指數函數與對數函數常見典型考題賞析

■趙 昆 張文偉

指數函數與對數函數是基本的初等函數,指數函數與對數函數是高考的常考點。這部分的主要知識點有:指數、對數的化簡與求值,指數函數與對數函數的圖像與性質的應用,利用指數函數和對數函數解決某些簡單的實際問題,函數的零點問題,函數模型的應用問題等。

題型1:有條件的根式的化簡

有條件根式的化簡問題,是指被開方數或被開方的表達式可以通過配方、拆分等方式進行化簡。有條件根式的化簡經常用到配方法。當根指數為偶數時,利用公式化簡,要考慮被開方數或被開方的表達式的正負。

例1已知,求下列各式的值。

(1)a+a-1。 (2)a2+a-2。

題型2:指數式與對數式的互化

將指數式化為對數式,只需要將冪作為真數,指數當成對數值,底數不變,即可得到對數式;將對數式化為指數式,只需將真數作為冪,對數作為指數,底數不變,即可得到指數式。

例2將下列指數式與對數式互化。

跟蹤訓練2:下列指數式與對數式互化不正確的一組是( )。

A.e0=1與ln1=0

C.log39=2與=3

D.log77=1與71=7

題型3:指數函數的定義域與值域問題

對于y=af(x)這類函數,①定義域是指使f(x)有意義的x取值范圍。②值域應分以下兩步求解:由定義域求出u=f(x)的值域;利用指數函數y=au的單調性或利用圖像求出此函數的值域。對于y=(ax)2+b·ax+c這類函數,①定義域是R。②值域可分以下兩步求解:設t=ax,求出t的范圍;由二次函數y=t2+bt+c,結合配方法求出值域。

例3若函數的值域為[0,+∞),則實數a的取值范圍是____。

解:設g(x)=4x+a·2x+1。若函數的值域為[0,+∞),則等價于[0,+ ∞)是g(x)值域的子集。g(x)=4x+a·2x+1=(2x)2+a·2x+1,設t=2x,則t>0,所以g(x)等價于y=h(t)=t2+at+1。

因為h(0)=1>0,所以當對稱軸t=,即a≥0 時,不滿足條件。當t=,即a<0時,由判別式Δ=a2-4≥0,即可得a≤-2。故所求實數a的取值范圍是(-∞,-2]。

A.(0,1) B.(0,1]

C.(-1,1) D.[-1,1]

題型4:指數函數的圖像與性質問題

對于函數y=af(x)+b(其中b是常數),令f(x)=0,解得x0,y=b+1,則此函數過定點(x0,1+b)。函數y=a|x|(a>0,且a≠1)是偶函數,圖像關于y軸對稱,當x>0時的圖像即為函數y=ax的圖像。根據指數函數圖像判斷底數大小的方法:作直線y=1與所給圖像相交,交點的縱坐標即為各個底數,在第一象限內,自下向上,圖像對應的指數函數的底數逐漸變大,即遵循“圖高指大”的原則。如指數函數y=ax1,y=ax2,y=ax3,y=的 圖 像 如 圖1 所示,其中0

圖1

指數函數性質記憶口訣:若底數大于1,圖像從下往上增;底數在0到1之間,圖像從上往下減;無論函數增和減,圖像都過(0,1)點。

例4若直線y=2a與函數y=|ax-1|(a>0,a≠1)的圖像有兩個公共點,則a的取值范圍是_____。

解:由01,可分別畫出函數y=|ax-1|的圖像,如圖2,圖3所示。

圖2

圖3

題型5:對數函數的單調性問題

函數單調性的判斷方法:一般地,增函數與增函數的和為增函數,增函數與減函數的差為增函數。復合函數的單調性遵循“同增異減”的法則。對于與對數函數有關的復合函數,要注意真數恒大于零的情況。

例5(1)函數f(x)=log3(-x2+2x+3)的單調減區間是( )。

A.(-3,1) B.(1,3]C.(-1,1) D.(1,3)

(2)已知f(x)=loga(3-2ax)在[1,2]上是增函數,則實數a的取值范圍是( )。

解:(1)由題意得-x2+2x+3>0,即(x+1)(x-3)<0,解得x∈(-1,3)。

函數f(x)=log3(-x2+2x+3)的減區間,即為y=-x2+2x+3 的減區間。y=-x2+2x+3的對稱軸為x=1,結合二次函數的單調性,可得f(x)=log3(-x2+4x+5)的減區間為(1,3)。應選D。

(2)令y=logau,a>0 且a≠1,u=3-2ax。因為f(x)在[1,2]上是增函數,u=3-2ax在[1,2]上是減函數,所以y=logau是減函數,且u>0 恒成立,即解得。應選C。

