第三屆跨區域命題征集活動成果展示(一)

本刊編輯部

【原創創新試題組】

【原創1】在孟德爾遺傳理論中,D為顯性遺傳因子,d為隱性遺傳因子,則稱DD,Dd為顯性個體,dd為隱性個體,用基因型為Dd的小麥進行連續自由交配并逐代淘汰隱性個體,an為Fn(子n代)顯性個體中雜合子的比例,其可用列舉法或配子法進行計算.比如:

列舉法計算F1的基因型:

DdDd14DD,12Dd,12dd子一代淘汰隱性個體后基因型為14DD,24Dd子一代顯性個體中,雜合子比例a1=23

配子法計算F1的基因型:

12D12d12D14DD14Dd12d14Dd14dd子一代淘汰隱性個體后基因型為14DD,12Dd子一代顯性個體中,雜合子比例a1=23

(Ⅰ)計算a2的值;

(Ⅱ)求an的通項公式;

(Ⅲ)一批小麥中有子六代、子七代、子八代顯性個體,其比例為2∶3∶5,現從中取一個麥子,如果它是雜合子,計算它是子八代的概率.

【原創2】已知{an}為等差數列,{bn}為等比數列,滿足b1=2a1=2,b2=2a2,a3+b3=11.

(Ⅰ)求{an},{bn}的通項公式;

【答案詳解及創新點分析】

【原創1】

【解題思路】本題前兩問主要依靠生物學中的列舉法和配子法找出數列{an}的遞推公式,根據數列的遞推公式的結構特征找出隱藏的等差數列,從而求出數列{an}的通項公式;或者依據數學歸納法求解數列{an}的通項公式.本題的第三問主要考查全概率公式和貝葉斯公式,以實際問題為背景,以數學為工具進行求解.

【解析】(Ⅰ)解法一:列舉法

13DD23Dd13DD19DD19DD,19Dd23Dd19DD,19Dd19DD,29Dd,19dd子二代淘汰隱性個體后基因型為49DD,49Dd子二代顯性個體中,雜合子比例a2=12

解法二:配子法

23D13d23D49DD29Dd13d29Dd19dd子二代淘汰隱性個體后基因型為49DD,49Dd子二代顯性個體中,雜合子比例a2=12

(Ⅱ)解法一:列舉法

(1-an-1)DDan-1Dd(1-an-1)DD(1-an-1)2DD(1-an-1)an-12DD,(1-an-1)an-12Ddan-1Dd(1-an-1)an-12DD,(1-an-1)an-12Dda2n-14DD,a2n-12Dd,a2n-14dd子n代淘汰隱性個體后基因型為a2n-14-an-1+1()DD,an-1-a2n-12()Dd子n代顯性個體中,雜合子比例an=2an-12+an-1

解法二:配子法

2-an-12Dan-12d2-an-12D2-an-12()2DDan-1(2-an-1)4Ddan-12dan-1(2-an-1)4Dda2n-14dd子n代淘汰隱性個體后基因型為2-an-12()2DD,an-1(2-an-1)2Dd子n代顯性個體中,雜合子比例an=2an-12+an-1

解法三:數學歸納法(拓展)

假設當n=k(k∈N*)時,①式成立,

當n=k+1時,

k+1k+2D1k+2dk+1k+2Dk+1k+2()2DDk+1(k+2)2Dd1k+2dk+1(k+2)2Dd1(k+2)2dd子n代淘汰隱性個體后基因型為k+1k+2()2DD,2(k+1)(k+2)2Dd子n代顯性個體中,雜合子比例an=2k+3

則當n=k+1時,①式成立.

(Ⅲ)設事件A1:麥子為第六代顯性個體,事件A2:麥子為第七代顯性個體,事件A3:麥子為第八代顯性個體,事件B:任取一個為雜合子,則

【創新點分析】題干材料設置:題干改變傳統跨學科試題中出現的冗長、生硬、脫離實際、難懂等問題,以經典的孟德爾遺傳理論為背景,將生物學中通過找規律得出的結論進行設問;

設問考查角度:本題問題主要考查學生綜合運用生物知識嚴謹地解決數學問題的能力以及通過生物的已知結論,借助數學歸納法求出通項公式的能力.其次,考查學生將實際生活中生物學與概率學統一運用的能力.

【題型選擇】本題主要考查生物學與數學的綜合運用能力,設定為解答題.

