數學直觀和數學思維在解題中的應用

孔令磊

(湖北省武漢市華中科技大學同濟醫學院附屬中學)

數學解題中,數學直觀是基于數感、量感、符號意識、結構意識、幾何直觀等建立起來的一種數學抽象能力,它影響著解題方案的擬定,是解題的核心.數學思維是基于運算能力、推理意識而建立起來的邏輯推理能力,它影響著解題目標的達成,是解題的基礎.發展數學直觀、鍛煉數學思維是復習備考中培養綜合應用能力,提升素養水平的集中體現.筆者以一道聯考試題的解法探究為例,剖析數學直觀和數學思維在數學解題中的應用.

一、試題調研

【例題】若x,y∈R,4x2+y2+xy=1,則當x=________時,x+y取得最大值,該最大值為________.

從高三學生質量分析數據看,有42%的學生能夠做對.筆者對回答正確的學生調研,發現主要涉及五種解題視角,根據使用的方法進行統計,結果如表所示:

數學直觀配湊視角函數視角代換視角配方視角幾何視角數學思維基本不等式構造齊次式消元法判別式柯西不等式三角換元構造向量數形結合解三角形作輔助線比例35%29%16%14%6%

二、解法剖析

1.配湊視角

適當地進行配湊,運用基本不等式解題,是學生運用最多的方法.這既符合教師對新教材中基本不等式內容的把握,也體現出學生對此類問題的第一感,但配湊出有效的結構是解題的難點.

2.函數視角

建立函數是解決最值問題常用的方法,在二次型條件下常見的策略有:構造齊次式,通過換元得到一元函數;引入極坐標,得到關于θ的函數;消元處理,得到關于一個變量x的函數.目標函數的建立及其最值的求解,往往有比較大的計算量,需要學生有一定的計算能力.

3.代換視角

問題轉化是解題的關鍵,有效地轉化可以把較難解決的問題化為較易解決的問題.題設中有二次型條件,可以整體代換后構造二次方程,通過方程有解條件(即利用一元二次方程根的判別式)轉化問題,建立不等式.從調研數據看,由代換視角入手解答正確的同學并不是很多.在教學的過程中,教師需要把問題轉化的思維過程暴露出來,引發學生要多思考:如何轉化?為什么可以這樣轉化?

4.配方視角

5.幾何視角

由二次型結構的特征聯想到余弦定理,構造三角形,給題設條件和求解目標賦予幾何意義,則問題變為定邊對定角下三角形相關的最值問題.

三、教學啟示