從中心極限定理理解二項分布與超幾何分布的極大似然估計

范玫瑰 汪本旺

(浙江省安吉縣孝豐高級中學)

本文以2023年教育部四省聯考概率統計試題為背景,追本溯源到人教2019版選擇性必修第三冊第81頁探究與發現中有關二項式概率函數的最大值問題,以此為啟發逐步去探究二項分布和超幾何分布的概率函數和似然函數的最大值問題,最后從中心極限理論去理解二項分布與超幾何分布的極大似然估計.

一、問題背景

【例題】(2023·四省聯考)設一個池塘里魚的數目為N,從池塘里撈出200尾魚,并給魚作上標識,然后把魚放回池塘里,過一段時間后再從池塘里撈出500尾魚,X表示撈出的500尾魚中有標識的魚的數目.

(Ⅰ)若N=5 000,求X的數學期望;

(Ⅱ)已知撈出的500尾魚中15尾有標識,試給出N的估計值(以使得P(X=15)最大N的值作為N的估計值).

【分析】本題已知樣本是X=15,N為變量,求出現這個樣本量的概率最大的N的值,在統計學中稱為極大似然估計.

已知p(x,θ)為x,θ的二元函數,其中x表示樣本的值,θ為概率模型參數,若θ是確定的,x為變量,稱p(x,θ)為概率函數,它描述對于不同的樣本點x,其出現概率是多少.若x是確定的,θ為變量,稱p(x,θ)為似然函數,它描述對于不同模型參數,出現x這個樣本點的概率是多少.而極大似然估計,就是利用已知結果信息,去推導出最大概率導致這些結果出現的模型參考值.

二、追本溯源

人教2019版選擇性必修第三冊第81頁探究與發現素材中指出:

當k<(n+1)p時,pk>pk-1,pk隨k值的增加而增加;當k>(n+1)p時,pk

三、思維萌芽

教材已解決概率函數的最值問題,即樣本量x取何值時,概率最值問題,而對于似然函數,它的概率最大值又如何呢?

(1)當k=0時,f′(p)<0恒成立,f(p)在(0,1)單調遞減,f(p)無最值.

(2)當k=n時,f′(p)>0恒成立,f(p)在(0,1)單調遞增,f(p)無最值.

對于二項分布,分別采用作高法和導數法,很容易解決概率函數和似然函數的最大值問題,并且發現概率函數最大值點唯一或有兩個,似然函數最大值點只有一個.超幾何分布與二項分布密不可分,那么對于超幾何分布,它的概率函數和似然函數的最大值又如何,是否有類似結論?

四、學以致用

【例題1】(2022·張家界3月模擬·節選)2022年底,新冠病毒肆虐全國,某校期末考試時采用了線上考試和線下考試兩種形式,現隨機抽取200名同學的數學成績做分析,其中線上人數占40%,線下占60%,通過分別統計他們的數學成績得到了如下兩個頻率分布直方圖:

線上考試

線下考試

其中(50,70]稱為合格,(70,90]稱為中等,(90,110]稱為良好,(110,130]稱為優秀,(130,150]為優異.現從線下考試的學生中隨機抽取10名同學,且抽到k個學生的數學成績為中等的可能性最大,試求k的值.

∴當k=10時,概率最大,即小A贏得10局的比賽概率最大.

【例題3】(回歸問題背景)

(Ⅰ)略.

【例題4】某工廠的某種產品成箱包裝,每箱200件,每一箱產品在交付用戶之前要對產品檢驗,如檢驗出不合格品,則更換為合格品.檢驗時,先從這箱產品中任取20件作檢驗,再根據檢驗結果決定是否對余下的所有產品作檢驗,設每件產品不合格品的概率都為p(0

五、知識升華

首先,我們來研究超幾何分布與二項分布關系,不妨假設X～H(N,n,M),

即當N足夠大時,超幾何分布逼近二項分布.

接下來,我們只需研究二項分布,從上述研究我們不難發現二項分布概率函數和似然函數圖象都具有中間大,兩邊小的特征,而此特征恰好與正態分布密度曲線形狀非常接近,那么二者之間是否存在某種關聯呢?

De·Moivre和Laplace提出中心極限定理:設在獨立實驗序列中,事件A在各項試驗中發生的概率為p(0

中心極限定理說明:當n充分大時,正態分布可以認為是二項分布的極限分布,當n不是很大時,二項分布可以近似看成正態分布,圖象滿足中間大,兩邊小的規律.

對于概率函數,從中心極限定理去理解,p(x,θ)的圖象呈中間大,兩邊小的規律,特別地,當數學期望取值介于1與n之間時,圖象呈先增后減趨勢,類似于二次函數,當np為整數時,最大值即為期望,當np不為整數時,概率函數圖象不一定關于直線k=np對稱,仍需比較與它相鄰兩個隨機變量的概率,大的就是最大值點.