培養創新意識 感悟思維之美
——一道模考題的解法賞析與教學建議

畢玉峰

(山東省臨沂市教育科學研究院)

思維不僅是數學教學的核心,也是數學核心素養培養的落腳點.《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》把數學核心素養定義為“學生應具備的、能夠適應終身發展和社會發展需要的、有數學基本特征的思維品質和關鍵能力”.數學核心素養與數學思維有著密不可分的關系,而培養學生數學思維的有效途徑是解答試題.本文通過賞析一道模考試題的多種解法,既呈現通性通法,也展示巧思妙解,以期對學生解題思維能力的培養與拓展起到幫助作用,并引發對解題教學的一些思考.

一、試題呈現

二、試題簡評

本題為2023年5月臨沂市高考模擬考試第20題,第(Ⅰ)問將向量的數量積與解三角形結合,第(Ⅱ)問給出兩角差的余弦值,求三角形的面積,題目有較大的創新性,對學生而言有一定難度.筆者全程參與了命題、閱卷、統計和分析工作,經統計,全市平均分僅為2.89分,其中有14%的學生得0分,31%的學生得1分,但從全市考生的答卷來看,出現了多種解法,可謂精彩紛呈,遠遠超出了命題人的預想!

三、解法賞析

(Ⅰ)解法1：設BC=a,AC=b,AB=c,則c=4.

∴accosB=-12.

由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=a2+42-2×(-12)=a2+40,

∴b2=b2-7b+16+40,解得b=8,

∴a2=24.

∴AC=8.

解法3：以A為坐標原點,AC所在直線為x軸,建立如圖所示的平面直角坐標系,則A(0,0).

設C(t,0),

解得t=8,

∴C(8,0),

【點評】此解法通過建立平面直角坐標系,將向量用坐標表示,進而將數量積、邊長等坐標化,迅速求得結果,構思之奇妙,過程之簡捷,令人嘆服!

設BC=a,AC=b,AB=c,則c=4,b>4.

又由(Ⅰ)解法1,得a2=b2-7b+16,

即3b2-26b+48=0,

【點評】此解法將兩角和與兩角差的余弦公式展開得到兩角的正弦積,再利用正弦定理將角的正弦關系轉化為邊長的關系,結合余弦定理,解方程求出b,最后套用面積公式求得結果.

設BC=a,AC=b,AB=c.

【點評】此解法將二倍角用兩角和與兩角差表示,利用公式展開,代入數值后求出二倍角的余弦值,再利用二倍角公式得到單角的正弦值,然后套用面積公式求得結果.將2B,2C的余弦值轉化為B+C,B-C的正弦值和余弦值是此解法的關鍵.

解法3：由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA及正弦定理,可得sin2A=sin2B+sin2C-2sinBsinCcosA.

∵sinB>0,sinC>0,

∵AC>AB,∴B>C.

∴sinB>sinC,

設BC=a,AC=b,AB=c.

【點評】此解法由余弦定理得到邊角關系,再由正弦定理得到只關于內角的正弦值的等式,利用整體代換得到內角的正弦值,然后套用面積公式求得結果.利用正弦定理將邊角關系轉化為只含有內角正弦值的等式是此解法的關鍵.

解法4：∵A+B+C=π,

∴B=π-A-C,

∵AC>AB,

∴B>C,

∴0

又cos2C=1-2sin2C=2cos2C-1,

設BC=a,AC=b,AC=c.

【點評】此解法建立了2C與A的關系,利用兩角差的余弦公式求出C的正弦值和余弦值,再用兩角和的正弦公式得到B的正弦值,然后套用面積公式求得結果.

∴B=3C,

∴A=π-4C,

以下同解法4.

【點評】此解法根據三角函數值的大小確定角的范圍,并發現角之間的關系,將A,B用C的倍角表示,求出B的正弦值,進而求得三角形的面積.A,B與C的倍角關系的處理是此解法的關鍵.

解法6：∵AC>AB,∴B>C.

如圖,在AC上取點D,使得∠CBD=C,則∠ABD=∠ABC-C,

∴cos∠ADB=cos∠ABD,

∴在△ABD中,∠ADB=∠ABD,

∴AD=AB=4.

∴BD=2,

∴CD=BD=2,AC=AD+DC=6.

【點評】此解法通過作輔助線,利用等腰三角形找到與已知條件中的B-C相等的角,再利用兩角余弦值相等得到兩角相等,在等腰三角形中利用余弦定理求出邊長,最后套用面積公式求得結果.由余弦值相等得到兩角相等是此解法的關鍵.

解法7：∵AC>AB,

∴∠ABC>∠ACB.

在AC上取點D使∠CBD=∠ACB,則

∠ABD=∠ABC-∠ACB,DB=DC.

等式兩邊平方,化簡整理得

3m2-28m+64=0,

∴AC=AD+DC=6,

四、教學建議

解題教學是高中數學教學的重要組成部分,要求學生認真分析問題、理解問題本質,言簡意賅表達解題過程.通性通法的教學是解題教學的重頭戲,體現了本原的數學思想方法,具有原創性,但只注重通性通法會約束學生的創新思維,從而出現“千生一面”的狀況,扼殺了學生“靈活”的思維,使學生很難感受到數學的思維之美,沒有創新意識.本題(Ⅰ)中的解法1,2都屬于通法,利用定義將向量的數量積轉化為三角形中邊與角的關系,解法3技巧性較強,建立平面直角坐標系,將向量的數量積、邊長等坐標化處理,大大簡化了解答過程.(Ⅱ)中的解法1,2,3,4都屬于通法,利用三角恒等變換、三角形的正弦定理、余弦定理和面積公式來解決,解法5則根據三角函數值的關系得到角的關系,進而求得B的正弦值,解法6,7通過作輔助線找到已知條件中的B-C,利用等腰三角形性質解決問題,特別是解法7利用坐標化的方法解決數量積,充分體現了數形結合思想的應用.