跟蹤訓練5:已知函數f(x)=lg(x2-4x-5)在(a,+∞)上單調遞增,則a的取值范圍是( )。

A.(2,+∞) B.[2,+∞)C.(5,+∞) D.[5,+∞)

提示:由x2-4x-5>0,可得x<-1或x>5。令t=x2-4x-5。外層函數y=lgt在定義域內是增函數,要使f(x)=lg(x2-4x-5)在(a,+∞)上單調遞增,只需內層函數t=x2-4x-5在(a,+∞)上單調遞增且恒大于0,所以(a,+∞)?(5,+∞),即a≥5。應選D。

題型6:對數式的比較大小問題

若底數為同一常數,則可由對數函數的單調性直接進行比較。若底數為同一字母,則根據對數函數單調性,對底數進行分類討論。若底數不同,真數相同,則可以先用換底公式化為同底后再進行比較,也可以利用順時針方向底數增大的規律畫出函數的圖像,再進行比較。若底數與真數都不同,則可借助1,0等中間量進行比較。

例6比較下列各組數中兩個值的大小。

(1)log23.4,log28.5。

(2)log0.31.8,log0.32.7。

(3)loga5.1,loga5.9(a>0,且a≠1)。

解:(1)對數函數f(x)=log2x在(0,+∞)上為增函數,因為3.4<8.5,所以log23.4

(2)對數函數f(x)=log0.3x在(0,+∞)上為減函數,因為1.8<2.7,所以log0.31.8>log0.32.7。

(3)當0loga5.9。當a>1時,對數函數f(x)=logax在(0,+∞)上為增函數,因為5.1<5.9,所以loga5.1

跟蹤訓練6:已知a=log20.3,b=0.31.3,c=21.3,則a,b,c的大小關系是( )。

A.a

C.b

提示:因為a=log20.32,所以a

題型7:對數函數的圖像與性質的應用

當函數y=m+logaf(x)(a>0,且a≠1)的圖像過定點時,只需令f(x)=1,求出x,即得定點為(x,m)。根據對數函數圖像判斷底數大小的方法:作直線y=1與所給圖像相交,交點的橫坐標即為各個底數,在第一象限內,自左向右,圖像對應的對數函數的底數逐漸變大,即可比較底數的大小。因為對數函數的單調性與底數有關,所以要注意是否需要分類討論。

例7函數y=loga(-x)(a>0且a≠1)與函數y=ax(a>0且a≠1)在同一直角坐標系內的圖像可能是( )。

解:當01 時,y=ax和y=logax均為增函數,而y=loga(-x)的圖像和y=logax的圖像關于y軸對稱,A 正確。應選A。

跟蹤訓練7:已知函數f(x)=,a為常數。

(1)若a=-2,求證f(x)為奇函數,并指出f(x)的單調區間。

提示:(1)當a=-2 時,函數f(x)=,所以函數f(x)的定義域為

題型8:求函數的零點問題

求函數的零點的兩種常用方法:代數法,根據零點的定義,解方程f(x)=0,它的實數解就是函數y=f(x)的零點;幾何法,若方程f(x)=0 無法求解,可以根據函數y=f(x)的圖像與性質求出零點。

例8若函數f(x)=ax+b(a≠0)的零點是2,則函數g(x)=ax2+bx的零點是( )。

A.2 B.2和0

C.0 D.-2和0

解:由題意知f(2)=0,所以b=-2a,所以g(x)=ax2+bx=ax(x-2)。令g(x)=0,可得g(x)的零點為0和2。應選B。

跟蹤訓練8:已知函數f(x)=則函數f(x)的零點為( )。

提示:當x≤1時,令f(x)=2x-1=0,解得x=0。當x>1 時,令f(x)=1+log2x=0,解得,因為x>1,所以此時方程無解。綜上所述,函數f(x)的零點只有0。應選D。

題型9:判斷函數的零點所在的區間

判斷函數的零點所在區間的三個步驟:將區間端點值代入解析式求出函數的值;把所得的函數值相乘,并進行符號判斷;若符號為正且函數在該區間內是單調函數,則在該區間內無零點,若符號為負且函數連續,則在該區間內至少有一個零點。

例9函數f(x)=lnx+x3-9的零點所在的區間為( )。

A.(0,1) B.(1,2)

C.(2,3) D.(3,4)

解:由題意得x>0,且f(x)在其定義域內為增函數。因為f(2)=ln2-1<0,f(3)=ln3+18>0,所以此函數的零點在區間(2,3)內。應選C。

跟蹤訓練9:函數f(x)=2x+x-4的零點所在的區間是( )。

A.(-1,0) B.(2,3)

C.(0,1) D.(1,2)

