聚焦真實(shí)情境 助推模型建立
——以《鴿巢問(wèn)題》教學(xué)為例

文|徐登池

一、問(wèn)題反思：課堂教學(xué)的全方位審視

“鴿巢問(wèn)題”也叫“狄利克雷原理”或“抽屜原理”，實(shí)際上是一種解決特定的數(shù)學(xué)或生活問(wèn)題的模型，滲透著一種數(shù)學(xué)的思想方法，也體現(xiàn)了一種邏輯推理的能力。這其中的很多相關(guān)概念對(duì)于小學(xué)生而言，理解起來(lái)比較困難。通過(guò)前期對(duì)這類課的案例學(xué)習(xí)、課堂實(shí)踐、課后分析，發(fā)現(xiàn)普遍存在以下一些問(wèn)題，值得我們進(jìn)一步深入探究。

1.教材內(nèi)容有點(diǎn)分散，缺少結(jié)構(gòu)化的設(shè)計(jì)

教材中編排了3 個(gè)例題，分3課時(shí)進(jìn)行教學(xué)。仔細(xì)分析發(fā)現(xiàn)例1和例2 的內(nèi)容其實(shí)是有關(guān)聯(lián)的，例1 屬于最簡(jiǎn)單的情況，例2 是“鴿巢問(wèn)題”的一般形式。分兩課時(shí)教學(xué)，知識(shí)點(diǎn)有點(diǎn)重復(fù)和分散，割裂了知識(shí)之間的聯(lián)系，學(xué)生不能完整地經(jīng)歷建模的過(guò)程，缺少結(jié)構(gòu)化的設(shè)計(jì)。

2.情境創(chuàng)設(shè)不夠聚焦，不能激發(fā)學(xué)生需求

教材中提供的鉛筆放到筆筒、書本放進(jìn)抽屜的情境，對(duì)于小學(xué)生而言不會(huì)產(chǎn)生足夠的學(xué)習(xí)興趣，不能有效地激發(fā)他們的學(xué)習(xí)需求。同時(shí)，“總有……至少……”的句式本身理解起來(lái)就比較抽象，再結(jié)合這樣的情境也不利于學(xué)生更好地理解其本質(zhì)含義。如將4 支鉛筆放到3 個(gè)筆筒里，為什么非要說(shuō)“總有一個(gè)筆筒里至少有2 支鉛筆”，有些學(xué)生總是不太明白，為什么不可以說(shuō)“總有一個(gè)筆筒里至少有1 支鉛筆”？

3.教學(xué)環(huán)節(jié)缺少層次，難以實(shí)現(xiàn)有序推進(jìn)

由于教學(xué)內(nèi)容本身的難度，教學(xué)設(shè)計(jì)不太貼近學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，以及教學(xué)環(huán)節(jié)層次缺少一定的梯度，導(dǎo)致學(xué)生的學(xué)習(xí)處于被動(dòng)，在不斷變換的情境中，只關(guān)注到“至少數(shù)=商+1”這個(gè)結(jié)論的記憶。雖然學(xué)生經(jīng)歷了多次動(dòng)手操作，但是效果不太明顯，尤其是余數(shù)不是1 的情況，為什么還要平均分的理解是一個(gè)難點(diǎn)。

4.學(xué)習(xí)效果相對(duì)單一，不能做到舉一反三

學(xué)生學(xué)習(xí)了鴿巢問(wèn)題，但是在解決其他相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題時(shí)，難以找到生活中的問(wèn)題與鴿巢問(wèn)題之間的聯(lián)系。即便是找到了，也很難理解哪個(gè)是鴿子數(shù)，哪個(gè)是鴿巢數(shù)。

二、重組教材：教學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化設(shè)計(jì)

1. 基于學(xué)情，聚焦真實(shí)性情境，初步感悟模型

教材內(nèi)容是一個(gè)范本，它所提供的例題也只是一個(gè)藍(lán)本。我們不能拘泥于教材，可以跳出教材，尋找生活中與學(xué)生密切相關(guān)的素材作為研究學(xué)材，更有利于學(xué)生對(duì)鴿巢問(wèn)題本質(zhì)的理解。于是，我把教材中的情境“在筆筒里放鉛筆”“在抽屜里放書”的問(wèn)題，統(tǒng)一換成了一個(gè)大情境——車輛過(guò)紅綠燈的問(wèn)題。

