圓錐曲線綜合試題的直觀化解題探究
——以2023年“四省聯(lián)考”第21題為例

張蕊娟

(云南省紅河州蒙自市第四中學(xué))

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》中提出六大核心素養(yǎng),其中直觀想象是發(fā)現(xiàn)問題和提出問題、分析問題和解決問題的重要手段,是探索和論證思路、進(jìn)行數(shù)學(xué)推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ).史寧中教授認(rèn)為“很多數(shù)學(xué)問題是看出來,不是做出來的”,可見,借助幾何圖形以及式子的結(jié)構(gòu)特征,把抽象、計(jì)算煩瑣的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)換成直觀問題,達(dá)到縮減解題時間的目的,從而發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng).

一、試題呈現(xiàn)

(Ⅰ)求C的方程;

二、直觀化解題探究

(一)試題第(Ⅰ)問

消b2得32(25-a2)-9a2=a2(25-a2), ①

化簡整理得a4-66a2+800=0, ②

(a2-16)(a2-50)=0,

可得a2=16或a2=50.

又因?yàn)閎2=25-a2>0,所以a2=16,b2=9.

解法2：設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,則F1(-5,0),F2(5,0),

利用定義||AF1|-|AF2||=2a得

所以a2=16,可得b2=c2-a2=9.

(二)試題第(Ⅱ)問

圖1

Δ>0,9m2-16≠0,

直觀猜想1:弦長公式的應(yīng)用

觀察這四個式子,一是有根號,二是有平方,三是有5個變量,在有限時間內(nèi)很難化簡成可以使用韋達(dá)定理的式子,此時我們能想到的就是減少變量,不出現(xiàn)平方,避免根號.自然聯(lián)想到優(yōu)化過的弦長公式.

大部分學(xué)生做到此處會出現(xiàn)“卡殼”,無法進(jìn)行下去.“卡殼”原因一:出現(xiàn)絕對值,破解方式:去絕對值;“卡殼”原因二:出現(xiàn)非對稱韋達(dá),即不是完全韋達(dá)定理的形式,破解方式:統(tǒng)一變量.

去絕對值

圖2

圖3

圖4

統(tǒng)一變量

所以|GD||HE|=|GE||HD|,

直觀猜想2:三角形相似

解法2：如圖5,分別過點(diǎn)G,H作GN⊥AB,HC⊥AB交AB于點(diǎn)N,C,再過點(diǎn)D作DM⊥GN于點(diǎn)M,過點(diǎn)H作HF⊥x軸于點(diǎn)F,則有Rt△GMD∽Rt△GNE∽Rt△DFH∽Rt△HCE,

圖5

直觀猜想3:參數(shù)方程

Δ>0,9cos2α-16sin2α≠0,

由參數(shù)t的幾何意義可知|GD|=|t1|,

則|GD||HE|=|t1(t2-t3)|=t1(t2-t3),

|GE||HD|=|t2(t1-t3)|=-t2(t1-t3),

所以|GD||HE|-|GE||HD|

=t1(t2-t3)+t2(t1-t3)

=0,

則|GD||HE|=|GE||HD|,

直觀猜想4:平面向量

Δ>0,9-16k2≠0,

所以|GD||HE|=|GE||HD|,

三、解題反思

第(Ⅱ)問給出的弦長公式、三角形相似、參數(shù)方程以及平面向量是長期以來積累的解題經(jīng)驗(yàn),也是最直觀的解題思維,不管利用哪一種思路,運(yùn)算過程中都可能遭遇不去絕對值導(dǎo)致的韋達(dá)定理“卡殼”或去絕對值時的煩瑣討論的情況.本文從最直觀的解法1出發(fā),當(dāng)無法把|y1|,|y2|,|y1-n|及|y2-n|去絕對值時,從|GD||HE|與|GE||HD|的對稱性考慮整體去絕對值,也可直接把韋達(dá)定理代入,難點(diǎn)在于判斷整體的正負(fù).如何根據(jù)結(jié)構(gòu)的特征找到破解的方法,可參考解法1.

巧妙地運(yùn)用參數(shù)方程的思想把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)直觀解法,而平面向量不僅能把條件的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系,還避免了去絕對值的煩瑣討論與不去絕對值導(dǎo)致韋達(dá)定理“卡殼”的現(xiàn)象,無疑是此題的好方法,也是官方參考答案的原因所在.