用“套餐式”材料引領數學思考
——《集合（重疊問題）》教學與思考（二）

文|陳佳娣

【教學內容】

人教版三年級上冊第104、105 頁。

【課前思考】

集合思想是數學中最基本的思想之一。本課隸屬“數學廣角”內容，此單元只安排一個例題，借助學生熟悉的素材，介紹如何用韋恩圖表示出參加兩項比賽的人數，同時啟發思考怎樣列式解決問題，滲透集合的有關思想和方法。為引領學生展開有序而完整的數學思考，本課擬圍繞一組“套餐式”的學習材料逐層展開。

【教學過程】

一、創設情境，初步感知

1.呈現問題

師：“游泳”和“擊劍”是我校的特色項目，為此，學校三年級要組建游泳隊和擊劍隊，規定每班可以有5 人參加游泳隊，3 人參加擊劍隊。每個班一共有多少人參加？

生：5+3=8（人）。

師：我們從一年級開始就在做這樣的題目，沒有任何難度。但到底是不是8 人呢？仔細觀察各班名單（見本刊第19 頁），哪個班的人數可以用5+3=8 來表示，哪些班不能？為什么？

2.引入主題

生：我發現只有（1）班可以用5+3=8 來表示。其余三個班有重復，就不能用5+3=8 來做。

師：像這樣把游泳和擊劍這兩種量合并起來，并沒有像我們一年級學得那么簡單。今天這節課，我們重點來研究里邊的學問。

【思考：結合本校實際開展的兩項體育項目來設置驅動問題，拉近了學生與數學學習的距離。“到底是不是8 人呢？”這個反問激發了學生的認知沖突，也為新課的開展做好了鋪墊。】

三（1）班參加游泳、擊劍隊學生名單

二、延續情境，深入研究

1.初步認識“集合圖”

（1）情境感受

師：三（1）班這個算式中的“5”表示什么？

生：參加游泳隊的同學。

師：假如這些同學都在的話，他們可以站在這個呼啦圈里。那“3”呢？

生：參加擊劍隊的同學。

師：這些同學站到哪里呢？

生：另一個呼啦圈。

師：你們的方法真不錯，像這樣用一個呼啦圈表示一種人數，在數學上的應用是非常廣泛的。

（2）引出圖示

師：我們可以把參加比賽的學生名單填到圓圈里。（如下圖）像這樣用一個圓圈表示一個整體的圖形，我們把它叫作“集合”。

【思考：利用“呼啦圈”作道具，引出“集合圈”的概念，讓學生建立直觀的意義理解，提高了課堂效率。】

2.重點研究“集合圖”

（1）過渡引入，引發沖突

師：三（1）班的選手情況了解了，來看看三（2）班的選手情況。老師有個小要求。這個呼啦圈里站參加游泳隊的同學，那個呼啦圈里站參加擊劍隊的同學。請名單上的同學上臺來站一站。（學生活動）遇到了什么問題？

生1：既參加游泳隊又參加擊劍隊的同學怎么站？

生2：用兩個呼啦圈同時套住這位同學就可以了。

師：為什么要把兩個呼啦圈同時套住王可杰？

生：因為他同時屬于兩個呼啦圈。

【思考：通過讓學生上臺站位，引發了“既參加游泳隊又參加擊劍隊的同學怎么站”的認知沖突，喚醒了思維的能動性，讓學生初步感知了“重疊問題”的基本含義。】

（2）嘗試記錄，反饋交流

師：我們怎樣把三（2）班的情況記錄到集合圖里呢？

動畫演示：藍色圈表示游泳的同學，紅色圈表示擊劍的同學。兩個圈向中間慢慢移動，形成重疊部分。

師：這塊重疊的部分表示什么？

生：既參加游泳隊又參加擊劍隊的同學。

師：左邊藍色的月牙形部分表示什么？右邊紅色的月牙形呢？（突出“只”）

【思考：學生通過合作、思考、交流等活動，以形象生動的動畫演示為輔助，親歷了“重疊問題”集合圖的形成過程，并逐漸構建其數學意義。解讀集合圖時，讓學生充分進行語言描述，提升了數學理解的精準性。】

