基于因式分解的壓軸題最值方法探究

劉昌領(lǐng)

(湖北省通山縣第一中學(xué))

最值問題是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一,也是高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)內(nèi)容之一.題目綜合性較強(qiáng),涉及到高中數(shù)學(xué)的諸多方面,因而方法靈活多變.筆者從一道能因式分解求最值的題目切入,通過多維度多視角分析,得到四種解法.

一、原題呈現(xiàn)

【例題】已知實(shí)數(shù)x,y滿足2x2-xy-3y2=1,則2x2+3y2的最小值為________.

【分析】觀察條件式子可知:左邊是二次式,且能因式分解,要求的式子也是二次式,所以可以考慮:常規(guī)換元、三角換元、極坐標(biāo)換元、利用導(dǎo)數(shù)求最值、或者基本不等式求最值.

二、解法探究

解法一:(因式分解+換元1)

∵2x2-xy-3y2=1,

∴(2x-3y)(x+y)=1.

【評注】觀察等式左邊是二次三項(xiàng)式,巧妙地發(fā)現(xiàn)能進(jìn)行因式分解,通過換元,再借助基本不等式成功地求出最小值.

解法二:(因式分解+換元2)

∵2x2-xy-3y2=1,

∴(2x-3y)(x+y)=1.

令t=2x-3y,

解法三:(因式分解+三角換元)

∵2x2-xy-3y2=1,

∴(2x-3y)(x+y)=1.

【評注】本法在因式分解基礎(chǔ)上,應(yīng)用三角換元,再借助基本不等式求出最小值.

解法四:(三角換元+分離常數(shù)+基本不等式)

∵2x2-xy-3y2=1,

則2r2cos2θ-r2sinθcosθ-3r2sin2θ=1,

∴2-tanθ-3tan2θ>0,

∴(tanθ+1)(3tanθ-2)<0,

∴2x2+3y2=2r2cos2θ+3r2sin2θ

=r2(2cos2θ+3sin2θ)

令u=2x2+3y2,

【評注】本法是先通過觀察出齊次式,再進(jìn)行兩次換元,分離常數(shù),最后利用基本不等式求最值.注意取等條件,即取得等號的s值是否在s的取值范圍內(nèi).

三、變式訓(xùn)練

【變式1】已知實(shí)數(shù)x,y滿足x2+2xy-3y2=1,則x2+y2的最小值為________.

解法一:(因式分解+換元)

∵x2+2xy-3y2=1,

∴(x+3y)(x-y)=1,

解法二:(三角換元+“1”的代換+判別式法)

則r2cos2θ+2r2sinθcosθ-3r2sin2θ=1=sin2θ+cos2θ,

∴(r2-1)cos2θ+2r2sinθcosθ-(3r2+1)sin2θ=0,

等式兩邊同時(shí)除以cos2θ,得

(3r2+1)tan2θ-2r2tanθ-(r2-1)=0,

它是關(guān)于tanθ的一元二次方程,該方程有解,

∴Δ=4r4+4(3r2+1)(r2-1)≥0,

【評注】本法很巧妙,直接三角換元,關(guān)鍵是“1”轉(zhuǎn)化為“sin2θ+cos2θ”,得到齊二次式,合并同類項(xiàng)之后再兩邊同時(shí)除以cos2θ,轉(zhuǎn)化為關(guān)于tanθ的一元二次方程,利用判別式Δ≥0,得到r2的范圍,而x2+y2=r2,即可求出x2+y2的最小值.

本題與例題的不同之處在于:例題計(jì)算的式子2x2+3y2的系數(shù)之比不是1∶1,如果例題也用判別式法,則計(jì)算過程非常煩瑣.

解法三:(三角換元+判別式法)

則r2cos2θ+2r2sinθcosθ-3r2sin2θ=1,

整理,得(3r2+1)tan2θ-2r2tanθ-(r2-1)=0,

下同解法二.

【評注】本法是在例題解法四的基礎(chǔ)上進(jìn)行變形,得到關(guān)于tanθ的一元二次方程,再利用判別式法,與解法二后半部分相同.

【變式2】已知x>1,y>0,且xy-2x-y+1=0,則x2+y2-2y的最小值為________.

【答案】7

【解析】∵xy-2x-y+1=0,

∴(x-1)(y-2)=1,

∵x>1,y>0,

∴m>0,n>0,

∴x2+y2-2y=(m+1)2+(n+2)2-2(n+2)

=m2+n2+2(m+n)+1

=7(當(dāng)且僅當(dāng)m=n=1,即x=2,y=3時(shí),等號成立),

∴x2+y2-2y的最小值為7.

【評注】本題看到已知條件,要能“條件反射”想到因式分解.事實(shí)上,形如“Ax+By+xy+C=0”的式子,總能因式分解成為“(x+B)(y+A)=D”,之后即可進(jìn)行換元:可以常規(guī)換元、三角換元、極坐標(biāo)換元等.

【鞏固練習(xí)】

1.已知x>0,y>0,且xy+2x+4y-41=0,則x+y的最小值為________.

2.已知實(shí)數(shù)x,y滿足5x2-4xy-y2=5,則2x2+y2的最小值為________.

四、感悟

本文選題在基于能因式分解的基礎(chǔ)上,進(jìn)行換元,再結(jié)合基本不等式、判別式法、二次函數(shù)等方法求最值.