函數(shù)性質(zhì)問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化突破口

史記祥 余繼光

(1.江蘇省姜堰第二中學(xué);2.浙江省柯橋中學(xué))

從“函數(shù)綜合性質(zhì)研究關(guān)鍵能力是什么”開(kāi)始,通過(guò)具體微觀案例分析,指明轉(zhuǎn)化點(diǎn)與類型,進(jìn)行痛點(diǎn)分析,微觀研究最貼近學(xué)生的數(shù)學(xué)思維認(rèn)知發(fā)展區(qū),不僅告訴學(xué)生函數(shù)綜合性質(zhì)研究的思維過(guò)程“是什么”,而且告訴他們“為什么”這樣思考,給學(xué)生函數(shù)學(xué)習(xí)送去思維干貨,提升學(xué)生破解函數(shù)綜合性質(zhì)研究的能力.

在研究超越函數(shù)所具有的性質(zhì)時(shí),除了數(shù)形結(jié)合分析討論外,一般離不開(kāi)導(dǎo)數(shù)工具,即利用導(dǎo)數(shù)工具研究函數(shù)性質(zhì).對(duì)于函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合題,有人把此類問(wèn)題的難點(diǎn)歸結(jié)為導(dǎo)數(shù)難,實(shí)際上是函數(shù)性質(zhì)綜合性強(qiáng)、結(jié)構(gòu)復(fù)雜而導(dǎo)致突破難,其中難點(diǎn)(痛點(diǎn))就是函數(shù)性質(zhì)的邏輯轉(zhuǎn)化,導(dǎo)數(shù)是助力函數(shù)研究的運(yùn)算工具,通過(guò)微觀研究積累經(jīng)驗(yàn)是一條智慧之路.

1.函數(shù)性質(zhì)問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化關(guān)鍵能力

等價(jià)轉(zhuǎn)化涉及到對(duì)給定函數(shù)信息的識(shí)別,需要準(zhǔn)確采集到重要的關(guān)鍵點(diǎn),最關(guān)鍵的是對(duì)給定的信息進(jìn)行結(jié)構(gòu)判斷,以及對(duì)問(wèn)題的綜合狀態(tài)進(jìn)行分解轉(zhuǎn)化,一旦在信息識(shí)別環(huán)節(jié)、結(jié)構(gòu)判斷環(huán)節(jié)和分解轉(zhuǎn)化環(huán)節(jié)出現(xiàn)數(shù)學(xué)思維故障,求解就可能中止并且產(chǎn)生數(shù)學(xué)思維痛點(diǎn).

1.1 信息采集

信息識(shí)別意識(shí)與采集能力要求學(xué)生會(huì)根據(jù)問(wèn)題給定的情境,合理地組織、調(diào)動(dòng)各種相關(guān)知識(shí)與能力,完成關(guān)鍵信息獲取活動(dòng),系統(tǒng)化、多層面、多角度地對(duì)新信息的進(jìn)行加工處理,準(zhǔn)確把握新信息的實(shí)質(zhì),把握新舊信息的聯(lián)系,形成對(duì)新信息的準(zhǔn)確判斷、分析與評(píng)價(jià).

1.2 結(jié)構(gòu)判斷

任何數(shù)學(xué)問(wèn)題都有結(jié)構(gòu),如代數(shù)結(jié)構(gòu)、圖形結(jié)構(gòu)、三角結(jié)構(gòu)等.結(jié)構(gòu)判斷能力要求學(xué)生對(duì)問(wèn)題情境中的關(guān)鍵信息的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)進(jìn)行仔細(xì)分析,抓住信息結(jié)構(gòu)的關(guān)聯(lián)性,把握信息結(jié)構(gòu)的特點(diǎn),進(jìn)行有序的邏輯推理,從結(jié)構(gòu)上判斷函數(shù)綜合問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型或類型.

1.3 轉(zhuǎn)化分解

函數(shù)綜合問(wèn)題內(nèi)在一定存在邏輯,根據(jù)結(jié)構(gòu)判斷結(jié)果進(jìn)行分解轉(zhuǎn)化,將知識(shí)與知識(shí)之間的關(guān)系理解透徹,常規(guī)的分解轉(zhuǎn)化要熟練,創(chuàng)新的分解轉(zhuǎn)化要積累經(jīng)驗(yàn).

