深入分析三次函數,多維思考巧解題

龍 宇 錢耀周

(1.廣東省佛山市羅定邦中學;2.廣東省佛山市教育局教研室)

筆者在教學的過程中發現,學生對于二次函數的圖象及性質非常的熟悉,但是對于三次函數卻較為陌生.其常見的處理策略是對函數進行求導,利用導函數為二次函數的相關性質來逆推三次函數的相關性質.但這樣的推導過程都較為“冗長”,不便于小題的求解.筆者認為,有必要向學生介紹三次函數的性質,讓學生直接利用性質求解.筆者梳理了三次函數的相關性質,并通過下文中的相關例題進行展示.

一、三次函數的圖象及相關性質

設函數f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),其圖象特征如下表所示,類似于“對勾函數”,筆者將三次函數簡稱為“閃電函數”.對于“閃電函數”最基礎的考查即是研究其單調性、極值等相關性質.

有極值無極值a>0a<0

【例題1】(2023·湖北十一校一聯·11節選)已知f(x)=x3+bx2+x+d,b,d∈R,下列說法正確的是

( )

【答案】D

【評注】選項C,D是對三次函數的單調性與極值點的相關判斷,體現了對導數的應用.

【例題2】若函數f(x)=x3+ax2+bx+c有極值點x1,x2,且f(x1)=x1,則關于x的方程3[f(x)]2+2af(x)+b=0的不同實根個數是________.

【答案】3

【解析】對函數f(x)求導可得f′(x)=3x2+2ax+b,由題意知x1,x2是方程3x2+2ax+b=0的兩根.由3[f(x)]2+2af(x)+b=0,得f(x)=x1或f(x)=x2,即3[f(x)]2+2af(x)+b=0的根為f(x)=x1或f(x)=x2的解.如圖1,2所示,由圖象可知f(x)=x1有2個解,f(x)=x2有1個解,因此3[f(x)]2+2af(x)+b=0的不同實根個數為3.

圖1

圖2

( )

【答案】B

令h(x)=ax3-x2+4a,若a=0,則h(x)=-x2≤0,此時,函數f(x)的圖象只經過兩個象限.

若a<0,當x>0時,h(x)<0,由g(x)>0,可得f(x)<0,即當x>0時,f(x)的圖象只經過第四象限,不符合題意,

所以a>0,由h(x)=ax3-x2+4a的導函數為h′(x)=3ax2-2x,

二、三次方程的韋達定理

【例題4】已知函數f(x)=x3-3x2+2x,設f(x)=t(t>0)的三個根分別為x1,x2,x3(x1

【答案】3

【解析】根據三次方程的韋達定理可得x1+x2+x3=3.

【例題5】設直線y=t與曲線C:y=x(x-3)2的三個交點分別為A(a,t),B(b,t),C(c,t),且a

( )

A.0 B.1 C.2 D.3

【答案】C

三、三次函數圖象的對稱性

【例題6】設函數f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)滿足f(1)+f(3)=2f(2),現給出如下結論:

①若f(x)是(0,1)上的增函數,則f(x)是(3,4)上的增函數;

②若a·f(1)≥a·f(3),則f(x)有極值;

③對任意實數x0,直線y=(c-12a)(x-x0)+f(x0)與曲線y=f(x)有唯一公共點.

其中正確的結論是________.

【答案】①②③

對于②,假設f(x)無極值,當a>0時,函數f(x)單調遞增,則有a·f(1)

對于③,對函數f(x)求導可得f′(x)=3ax2-12ax+c,則f′(2)=c-12a.當x0=2時,直線l2:y=(c-12a)(x-2)+f(2)為該點處的切線,點(2,f(2))是原三次函數的“拐點”,結合函數f(x)的“凹凸性”即可知該直線與原函數僅有一個交點.當x0≠2時,直線lx0:y=(c-12a)(x-x0)+f(x0)與直線l2平行.結合函數f(x)的“凹凸性”即可知直線lx0與函數f(x)有唯一的交點(x0,f(x0)),由此可知③成立.綜上,正確的結論是①②③.

【例題7】設函數f(x)=x3-3ax2+2a2x(a≠0),若x1,x2(x1

①若λ∈(-1,0),則f(x1)

②若λ∈(0,2),則f(x1)

③若λ∈(2,+∞),則f(x1)

其中正確的結論是________.

【答案】③

四、三次函數的“凹凸性”

【例題10】已知函數f(x)=x3-x+1,過點A(0,1)作函數y=f(x)的切線,可作________條.

【答案】1

【解析】函數f(x)的對稱中心恰好為A(0,1),根據其在兩側的“凹凸性”可知,過點A(0,1)作函數y=f(x)的切線有且僅有1條.

五、三次函數與三倍角公式

三倍角公式有正弦與余弦兩種形態,其余弦形態如下:cos3θ=4cos3θ-3cosθ,注意到該公式兩邊的次數,分別是1次與3次.受此啟發,當面對三次函數時,我們可以考慮利用三倍角公式進行化簡.

【例題11】設函數f(x)=ax3-3x+1對于任意x∈[-1,1],都有f(x)≥0,則實數a=________.

【答案】4

仔細觀察可知,題干涉及的變量x的取值范圍是[-1,1],所以可以借助三角換元進行研究.現結合三倍角公式驗證其充分性.令x=cosθ,則f(x)=acos3θ-3cosθ+1.

當a=4時,f(x)=4cos3θ-3cosθ+1=cos3θ+1.根據cos3θ∈[-1,1],可得f(x)≥0.