指數函數與對數函數易錯點剖析

■鄭 欣

易錯點1:利用分段函數的單調性時,忽略分段點

例 1 已 知 函 數f(x) =若f(x)在(-∞,+∞)上單調遞增,則實數a的取值范圍為( )。

A.(0,1) B.(2,3]

C.(1,2) D.(2,+∞)

錯解:由題意可知,函數y=(a-2)x+1在(-∞,1]上為增函數,則a-2>0,解得a>2;函數y=logax在(1,+∞)上為增函數,則a>1。綜上所述,a>2。應選D。

剖析:分段函數在R 上單調遞增,在每一段都是遞增的,在分段點處也是遞增的。

正解:由題意可知,函數y=(a-2)x+1在(-∞,1]上為增函數,則a-2>0,解得a>2;函數y=logax在(1,+∞)上為增函數,則a>1。

在分段點x=1處,由a-3≤loga1=0,解得a≤3。

綜上所述,實數a的取值范圍是(2,3]。應選B。

易錯點2:求單調區間時,忽略函數的定義域

例2函數f(x)=lg(x2-2x-8)的單調遞增區間是( )。

A.(-∞,-2) B.(-∞,1)

C.(1,+∞) D.(4,+∞)

錯解:因為內層函數u=x2-2x-8 在區間(-∞,1)上單調遞減,在區間(1,+∞)上單調遞增,外層函數y=lgu為增函數,所以復合函數f(x)=lg(x2-2x-8)的單調遞增區間為(1,+∞)。應選C。

剖析:求函數的單調性往往容易忽略定義域。要使函數f(x)=lg(x2-2x-8)有意義,需要x2-2x-8>0,在優先考慮定義域的前提下,才能討論函數f(x)=lg(x2-2x-8)單調性。

正解:對于函數f(x)=lg(x2-2x-8),由x2-2x-8>0,解得x<-2或x>4,所以函數f(x)=lg(x2-2x-8)的定義域為(-∞,-2)∪(4,+∞)。

內層函數u=x2-2x-8在區間(-∞,-2)上單調遞減,在區間(4,+∞)上單調遞增,外層函數y=lgu為增函數,結合復合函數的單調性,可得函數f(x)=lg(x2-2x-8)的單調遞增區間為(4,+∞)。應選D。

A.(-∞,2] B.[2,+∞)

C.[2,6] D.[-2,2]