題型10:判斷函數零點的個數問題

判斷函數零點的個數的三種方法:方程法,若方程f(x)=0的解可求或能判斷解的個數,可通過方程的解來判斷函數是否存在零點或判斷零點的個數;圖像法,由f(x)=g(x)-h(x)=0,得g(x)=h(x),在同一坐標系內畫出y1=g(x)和y2=h(x)的圖像,根據兩個圖像交點的個數來判斷函數零點的個數;定理法,函數y=f(x)的圖像在區間[a,b]上是一條連續不斷的曲線,由f(a)·f(b)<0即可判斷函數y=f(x)在區間(a,b)內至少有一個零點,若函數y=f(x)在區間(a,b)上是單調函數,則函數f(x)在區間(a,b)內只有一個零點。

例10(1)函數的零點個數為( )。

A.0 B.1 C.2 D.3

(2)方程lnx+x=0的實數解的個數為( )。

A.1 B.2 C.3 D.0

解:(1)令y=0,則=0,即-x2+x+5=0。因為Δ=1+20>0,所以該方程有兩個不同的根,且均滿足函數的定義域。故該函數有兩個零點。應選C。

(2)方程lnx+x=0 的實數解的個數,即為方程lnx=-x的實數解的個數,也就是函數y=lnx與函數y=-x圖像的交點的個數。在同一直角坐標系中,畫出函數y=lnx與函數y=-x的圖像,如圖4所示。

圖4

由圖像可知,y=lnx與y=-x的圖像只有一個交點,所以方程lnx+x=0的實數解的個數為1。應選A。

跟蹤訓練10:函數f(x)=2x·|ln(x+1)|-4的零點個數為_____。

提示:令f(x)=2x·|ln(x+1)|-4=0,則。在同一直角坐標系中,畫出函數y=|ln(x+1)|與y=22-x的大致圖像,如圖5所示。

圖5

由圖像可知,當x→-1時,y=|ln(x+1)|→+∞,則函數y=|ln(x+1)|與y=22-x的圖像必有兩個交點,所以方程有兩個不同的實根,所以函數f(x)=2x·|ln(x+1)|-4的零點個數為2。

題型11:二分法求方程的近似解

將方程轉化為相應的函數,根據二分法求方程近似解的步驟循環進行,直到方程近似解所在的區間符合精確度要求。對于區間內的任一點,都可以作為零點的近似解,一般取端點作為零點的近似解。

例11在用“二分法”求函數f(x)零點的近似值時,第1 次所取的區間是[-2,4],則第3次所取的區間可能是( )。

A.[1,4] B.[-2,1]

解:因為第1 次所取的區間是[-2,4],所以第2次所取的區間可能為[-2,1],[1,4],所以第3 次所取的區間可能為。應選D。

跟蹤訓練11:下列函數圖像與x軸均有公共點,其中能用二分法求零點的是( )。

提示:能用二分法求零點的函數必須在給定區間[a,b]上連續不斷,且f(a)·f(b)<0,A,B中不存在f(x)<0,D 中函數不連續。應選C。

題型12:常見的函數模型及增長特點

線性函數模型y=kx+b(k>0)的增長特點是直線上升,其增長速度不變。指數函數模型y=ax(a>1)的增長特點是隨著自變量的增大,函數值增大的速度越來越快,即增長速度急劇,形象地稱為“指數爆炸”。對數函數模型y=logax(a>1)的增長特點是隨著自變量的增大,函數值增大的速度越來越慢,即增長速度平緩。冪函數y=xn(n>0)的增長速度介于指數增長和對數增長之間。提醒:函數值的大小不等同于增長速度的大小,數值大不一定增長速度大,增長速度體現在函數值的變化趨勢上。

例12一種藥在病人血液中的量保持1500mg以上才有效,而低于500mg病人就有危險。 現給某病人注射了這種藥2500mg,如果藥在血液中以每小時20%的比例衰減,為了充分發揮藥物的利用價值,那么從現在起經過( )向病人的血液補充這種藥,才能保持療效。(參考數據:lg2=0.301,lg3=0.4771,答案采取四舍五入精確到0.1h)

A.2.3h B.3.5h C.5.6h D.8.8h

解:設從現在起經過xh 向病人的血液補充這種藥,才能保持療效。由2500×0.8x=1500,可得0.8x=0.6,所以lg0.8x=lg0.6,即xlg0.8=lg0.6,所以≈2.3(h)。應選A。

跟蹤訓練12:某品牌牛奶的保質期y(單位:天)與儲存溫度x(單位:℃)滿足函數關系y=akx+b(a>0,且a≠1)。該品牌牛奶在0℃的保質期為270 天,在8 ℃的保質期為180 天,則該品牌牛奶在24 ℃的保質期是( )。

A.60天 B.70天 C.80天 D.90天