對(duì)于函數(shù)綜合問(wèn)題,以上三點(diǎn)相互關(guān)聯(lián),缺一不可,要通過(guò)積累與訓(xùn)練加以掌握.

2.例談函數(shù)性質(zhì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化關(guān)鍵能力之策

微觀研究函數(shù)綜合問(wèn)題,必須通過(guò)實(shí)例剖析來(lái)豐富關(guān)鍵能力的積累,問(wèn)題求解產(chǎn)生痛點(diǎn)的根本原因在于沒(méi)有掌握函數(shù)綜合問(wèn)題信息采集、結(jié)構(gòu)判斷、分解轉(zhuǎn)化能力,通過(guò)數(shù)學(xué)輔導(dǎo)發(fā)現(xiàn)學(xué)生思維痛點(diǎn),以學(xué)生思維痛點(diǎn)為案例分析把握各轉(zhuǎn)化點(diǎn)的內(nèi)在聯(lián)系,豐富學(xué)生的函數(shù)性質(zhì)研究的思維鏈接.

2.1 函數(shù)單調(diào)性、極值與導(dǎo)數(shù)(方程)轉(zhuǎn)化

【例題1】已知函數(shù)f(x)=-x2+ax-ln(x+1).

(Ⅱ)已知函數(shù)f(x)既存在極大值又存在極小值,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

(第一個(gè)轉(zhuǎn)化點(diǎn):單調(diào)遞減轉(zhuǎn)化為一階導(dǎo)數(shù)小于或等于0恒成立)

(第二個(gè)轉(zhuǎn)化點(diǎn):恒成立轉(zhuǎn)化為變參分離后,求函數(shù)的最值)

故a+2≤3,a≤1.

(第三個(gè)轉(zhuǎn)化點(diǎn):函數(shù)存在極大值與極小值轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根)

函數(shù)f(x)既存在極大值又存在極小值,故f′(x)=0在(-1,+∞)上有兩個(gè)不相等的實(shí)根,

即-2x2+(a-2)x+a-1=0在(-1,+∞)上有兩個(gè)不相等的實(shí)根.

(第四個(gè)轉(zhuǎn)化點(diǎn):二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根轉(zhuǎn)化為二次方程根的分布充要條件)

由二次方程根的分布的充要條件,

【痛點(diǎn)剖析】(1)通過(guò)課堂學(xué)習(xí),第一個(gè)轉(zhuǎn)化點(diǎn)一般都能通過(guò);第二個(gè)轉(zhuǎn)化點(diǎn)有些技術(shù)與技巧,許多學(xué)生知道變參分離,但不會(huì)在結(jié)構(gòu)上去分析,尋找變參分離的最優(yōu)化;

(2)第三個(gè)轉(zhuǎn)化點(diǎn)是對(duì)導(dǎo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的方程的轉(zhuǎn)化,抬高了一個(gè)層次,有些學(xué)生可能想不到;

(3)第四個(gè)轉(zhuǎn)化點(diǎn)對(duì)二次方程根的分布類型掌握不全或缺少完整性,導(dǎo)致列充要條件時(shí),缺少某一個(gè)而失誤,這是一個(gè)看似簡(jiǎn)單但錯(cuò)誤率比較高的轉(zhuǎn)化點(diǎn).

2.2 函數(shù)不等式、存在性與導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化

【例題2】已知函數(shù)f(x)=x+sinx,若存在x∈[0,π],使不等式f(xsinx)≤f(m-cosx)成立,則實(shí)數(shù)m的最小值為

( )

A.-1 B.0 C.1 D.2

【答案】A

【解析】存在x∈[0,π],使不等式f(xsinx)≤f(m-cosx)成立,

(第一個(gè)轉(zhuǎn)化點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性,即去掉抽象函數(shù)f的“外衣”)

f(x)=x+sinx,f′(x)=1+cosx≥0,f(x)在R上為增函數(shù),

所以存在x∈[0,π],使不等式xsinx≤m-cosx成立,

即存在x∈[0,π],使不等式xsinx-m+cosx≤0成立,

(第二個(gè)轉(zhuǎn)化點(diǎn):函數(shù)存在性轉(zhuǎn)化為值域,這是關(guān)鍵的一個(gè)等價(jià)轉(zhuǎn)化)

即(xsinx+cosx-m)min≤0,

令g(x)=xsinx+cosx-m,即求g(x)的最小值.