片段一：分為三個(gè)層次

第一層次：

想一想：3 輛車停在2 個(gè)車道上，可以怎樣排隊(duì)停車？

寫一寫：用簡(jiǎn)潔的方式記錄你的想法。

說(shuō)一說(shuō)：哪種情況下，3 輛車能最快通過(guò)紅綠燈？同桌交流。

呈現(xiàn)學(xué)生資源：

方法1：用圓圈圖來(lái)表示。

方法2：用數(shù)字來(lái)表示：3，0；2，1。

第二層次：

想一想：如果是4 輛、5 輛車停在2 個(gè)車道上，可以怎樣排隊(duì)停車？

寫一寫：用簡(jiǎn)潔的方式記錄你的想法。

說(shuō)一說(shuō)：哪種情況下，4 輛、5輛車能最快通過(guò)紅綠燈？同桌進(jìn)行交流。

呈現(xiàn)學(xué)生資源：

方法1：畫圓圈圖。

方法2：用數(shù)字表示。

學(xué)生在兩次操作活動(dòng)中，很容易感受到用畫圓圈圖和數(shù)字這樣的列舉法都能簡(jiǎn)潔地表示出結(jié)果，解決了真實(shí)情境中的問(wèn)題。并通過(guò)充分的對(duì)比、交流，初步得出要想車輛能快速通過(guò)紅綠燈，就是要把這些車輛盡可能平均分到每個(gè)車道上。同時(shí)，原教材中的“總有……至少……”中的“總有”學(xué)生理解起來(lái)有困難，我們利用過(guò)紅綠燈的情境，把它巧妙地替換成“最多”，如要想5 輛車最快通過(guò)紅綠燈，車輛最多的車道上至少有3 輛車。這樣的改變，學(xué)生理解起來(lái)更容易，同時(shí)也符合鴿巢問(wèn)題的本質(zhì)。

第三層次：

想一想：如果是15 輛？91 輛？m 輛車呢？

寫一寫：用簡(jiǎn)潔的方式記錄你的想法。

說(shuō)一說(shuō)：哪種情況下，車輛能最快通過(guò)紅綠燈？同桌交流。

呈現(xiàn)學(xué)生資源。

得出：m÷2=商……1，余下來(lái)的一輛任意放到兩個(gè)車道中，車輛最多的車道至少有（商+余數(shù)）輛車。

有了前兩個(gè)操作活動(dòng)的鋪墊，當(dāng)車輛數(shù)越來(lái)越大時(shí)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)不管是用畫圓圈圖，還是寫數(shù)字的方法都比較麻煩，進(jìn)而不斷完善方法，直接列除法來(lái)計(jì)算，即均分法，能簡(jiǎn)潔地表示出結(jié)果。在若干次的枚舉中，學(xué)生最終提煉出用一道式子“m÷2=商……1”來(lái)概括上面的所有情況。在這里重點(diǎn)點(diǎn)撥了此處的“1”是余數(shù)，于是提出了猜想“車輛最多的車道至少有（商+余數(shù)）輛車”。這樣的設(shè)計(jì)，為后面的學(xué)習(xí)埋下伏筆，就是結(jié)論為什么是“至少數(shù)=商+1”，而不是“至少數(shù)=商+余數(shù)”。

2. 緊扣問(wèn)題，設(shè)計(jì)進(jìn)階式任務(wù)，深入理解模型

在第一環(huán)節(jié)中，研究的車道數(shù)是2 個(gè)，余數(shù)只能是1 這一種情況。到了第二環(huán)節(jié)，車道數(shù)變成3 個(gè)，讓學(xué)生自主經(jīng)歷研究過(guò)程，結(jié)合猜想進(jìn)行大量舉例驗(yàn)證，尤其是當(dāng)余數(shù)不是1 時(shí)，學(xué)生容易產(chǎn)生思維定勢(shì)，這也是本節(jié)課的一個(gè)教學(xué)難點(diǎn)。

片段二：

出示問(wèn)題：（ ）輛車停在3個(gè)車道上，要想它們最快通過(guò)紅綠燈，車輛最多的車道上至少有幾輛車？

呈現(xiàn)學(xué)生不同的資源：

①5÷3=1（輛）……2（輛）,2÷2=1（輛），1+1=2（輛）。

②5÷3=1（輛）……2（輛）,1+2=3（輛）。

追問(wèn)：這兩個(gè)例子余數(shù)都是2，但結(jié)果卻不一樣？你同意誰(shuí)的做法？

出示課件模擬停車的過(guò)程，指名學(xué)生在黑板上擺一擺。

學(xué)生有了猜想“至少數(shù)=商+余數(shù)”后，在驗(yàn)證環(huán)節(jié)中，會(huì)自然而然地認(rèn)為結(jié)果就是3 輛。通過(guò)兩種不同方法的對(duì)比，倒逼他們?nèi)ニ伎寄姆N做法是正確的。同時(shí)利用多媒體課件演示，以及學(xué)生親自到黑板上擺一擺，在此過(guò)程中讓他們清楚地看到剩下的2 輛車還要繼續(xù)再次平均分，這樣才能達(dá)到“至少”的要求，如果放到同一個(gè)車道，就不能最快通過(guò)紅綠燈了。這個(gè)教學(xué)難點(diǎn)的突破，緊緊扣住了“如何能最快通過(guò)紅綠燈”這個(gè)問(wèn)題，其實(shí)這也是鴿巢問(wèn)題的本質(zhì)。

