解密神奇的“縮小空間”
——例談“代言畫”的教學應用與價值

文|陳 昱（特級教師） 王甘雨

【教學困惑】為什么余數是20？

小學數學有一個學習內容是被除數和除數末尾都有0 的除法的簡便算法。其算法依據是商不變規律，學習難點是理解并掌握確定余數的方法，如900÷40，余數為什么是20 而不是2？有不少數學教師在確定余數時自己都有疑惑，筆者常在各種教研群里見到此類問題的熱烈討論；即便教師知道確定余數的方法與原理，在課堂上也難以讓學生理解而真正學懂。

對于這個問題，某配套《教師教學用書》給出如下教學建議：組織學生討論，使之認識到被除數和除數的末尾同時去掉一個“0”后，算式表示90 個十除以4個十，算出的余數表示還剩2 個十，所以余數是20。但是，在實際課堂上，這樣的算理學生不容易明白，反而會陷入誤區：余數2 既然表示2 個十，那商22 也應該是22 個十，因為它們在百位和十位上……

面對如此教學窘境，我們該如何應對？只靠上面的機械說理遠不能為學生解惑，要解決這個問題，還得回歸被除數和除數末尾都有0 的除法的簡便算法的數學本質，輔以具體實例。課堂上筆者試著運用“商不變規律”有效化解難題，還意外激發出學生對這一簡便算法的“情境版演繹”。

【教學突破】基于商不變規律

課堂上學生提出“余數是20，商是220”后，筆者靈機一動立即想到要拿起“商不變規律”這個武器，于是有了如下教學：

師：大家看這個簡便算法，商是220 嗎？

生1：商是220 就不對了，我驗算過了。

生2：可是那個2 明明在十位上啊！

師：我們進行這樣的簡便算法，依據是什么？

生：商不變規律！被除數和除數同時除以10，商不變。

師：是呀！商-不-變呀！

生3：根據商不變規律，這里的商應該還是22 才對（注：聚焦簡便算法前，學生自主計算環節，有出現直接算900 除以40 商22 余20）。

師：與剛才的筆算相比，簡便算法的豎式什么變了，什么沒有變？

生4：在簡便算法的豎式里，被除數和除數都縮小了10 倍，商沒有變。（注：“縮小10 倍”是習慣說法，就是“縮小到原數的”，下同）

生2：我明白了！簡便算法就是一種神奇的算法，在這里，被除數和除數縮小了10 倍，余數也跟著縮小了10 倍，但是商卻保持不變。

師：說得真好！這種算法之所以神奇，是因為它用到了一個重要的規律，那就是？

生：商不變規律！

師：那現在你會將橫式寫完整嗎？動筆寫一寫。

生5：我寫好了，我想提醒大家注意，橫式上的商和豎式的一樣，橫式上的余數跟豎式的不一樣，得添個0。

生6：我有個更好的想法！這個豎式就相當于一個神奇的“縮小空間”！

師：“縮小空間”？聽起來就很神奇！你可以解釋一下嗎？

生6：你們看，這個豎式就是一個“縮小空間”，要進入這個空間，什么都必須縮小10 倍，像被除數、除數和余數都縮小了10 倍；但商除外，因為商有“尚方寶劍”，這個尚方寶劍就是商不變規律。

生7：好想法！我有補充，我們填寫橫式或者寫答語時，就好比跳出了“縮小空間”，這時候那些數字就會恢復“真身”，余數就要還原成縮小前的20，商一直不變。

師：你們的發言太精彩了，多么神奇的“縮小空間”啊！從大家的表情看，我知道你們都深深懂得了其中的道理。我還有另一個版本的解釋：被除數和除數的末尾同時去掉一個“0”后，算式表示90 個十除以4個十，算出的余數表示還剩2 個十，所以余數是20。至于商為什么還是22，在學習商不變規律時大家應該就已經明白，900 里最多有22 個40，90（個十）里最多有22 個4（個十）。

以上教學之所以能突破學生的認知難點，為廣大學生普遍接受，主要是因為回歸了問題的數學本質，緊扣商不變規律來引導學生理解。一方面運用商不變規律化解了被除數和除數末尾都有0 的除法的簡便算法的算理困惑，另一方面也深化了對商不變規律的理解。教學圍繞學生的理解分不同層次推進：學生自由理解——引用商不變規律理解——學生創造性理解——算理性理解，如此這般，由里及外掃除學生的理解障礙，真正做到為理解和掌握而教，數學學習也得以真實地發生。

【應用掌握】充分理解和說明算理

為了加深學生理解，筆者設計了一份課后的“畫計算”作業：畫出400÷70 的簡便算法，將每一步的算理表達清楚。學生的表現可圈可點，充分體現了他們對這一學習難點的深刻領會（如圖1～4）。