(第三個(gè)轉(zhuǎn)化點(diǎn):函數(shù)最值轉(zhuǎn)化利用導(dǎo)數(shù)工具分析函數(shù)單調(diào)性)

(第四個(gè)轉(zhuǎn)化點(diǎn):函數(shù)最小值轉(zhuǎn)化判斷區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值大小)

g(x)min=min{g(0),g(π)}=min{1-m,-1-m}=-1-m≤0,

m≥-1,故選A.

【痛點(diǎn)剖析】(1)第一個(gè)轉(zhuǎn)化點(diǎn)就有許多學(xué)生過(guò)不了關(guān),剝?nèi)?fù)合函數(shù)最外層,要通過(guò)外層函數(shù)單調(diào)性來(lái)實(shí)施,這是對(duì)單調(diào)性定義的三種形式的理解,許多學(xué)生只會(huì)背單調(diào)性定義的基本形式,另兩種表現(xiàn)形式想不到或不會(huì)用;

(2)第二個(gè)轉(zhuǎn)化點(diǎn)也有少數(shù)學(xué)生不知,對(duì)于“恒成立問(wèn)題” “存在性問(wèn)題”的區(qū)別不知道;

(3)第三個(gè)轉(zhuǎn)化點(diǎn)是函數(shù)最值的基本思路;

(4)第四個(gè)轉(zhuǎn)化點(diǎn)是對(duì)函數(shù)整體的把握,最小值點(diǎn)發(fā)生在區(qū)間端點(diǎn)處,許多學(xué)生在這幾個(gè)轉(zhuǎn)化點(diǎn)鏈接處思維受阻.

2.3 函數(shù)與方程性質(zhì)利用數(shù)與形轉(zhuǎn)化

(Ⅰ)若b=1,且f(x)是減函數(shù),求a的取值范圍;

圖1

(第三個(gè)轉(zhuǎn)化點(diǎn):二次方程有兩解轉(zhuǎn)化為二次方程根的分布的充要條件)

(第五個(gè)轉(zhuǎn)化點(diǎn):如圖2,兩個(gè)不同交點(diǎn)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)值的大小關(guān)系)

圖2

【痛點(diǎn)剖析】(1)此問(wèn)題沒(méi)有用到導(dǎo)數(shù),但是一道函數(shù)綜合問(wèn)題的難題,難在分段函數(shù)、絕對(duì)值函數(shù)與雙參形式上.第一個(gè)轉(zhuǎn)化點(diǎn)非常重要,對(duì)于一個(gè)分段函數(shù)的單調(diào)性,其充要條件要滿足子區(qū)間上函數(shù)的單調(diào)性與分段點(diǎn)處函數(shù)值的大小關(guān)系;

(2)第二個(gè)轉(zhuǎn)化點(diǎn)是復(fù)雜方程三個(gè)解的綜合分解,許多學(xué)生過(guò)不了這一關(guān);

(3)對(duì)于參數(shù)范圍的分類討論也是一個(gè)痛點(diǎn),第三個(gè)和第四個(gè)轉(zhuǎn)化點(diǎn)是二次方程根的分布,第五個(gè)轉(zhuǎn)化點(diǎn)從形上尋找充要條件更是學(xué)生的思維痛點(diǎn).

2.4 函數(shù)性質(zhì)利用補(bǔ)集思想轉(zhuǎn)化

(Ⅰ)若f(x)在(1,+∞)上不單調(diào),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

【解析】(Ⅰ)(第一個(gè)轉(zhuǎn)化點(diǎn):f(x)在(1,+∞)上不單調(diào)轉(zhuǎn)化為函數(shù)單調(diào)思考,然后求參數(shù)補(bǔ)集)

所以f(x)在(1,+∞)上單調(diào)時(shí),實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-∞,0]∪[1,+∞),

因此f(x)在(1,+∞)上不單調(diào),實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0,1).