（3）算法探究

①提出問題：一共有多少人參加？能不能根據集合圖列式解決？

②學生嘗試解決問題，并交流分享自己的解題方法。

生1：5+3-1=7（人）。

生2：4+1+2=7（人）。

③引導學生理解各算式的意義。

結合集合圖，指導學生觀察并理解各算式中每個數字表示的意義。尤其是算式5+3-1=7（人）中，弄明白“為什么要減1”。

④教師小結：剛才，我們用兩種不同的思路，得到了相同的結果，大家很能干。

【思考：采用不同的方法解決重疊問題，體現了策略的多元化。通過數形結合，深入理解重疊問題的特征與思路，讓幾何直觀的思想得以凸顯。】

3.拓展思辨“集合圖”

師：三（3）班、三（4）班的情況已經用集合圖表示出來了。結合剛才的名單仔細觀察，哪個圖是三（3）班的？哪個圖是三（4）班的？

（1）三（3）班是重疊集合圖（如上右圖）。將圖示補充完整并列式計算。交流算式各部分的意義。

（2）三（4）班是包含集合圖（如上左圖）。先體會這種情況下集合圖的個性特點，再補充圖示、列式計算、交流意義。

【思考：有了三（1）班、三（2）班相關問題的探究經驗，學生對集合圖各部分的含義有了一定認識。在此基礎上，“套餐式”材料繼續呈現。三（3）班、三（4）班的集合圖直接出示，讓學生根據信息展開選擇、判別及跟進研究，體現了學習方式的豐富性。從中，既鞏固了所學知識，又拓展了學生的認知視野。】

三、梳理交流，深化思考

1.文化滲透

介紹“韋恩圖”相關史料。

2.深入比較

師：觀察黑板上的四個集合圖，有什么聯系和區別？

生：這些集合圖有的是分開的，有的一部分重疊了，有的是包含關系。我發現，重疊的部分越多，總人數就越少。

3.跟進挖掘

師：每個班參加兩個項目的總人數最多可以是多少？最少可以是多少？

【思考：背景史料的介紹能讓學生體會到本課所學內容與數學歷史文化的緊密關聯，進一步激發科學探究的使命感。“最多可以是多少？最少可以是多少”的深層追問，讓前面分散的探究適時“歸并”，讓兩個集合的所有關系形態進行了系統展現，有利于學生集合思想的發展。】

四、對比總結，明確主題

師：這節課，我們一起學習了集合的知識。對于反映“每個班一共有多少人參加”的相關情況，你覺得“集合圖”與“統計表”哪一種更好？

【課后感悟】

1.彰顯材料的結構化

本課設計非常注重學習材料的整合，用游泳和擊劍兩個校本特色項目引入，將本節課的所有知識點整合在同一個素材中，體現了“套餐式”設計理念，增強了學習活動的整體性。圍繞三年級四個班的參賽情況及相關的解決問題活動，完整呈現了兩個集合之間“無重疊”“有重疊”及“包含”這三種不同情況，既生動又深刻。

2.強化問題的層次性

本課通過“兩個項目一共有多少人參加”這個驅動問題展開教學，發現“求總人數問題”與原有經驗產生沖突。又通過“到底是不是8 呢？”展開新授探究，體會“無重疊”和“有重疊”兩種情況下總人數計算策略的區別；最后通過集合圖的選擇，來辨別“部分重疊”和“全部包含”兩種集合關系……可以說，一連串的層次性問題引領著學習線索的有序展陳，也讓數學思考擁有了逐步深入、漸入佳境的美好過程。

3.關注思維的邏輯性

本課中，讓學生依托直觀，理解集合圖的初步含義，并解決簡單的實際問題。而解決每個問題的過程，都是錘煉思維邏輯性的重要契機。以“三（2）班有多少人參加”為例，可以列式為5+3-1=7（人），即“把兩個集合總人數減去重復部分人數”；也可以列式4+1+2=7（人），即“把兩個集合每個區域表示的人數加起來”；還可以有別的方法。像這樣依據算式、結合圖示、展開說理的過程，不僅能澄清“集合”的意義，更能通過語言表達、算理分享及策略評價，發展數學思維的邏輯性。