023年高考函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性問題聚焦

■陳軍麗

2023年高考對(duì)函數(shù)性質(zhì)的考查,主要圍繞“以常見函數(shù)為載體考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性,與不等式、方程等結(jié)合考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性”,凸顯直觀想象、邏輯推理、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用及數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。

聚焦一:函數(shù)奇偶性的應(yīng)用

例1(2023年高考全國卷)已知f(x)是偶函數(shù),則a=( )。

A.-2 B.-1 C.1 D.2

體驗(yàn):利用奇函數(shù)滿足f(-x)=-f(x)或偶函數(shù)滿足f(-x)=f(x)是解題的關(guān)鍵。要注意的是:若能確定奇函數(shù)的定義域中包含0,則直接根據(jù)f(0)=0,求出參數(shù)的值。

變 式 1: 若 函 數(shù)f(x) =為奇函數(shù),則參數(shù)a的值為____。

提 示: 因 為 函 數(shù)f(x) =為奇函數(shù),所以f(-1)=-f(1),所以-a2-1=-(a+1),即a(a-1)=0,可 得a=0 或a=1。當(dāng)a=0 時(shí),不是奇函數(shù),即a=0 不合題意;當(dāng)a=1時(shí),是奇函數(shù),適合題意。綜上可得,a=1。

聚焦二:函數(shù)周期性的應(yīng)用

例2(2023年新高考卷)若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),f(1)=1,則f(k)=( )。A.-3 B.-2 C.0 D.1

由f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),令x=1,y=0,可得2f(1)=f(1)f(0),所以f(0)=2。令x=0,可得f(y)+f(-y)=2f(y),即f(y)=f(-y),所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù)。令y=1,可得f(x+1)+f(x-1)=f(x)f(1)=f(x),即f(x+2)+f(x)=f(x+1),從而可得f(x+2)=-f(x-1),所以f(x-1)=-f(x-4),所以f(x+2)=f(x-4),可得f(x)=f(x+6),所以函數(shù)f(x)的一個(gè)周期為6。

因?yàn)閒(2)=f(1)-f(0)=1-2=-1,f(3)=f(2)-f(1)=-1-1=-2,f(4)=f(-2)=f(2)=-1,f(5)=f(-1)=f(1)=1,f(6)=f(0)=2,所以f(1)+f(2)+…+f(6)=0。因?yàn)?2=3×6+4,所以=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1-1-2-1=-3。應(yīng)選A。

體驗(yàn):若f(x+a)=-f(x),則f(x+2a)=f[(x+a)+a]=-f(x+a)=f(x),所以周期T=2a。若f(x+a)=f(x-a),令x-a=t,x=t+a,則f(t)=f(t+2a),所以周期T=2a。在解決具體問題時(shí),要注意結(jié)論:若T是函數(shù)的周期,則kT(k∈Z 且k≠0)也是函數(shù)的周期。

變式2:已知f(x)是定義域?yàn)?-∞,+∞)的奇函數(shù),滿足f(1-x)=f(1+x)。若f(1)=2,則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=_____。

提示:因?yàn)閒(x)是定義域?yàn)?- ∞,+∞)的奇函數(shù),且f(1-x)=f(1+x),所以f(1+x)=-f(x-1),所以f(3+x)=-f(x+1)=f(x-1),所以f(x+4)=f(x),所以T=4。因此f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)。因?yàn)閒(3)=-f(1),f(4)=-f(2),所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0。又因?yàn)閒(2)=f(0)=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=f(1)=2。

聚焦三:函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的應(yīng)用

例3(2023 年高考全國卷)已知函數(shù)f(x)=e-(x-1)2。記,則( )。

A.b>c>aB.b>a>c

C.c>b>aD.c>a>b

令函數(shù)g(x)=-(x-1)2,則g(x)的圖像開口向下,對(duì)稱軸方程為x=1。

又因?yàn)閥=ex為增函數(shù),所以ac>a。應(yīng)選A。

體驗(yàn):函數(shù)單調(diào)性的判斷,可依據(jù)常見的初等函數(shù)的性質(zhì),結(jié)合復(fù)合函數(shù)“同增異減”法則得到結(jié)論。復(fù)雜的解析式給出的函數(shù),可借助奇偶性判斷對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性。

變式3:設(shè)函數(shù)f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|,則f(x)( )。