(Ⅱ)(第二個(gè)轉(zhuǎn)化點(diǎn):證明函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)單調(diào)性)

因?yàn)閤>1,所以F′(x)<0,即F(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減,

(第三個(gè)轉(zhuǎn)化點(diǎn):由函數(shù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化為函數(shù)值的大小關(guān)系)

【痛點(diǎn)剖析】(1)“不單調(diào)”信息提示,第一個(gè)轉(zhuǎn)化點(diǎn)就非常重要,補(bǔ)集思想的運(yùn)用,許多學(xué)生想不到;

(2)第二個(gè)轉(zhuǎn)化點(diǎn)是常規(guī),證明函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)單調(diào)性的研究;

(3)第三個(gè)轉(zhuǎn)化點(diǎn)與函數(shù)單調(diào)性相匹配.

2.5 恒成立轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)最值

【例題5】已知f(x)=x2-4x+alnx.

(Ⅰ)a=-1,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(Ⅱ)已知函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2(x10恒成立,試求m的取值范圍.

【解析】(Ⅰ)a=-1,f(x)=x2-4x-lnx,x>0.

(第一個(gè)轉(zhuǎn)化點(diǎn):求函數(shù)f(x)單調(diào)區(qū)間轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù))

(第二個(gè)轉(zhuǎn)化點(diǎn):函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2(x1

所以g(x)單調(diào)遞減,g(x)>g(1)=-3,

【痛點(diǎn)剖析】(1)第一個(gè)轉(zhuǎn)化點(diǎn)是常規(guī)的,起點(diǎn)比較低,大多數(shù)學(xué)生都能通過(guò);

(2)第二個(gè)轉(zhuǎn)化點(diǎn)也是常規(guī)的,函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)到二次方程有兩解,導(dǎo)數(shù)只是一個(gè)工具;

(3)第三個(gè)轉(zhuǎn)化點(diǎn)雖是常規(guī),但有數(shù)據(jù)處理技巧,為后續(xù)運(yùn)算簡(jiǎn)化打下基礎(chǔ).

2.6 函數(shù)結(jié)構(gòu)變形求最值

(第一個(gè)轉(zhuǎn)化點(diǎn):求函數(shù)f(x)單調(diào)區(qū)間轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù))

(Ⅱ)(第二個(gè)轉(zhuǎn)化點(diǎn):x1,x2(x2

(第三個(gè)轉(zhuǎn)化點(diǎn):兩元函數(shù)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù))

(第四個(gè)轉(zhuǎn)化點(diǎn):函數(shù)最值轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)性質(zhì)分析)

【痛點(diǎn)剖析】(1)第一個(gè)轉(zhuǎn)化點(diǎn)已經(jīng)是學(xué)生比較熟練的,可以通過(guò)了,如果再錯(cuò),就是基礎(chǔ)太弱了;

(2)第二個(gè)轉(zhuǎn)化點(diǎn)是近期考試熱點(diǎn)類型,上面有幾題也類似;

(3)第三個(gè)轉(zhuǎn)化點(diǎn)是關(guān)鍵,具有兩元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的意識(shí)與能力是非常重要的.

3.突破“等價(jià)轉(zhuǎn)化”關(guān)鍵能力的思維鏈

總體上,學(xué)生經(jīng)過(guò)教師的指導(dǎo)已經(jīng)知道許多等價(jià)轉(zhuǎn)化的方向,但是在問(wèn)題求解中還是處處思維受阻,其根本原因在于缺少數(shù)學(xué)思維鏈接,從信息A到信息B的刺激力不夠.

函數(shù)性質(zhì)學(xué)習(xí)要從獨(dú)立的知識(shí)點(diǎn)轉(zhuǎn)向思維鏈接點(diǎn),訓(xùn)練自己的發(fā)散性思維能力.