【考查維度】運算能力、數學抽象、邏輯推理、數學建模.

(原創命題人:劉蕓 長沙市雅禮實驗中學)

【試題評語】本題以孟德爾遺傳理論為背景,考查學生閱讀理解與學科交叉運用的能力,主要考查數列的通項公式、數學歸納法、全概率公式和貝葉斯公式,考查數學運算、數學抽象、邏輯推理、數學建模核心素養,難度較大.

(評語教師姓名、單位:魏清泉 青島市教育科學研究院)

【原創2】

又函數f(x)=x+4x在R上單調遞增,且f(1)=5,則d=1,有q=2.

因此,{an}的通項公式為an=1+(n-1)×1=n,{bn}的通項公式為bn=2·2n-1=2n.

【創新點分析】(1)由于給定的已知條件是等差數列與等比數列的項的關系,自然而然地就想到設首項、公差(或公比),利用方程組思想,通過計算求得{an},{bn}的通項公式,但此題第(Ⅰ)問的方程組求解與以往有所不同,最后得到的方程為d+4d=5,只能利用函數的單調性計算求得.

(3)只有熟練掌握放縮的原則,運用合適的方法,才能夠得出正確結論,完成解題目標.因此,我們在數學課堂教學中,大家要學會總結與反思,使自己的思維能夠深化,能夠準確放縮,當放的過大(小)時,能迅速調整放縮不等式,完成解題目標.

(4)放縮要恰當,這不是一天兩天的功夫就能練成的,必須學會觀察、嘗試、反思、積累才能達到熟能生巧的目的,所以不等式的放縮要注意“度”,并不是要把每一項都放縮,要具體情況具體分析,有的是全部放縮,有的第一項不放縮,有的前兩項不放縮,所以反復嘗試、比較進行調整.

【評分標準】第(Ⅰ)問6分,計算出d=1和q=2各得2分,寫出數列的通項公式得2分;第(Ⅱ)問6分,能放縮得3分,后面的計算求和得3分.

【方法技巧】

1.數列不等式的證明是高考數學中的重點和難點,在高考中屢見不鮮,同時也給考生帶來了不小的麻煩.在數列不等式證明題中,放縮法是典型的處理方法之一.由于放縮法的靈活多變性和技巧性,多數學生在遇到這類問題時手足無措,少數同學能動筆,解題效率比較低.實踐表明,“放大一點過大,縮小一點嫌小”,可見,在數列不等式證明中對放縮法“度”的把握至關重要.本題依據對數列不等式左右兩邊結構和實際數據的分析,破解放縮法在數列不等式證明題中對“度”的控制,使大家真正體會放縮法也是“有法可依”的,揭開其神秘面紗.

2.證明不等式時,有時根據需要把需證明的不等式的值適當放大或縮小,使其化繁為簡,化難為易,達到證明的目的,這種方法稱為放縮法.

3.放縮的常見技巧:

4.放縮法在數列不等式證明中主要有兩種技巧.技巧一:先求和再放縮;技巧二:先放縮(等差數列、等比數列、差比數列、裂項相消數列)再求和.

【方法示范】

方法一:先求和再放縮使用情景數列通項化簡變形后求和比較方便(可以是等差數列求和、等比數列求和、錯位相減、分組求和、倒序相加、裂項相消求和等)解題步驟先對通項進行化簡變形,再對數列求和,再對最后的和式進行放縮,完成解題目標

(原創命題人:歐陽才學 長沙市雅禮實驗中學)

【試題評語】這是一道數列題,主要考查了邏輯推理能力.第(Ⅰ)問較為常規,考查了數列通項公式的求解;第(Ⅱ)問考查了利用“放縮”證明數列不等式,思維含量較高.

【編者按】本專欄試題由教研團隊基于多年教學經驗和高考研究成果命制而成.所選試題緊密結合《中國高考評價體系》的“一核、四層、四翼”,契合高考改革動態,導向明確.試題的全能解析一方面剖析解題思路,使學生步步深入理解試題的內涵,知其然且知其所以然,系統掌握學科知識,鍛煉靈活開放的辯證思維;另一方面深入細致地分析考查重點、點明試題亮點、闡釋解題要點,引導廣大師生理解和把握試題命題的依據和標準,準確識變、科學應變、主動求變,不斷夯實學科關鍵能力、提升學科核心素養.