3. 整合資源，運(yùn)用結(jié)構(gòu)化設(shè)計(jì)，逐步建立模型

原來(lái)的教材中，筆筒數(shù)和鉛筆數(shù)這兩個(gè)變量都在發(fā)生變化，不利于學(xué)生對(duì)規(guī)律的探究。同時(shí)，為了能讓學(xué)生從整體上對(duì)本節(jié)課知識(shí)形成系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)，把教材中例1 和例2 的內(nèi)容進(jìn)行了重新調(diào)整與整合，整個(gè)核心過(guò)程始終圍繞大情境“車輛過(guò)紅綠燈的問(wèn)題”設(shè)計(jì)了以下三個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)。

第一環(huán)節(jié)：m 輛車停在2 個(gè)車道上，哪種情況下車輛能最快通過(guò)紅綠燈？

第二環(huán)節(jié)：m 輛車停在3 個(gè)車道上，哪種情況下車輛能最快通過(guò)紅綠燈？

第三環(huán)節(jié)：m 輛車停在4、5、6個(gè)……車道上，哪種情況下車輛能最快通過(guò)紅綠燈？

追問(wèn)：像這樣，能說(shuō)得完嗎？能用一道算式把上面的所有情況都表示了嗎？

通過(guò)控制變量、有序研究的方法，讓學(xué)生在自主探究中逐步發(fā)現(xiàn)規(guī)律。第一環(huán)節(jié)是教學(xué)結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生思考、解決怎樣停車能最快通過(guò)紅綠燈，用列舉法和均分法都能找到答案，初步感悟只要看車輛最多的車道上的車盡可能少就可以了。同時(shí)，得到了一個(gè)猜想：要想最快通過(guò)紅綠燈，車輛最多的車道上至少有（商+余數(shù)）輛車。第二環(huán)節(jié)是在第一環(huán)節(jié)的基礎(chǔ)上把車道數(shù)變成3 個(gè)，進(jìn)一步驗(yàn)證是不是還存在這樣的現(xiàn)象。最后，通過(guò)大量的舉例驗(yàn)證，并用一道算式表示出所有情況（至少數(shù)=商+1），感受數(shù)學(xué)語(yǔ)言的簡(jiǎn)潔性。學(xué)生經(jīng)歷了“鴿巢問(wèn)題”模型建構(gòu)的過(guò)程，思維由外向內(nèi)聚焦，由直觀向推理發(fā)展，最終形成“鴿巢問(wèn)題”的數(shù)學(xué)模型。

4. 靈活運(yùn)用，通過(guò)變式性練習(xí)，不斷豐富模型

當(dāng)模型建好后，就要回到日常生活中，通過(guò)快速反應(yīng)，運(yùn)用今天的所學(xué)內(nèi)容，主動(dòng)地去找一找真實(shí)問(wèn)題中誰(shuí)是鴿子，誰(shuí)是鴿巢。

片段三：

說(shuō)一說(shuō)：（ ）是鴿子，（ ）是鴿巢。并解釋下面的說(shuō)法對(duì)嗎？

（1）8 個(gè)人坐3 把椅子，至少有一把椅子上坐了3 人。

（2）10 塊巧克力放入4 個(gè)袋子里，至少有一個(gè)袋子里有2 塊巧克力。

（3）六10 班有46 名同學(xué)，至少有4 個(gè)人是在同一個(gè)月出生的。

通過(guò)這樣的練習(xí)設(shè)計(jì)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固和強(qiáng)化建立的模型，并感受到運(yùn)用這樣的模型來(lái)解釋生活中的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，以及培養(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

在整個(gè)教學(xué)中，真實(shí)的問(wèn)題情境引入和直觀的動(dòng)手操作演示起到了非常重要的作用，是教師“教”和學(xué)生“學(xué)”的好幫手，是可視化呈現(xiàn)“鴿巢問(wèn)題”的思維工具。學(xué)生在活動(dòng)中經(jīng)歷了“觀察猜想→舉例驗(yàn)證→建立模型→豐富模型”的學(xué)習(xí)過(guò)程，把抽象難懂的數(shù)學(xué)知識(shí)變得直觀、形象，讓學(xué)生在愉快的學(xué)習(xí)過(guò)程中享受了成功的喜悅，數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)也在建模中逐步建立起來(lái)。