列可以，但②③④數(shù)列不可以，這三個數(shù)列裂項后并不能相互抵消.

師：到底行不行呢？解答這個問題不僅需要我們動腦思考，還需要我們動筆實踐.

師：它們可裂，但不能相消，為什么不能相消呢？

生4（積極舉手）：數(shù)列

不能相消的原因是和不是一個新數(shù)列相鄰或相間的兩項，即數(shù)列

的通項不能成為一個新數(shù)列相鄰或相間的兩項之差. 同理數(shù)列

的通項也都不能成為一個新數(shù)列相鄰或相間的兩項之差. 而數(shù)列

的通項可寫成新數(shù)列

的相鄰兩項之差-，數(shù)列

可寫成新數(shù)列｛｝的相鄰兩項之差-，故可用裂項相消法求和.

師：非常好，你道出了裂項相消法的本質(zhì)：若原數(shù)列的通項公式可裂成一個新數(shù)列相鄰或相間的兩項之差，則可實現(xiàn)相互抵消，化無限為有限. （板書）

隨后筆者逐次拋出拓展題1及拓展題2，進一步提高學生的學習興趣，學生在解釋舉例、區(qū)分辨別、評價創(chuàng)造等思維活動中，實現(xiàn)了對迷失概念“怎樣的數(shù)列才能用裂項相消法求和”的轉(zhuǎn)化. 當然，在拓展題2中，學生雖然能正確修改數(shù)列為

2. 迷失方法的轉(zhuǎn)化

在高三教學中，我們對方法性問題的求解，不但要關注方法的本質(zhì)，還要注重適用范圍和操作步驟的探究. 在問題1中，學生初步認識了裂項相消法的原理，但對裂項相消的“源”與“流”甚是陌生. 為此，筆者設計了問題2，從知識源頭幫助學生解決裂項相消法的適用范圍及操作步驟等問題.

問題2 （人教A版必修5第47頁習題2.3B組第4題）數(shù)列

的前n項和S=++++…+，研究一下，能否找到求S的一個公式.你能對這個問題作一些推廣嗎？

變式：（學前任務單問題1第⑤題）令c=，求數(shù)列｛c｝的前n項和S.

（1）思考實踐，暴露思維誤區(qū).

片段2 筆者給學生充分的時間解答，問題1的錯答者生2，積極要求回答問題2.

生2：現(xiàn)在我明白了，因為=-，所以可以寫成新數(shù)列

的相鄰兩項之差，故用裂項相消法可得S=1-+-+-+…+-+-=1-.

師：嗯，從裂項相消法的本質(zhì)進行分析，很贊！那你能對這個問題作一些推廣嗎？

生2：因為=-，所以可以寫成新數(shù)列

的相間兩項之差，用裂項相消法求得S=1-+-+-+…+-+-=1-. 類似推廣，因為=-，所以可以寫成新數(shù)列

的相隔兩項之差，用裂項相消法求得S=1-+-+-+…+-+-=1-. 同樣，形如

的數(shù)列都可以用裂項相消法求其前n項和.

（2）展示交流，提升思維品質(zhì).

師：這種裂項，誰能概括一下它的操作要領？

生6：觀察分子與分母的關聯(lián)性，用分母中相乘的兩個因子去表示分子，蘊含著整體代換的數(shù)學思想.

師：裂項相消后，剩下多少項呢？

師生在課堂活動中建立積極、友善的心理環(huán)境，可以提升學生的學習興趣和積極的情感體驗，學生通過思考實踐、展示交流、診斷評價等思維活動，自覺地融入數(shù)學，全身心地參與課堂教學. 經(jīng)課堂統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，上述變式的正確率由課前的25%提升到了95%. 可見，學生迷失的“裂項后系數(shù)不平衡及剩下的項數(shù)”得到了轉(zhuǎn)化！

3. 高階思維的發(fā)展

深度學習的達成是學生能把新學的知識遷移到新的情境中去，將知識學“活”. 問題3以學生的優(yōu)秀解答為資源，引發(fā)學生的思維在深處碰撞，打破學生的錯誤認知——只有通項為“分式”的數(shù)列才能用裂項相消法求和，讓學生深度理解裂項相消法的本質(zhì).

問題3 （學前任務單問題2第①題）你能不能用裂項相消法求數(shù)列｛2n-1｝的前n項和？

變式題1：你能不能用裂項相消法求數(shù)列｛2n｝的前n項和？

變式題2：你能不能用裂項相消法求數(shù)列｛（2n-1）·2n｝的前n項和？

筆者以學生Z的解答過程（圖5）為情境，兩次引導學生進行判斷、評論. 第一次，筆者適時提出問題：能否體會Z同學裂項的想法？Z同學這樣裂項的依據(jù)是什么？在思維的碰撞中，學生對裂項相消法中“裂”的形式（數(shù)列通項不一定是分式的形式）和“裂”的操作步驟（a=S-S（n≥2））有了進一步的認識，同時有了探究方法普適性的訴求，即如何尋找一般數(shù)列“裂”的結(jié)果. 學生觀察對比、比較反思、提煉總結(jié)出了“裂”的特征：一般的，形如｛（an+b）dn｝的數(shù)列求和，可以用待定系數(shù)法裂項. 當學生合作得出裂項相消法后，筆者第二次引導學生對學生Z的“作品”進行評議.