圖1

圖2

圖3

圖4

學生對這一內容有了較為深入的認識，當他們在單元測試中遇到相關問題時表現出了非常難得的應用所學知識解決問題的能力。如圖5 所示，這是一道除法算式題，題目要求“用你喜歡的方法計算”，大部分學生像圖中左邊那樣用豎式計算，得到“商26 余12”；少數學生像圖中右邊那樣利用除法的性質簡算，得到“商26 余4”“商26 余2”“商26 余6”幾種結果。于是問題來了：算法不同，這些算法都是有根有據的，商也都一樣，為什么余數不一樣呢？問題出在哪兒？

圖5

經過獨立思考，學生有了自己的想法。生1 最先陳述觀點，還畫出了自己的思考（如圖6），她經過“試驗”和比較，認為“一定是余數搞的鬼”，并發現有余數的除法算式不可以利用除法的性質簡算。

圖6

生2 也有類似的想法（如圖7）：480÷18=26……12 是對的，因為在有余數的除法算式中，除數越大余數就越大（除數越小余數也越小），而簡便算法（指利用除法的性質）把除數變小了，余數也就變小了，所以簡便算法只可以算沒有余數的除法。

圖7

此時，筆者追問：商26 余12 是誰的計算結果？商26 余4 呢？在簡算的過程中發生了什么改變？原來的余數12 是怎樣變成4、2、6 的？請大家想一想，小組內議一議。

全班交流環節，大家得出一致的看法：商26 余12 是480÷18 的結果；商26 余4 是160÷6 的結果，相當于進入縮小空間，把被除數、除數同時縮小3 倍，根據商不變規律，商不變，但余數也縮小了3 倍變成了4，要想寫出480÷18 的結果，需要將余數4 擴大3 倍還原成12 才行；商26 余2 是80÷3 的結果，被除數、除數、余數同時縮小了6 倍；商26 余6 是240÷9 的結果，被除數、除數、余數同時縮小了2 倍……

至此，學生對商不變規律、除法的性質、有余數的除法等知識有了較為深刻且本質的認知，從而體味出數學本身的無窮魅力。

【研究聚焦】“代言畫”的產生背景與教學價值

上例中“畫出400÷70 的簡便算法”其實是“畫計算”中的一種形式，這種形式也叫為豎式代言的“代言畫”。“代言畫”一般基于算式，用精煉的文字輔以箭頭等符號說明計算的算法與算理。除了“代言畫”，“畫計算”的形式主要還有實物畫、幾何圖形畫、點陣畫、模型畫、數式畫等（見表1）。

表1 “畫計算”課程簡表

“畫計算”諸多形式的產生主要基于學生的認知心理特征和具體計算的表征需要。一年級學生偏向于實物畫，并且很快就自發對所畫實物加以簡化和符號化處理，如表2 中實物畫實例就是簡化后的小棒圖，所以只需稍加引導，學生就能掌握最常見、最重要的形式——幾何圖形畫。隨著學生年齡和計算數據的增大，一方面，學生覺得沒有必要繼續畫實物或圖形，于是就產生了直接在算式上畫計算思考過程的數式畫；另一方面，一些較復雜計算如果再用幾何圖形畫就顯得非常繁復（如圖8），由此點陣畫、模型畫、代言畫應運而生。點陣畫、面積模型畫、點線模型畫還帶有較強的“以形助數”“以形象表征抽象”的屬性，其中點線模型畫結構特別精妙，不僅含有點陣畫的意思，而且蘊含著類似于“位值”的“線值”意義；而地錦模型畫、數式畫、代言畫基本已經不具備這種屬性了，其中地錦模型畫像豎式一樣，更多只是計算過程的一種記錄。盡管在以形助數程度方面有差異，但是所有的“畫計算”形式都能夠較清楚地表征和解釋計算思維。

表2 “畫計算”主要形式舉例

圖8

這樣一梳理，不難看出“代言畫”對計算的表征不再依賴直觀圖形，而是付諸圈畫與文字符號，同數式畫一樣是一種“符號畫”。它可以基于算式本身加以說明，具有很強的靈活性和適應性，可以避免像其他主要利用直觀圖形的形式那樣出現繁復、難以表征等現象，且保留了“數學畫”的作品屬性和理解功能，同樣能夠激發學生的創作欲望和學習興趣，亦能夠促進學生的數學理解，從而可以在更大范圍上加以教學應用。

“代言畫”的產生及廣泛的教學應用也凸顯了“數學畫”教學提倡多元表征、不惟畫圖、兼容并包的教學理念與價值追求。“代言人”的角色帶入與學習主人意識給予學生的不僅僅是教學手段與技術層面的革新，也不僅僅是數學學科素養的增進，更涉及對“人”的尊重、對“全人”的培育。