對數函數幾種典型考題解讀

■高紅霞

對數函數是高中數學中重要的基本初等函數之一,下面就對數函數的定義、性質和相關應用進行舉例分析。

題型1:對數函數的概念

對數在數學中應用廣泛且意義深刻,因此對數常被用來研究各種有關數的計算或證明問題。

例117世紀,在研究天文學的過程中,為了簡化大數運算,蘇格蘭數學家納皮爾發明了對數,對數的思想方法即把乘方和乘法運算分別轉化成乘法和加法運算,數學家拉普拉斯稱贊為“對數的發明在實效上等于把天文學家的壽命延長了許多倍”。已知ln2=0.6931,ln3=1.0986,設N=45×2710,則N所在的區間為( )。

A.(e38,e39) B.(e39,e40)

C.(e40,e41) D.(e41,e42)

解:因為N=45×2710,所以lnN=ln45+ln2710=ln210+ln330=10ln2+30ln3=0.6931×10+1.098 6×30=39.889,所以N=e39.889∈(e39,e40)。應選B。

點撥:解決這類問題要熟練掌握對數的概念與運算性質,以及對數換底公式的應用。

題型2:對數函數的圖像與性質

解答這類問題,可利用所給信息畫出函數的大致圖像,通過圖像和對數函數的性質(如單調性和經過的特殊點)來解決問題。

例2函數f(x)=x[ln(x+1)-ln(1-x)]的部分圖像大致是( )。

解:由可得-11-x>0,則ln(1+x)>ln(1-x),此時f(x)=x[ln(1+x)-ln(1-x)]>0,排除D。應選C。

點撥:由對數函數的解析式,可求對數函數的圖像經過的特殊點,通過底數a的值可判斷對數函數的單調性。

題型3:對數函數的應用

這類問題主要考查對數函數與其他函數的交匯應用。

例3已知函數f(x)=b·ax(a,b為常數,且a>0,a≠1)的圖像經過點A(1,6),B(3,24)。下列四個結論:①a=2;②b=4;③函數y=f(x)-5 僅有一個零點;④若不等式ax+bx-m≥0在x∈[1,+∞)上恒成立,則實數m的取值范圍為(-∞,5]。

其中正確結論的序號是____。

解:依題意得解得a=2(負根舍去),b=3,①正確,②錯誤。函數y=3·2x-5 在R 上遞增,當x=0 時,y=3·20-5=-2<0,當x=2時,y=3·22-5=7>0,所以函數y=3·2x-5在R 上有唯一零點,③正確。不等式ax+bx-m≥0在x∈[1,+∞)上恒成立,即m≤2x+3x在x∈[1,+∞)上恒成立,因為y=2x+3x在[1,+∞)上單調遞增,其最小值為21+31=5,所以m≤5,④正確。答案為①③④。

點撥:需要注意的是,函數不滿足f(a)·f(b)<0,也可能存在零點。