學生Z的解答過程得到同學充分肯定后，對自己的作答也進行了反思：我是用數(shù)感拼湊出來的“裂”的結(jié)果，但是像變式2中這樣的數(shù)列就很難一眼看出結(jié)果了，現(xiàn)在用待定系數(shù)法很容易拼湊出“裂”的結(jié)果，使得數(shù)列求和變得更加簡潔. 感覺裂項相消法適用的范圍很廣，是不是所有數(shù)列都可以用裂項相消法求和呢？

借著學生Z的疑問，筆者追問道：所有的數(shù)列都可以用裂項相消法求和嗎？大部分學生很快就想到了已作評判的問題1，認為裂項相消法適用的范圍的確很廣，但并不是所有的數(shù)列都可以用裂項相消法求和，關鍵要看該數(shù)列能不能“裂”成一個新數(shù)列相鄰或相間的兩項之差. 繼而，筆者給出問題鏈接高考，實現(xiàn)知識應用遷移.

1.深度學習更加注重復習教學的定位

高三一輪復習具有查漏補缺，梳理基礎知識、基本技能和基本思想，構(gòu)建有機網(wǎng)絡的作用，但依靠題型堆砌的復習課很難擔此重任，需要教師深度加工教學內(nèi)容：將離散的知識點按一定的邏輯順序有序聯(lián)結(jié)，將知識結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化地呈現(xiàn)在學生面前；從學生的思維起點出發(fā)，精心設計系列階梯式的數(shù)學活動，讓學生全身心地參與其中，引領學生的思維從低級向高級進階，使學生深刻把握問題的本質(zhì). 唯有這樣，深度學習才會悄然發(fā)生：構(gòu)建知識結(jié)構(gòu)，拓展知識技能，感悟思想方法，提升學習能力，發(fā)展核心素養(yǎng).

2.深度學習更加注重課前任務單的利用

部分教師習慣根據(jù)經(jīng)驗單方面地想象學生在學習中存在的困難而進行教學設計，但是他們的“盲目自信”是導致學生的學“浮”于表面、無法下“沉”的主因，使得學生只能跟著教師的想法被動地學，因此機械式記憶在所難免. 深度學習的主體是學生，教師只有根據(jù)學生已有的知識和經(jīng)驗去激發(fā)和引導學生學習，這樣深度學習才會真正地發(fā)生. 課前任務單可以讓教師真實了解學生的實際水平，明確學生能實現(xiàn)的發(fā)展目標. 由此，在實際水平與發(fā)展目標之間，教師利用課前任務單的反饋，設計層層遞進的數(shù)學活動，讓學生感受到知識與自己的關系，從而喚醒學生的思維，使其自覺地卷入數(shù)學學習，讓學生的深度學習成為可能.

3.深度學習更加注重數(shù)學交流水平的提升

學會數(shù)學交流是《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》的基本理念之一，也是深度學習的體現(xiàn). 教師要營造民主、平等、合作的課堂氛圍，給予學生敢于表達見解的機會. 為此，筆者將課堂生成（錯解或優(yōu)秀解答）作為教學資源，把其加工成逐級遞進的探究性和開放性問題，持續(xù)引發(fā)學生積極思考與交流，鼓勵學生暴露所思所想，在師生、生生間的傾聽、分享、評價，以及小組交流和全班討論中，學生片面的經(jīng)驗變成全面，繁雜的經(jīng)驗變得簡約，錯誤的經(jīng)驗得以糾正，實現(xiàn)了深度學習.

可以說，高三每天都在和題打交道——選題、做題、講題，但教師用題帶給學生的不僅僅是分數(shù)，還有題背后的數(shù)學之美、數(shù)學之魅. 教師應不失時機地引導學生用數(shù)學眼光觀察世界，用數(shù)學思維思考世界，用數(shù)學語言表達世界，落實學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)，使數(shù)學課堂成為鮮活的、有溫度的、理智與情感共存的教學陣地.

參考文獻：

［1］ 郭華. 如何理解“深度學習”［J］. 四川師范大學學報（社會科學版），2020，47（01）：89-95.

［2］ 伍春蘭，許綺菲. 追求深度學習的高三數(shù)學課堂實踐與思考——以“離散型隨機變量分布列、期望與方差”復習課為例［J］. 數(shù)學通報，2020，59（01）：19-22.

［3］ 郭華. 深度學習的五個特征［J］. 人民教育，2019（06）：76-80.

作者簡介：董輝（1983—），教育碩士，高級教師，從事高中數(shù)學教學與研究工作，曾獲杭州市新銳教師榮譽.