巧思維，妙應用
———二分法

■晏 江

二分法,又稱分半法,是求方程的近似解的常用方法。二分法簡便而又應用廣泛,對函數沒有要求,任何方程都可以用二分法求相應的近似解,這就為函數知識的拓展與應用提供了一個更好的、更新的必需工具。

一、求方程的近似解問題

例1已知函數f(x)=x3+x2-2x-2的一個正數零點附近的函數值用二分法逐次計算,參考數據如表1所示。

表1

那么方程x3+x2-2x-2=0的一個近似解(精確度為0.05)為( )。

A.1.5 B.1.375

C.1.438 D.1.25

分析:先利用函數零點的存在定理確定零點所在的區間,再結合零點所在區間的精確度確定零點區間的端點即為方程的近似解。

解:因為f(1.4065)=-0.052<0,f(1.438)=0.165>0,所以f(1.4065)·f(1.438)<0。根據函數零點的存在定理知零點在區間(1.4065,1.438)內,即該方程的根在區間(1.4065,1.438)內。

因為|1.4065-1.438|=0.0315<0.05,所以方程的近似解為1.4065或1.438。應選C。

利用二分法求方程近似解時,首先需要有初始區間,即一個存在解的區間(要用到此區間的兩端點),其次需要有迭代,即循環運算的過程,具體表現在不斷“二分”區間,最后需要有一個運算結束的標志,即當最終區間的兩端點的精確度均滿足題設要求時(兩端點的近似值相同),運算終止。

二、零點的應用問題

例2圖1是函數f(x)的圖像,它與x軸有4個不同的公共點。給出的下列四個區間之中,存在不能用二分法求出的零點,該零點所在的區間是( )。

圖1

A.[-2.1,-1] B.[4.1,5]

C.[1.9,2.3] D.[5,6.1]

分析:利用二分法,確定零點所在區間的兩個端點所對應的函數值必須異號,由此判斷函數的零點所在的區間。

解:結合圖像,可知選項A,B,D 中每個區間的兩個端點的函數值異號,可用二分法求出零點。選項C中區間的兩個端點的函數值同號,不能用二分法求零點。應選C。

利用二分法求函數零點的依據是函數零點的存在定理,這也是利用二分法解決問題的必備條件。只有在滿足函數零點的存在定理的前提下,才能利用二分法求函數的零點或方程的近似解。

三、次數的判斷問題

A.3 B.4 C.5 D.6

分析:利用二分法求二等分次數時,每次二等分后的區間長度為原來的,借助近似值滿足的精確度,合理構建相應的不等式,從而求得二等分的次數。

解:設對區間(1,2)至少二等分n次,此時區間長為1。

利用二分法解決問題時,每經過一次操作,區間長度就變為原來的一半。借助二分法解決問題的思想方法,對于解決一些數學問題、現實生活問題等,都有很好的幫助與指導意義。

四、實際應用問題

例4華羅庚是上世紀我國偉大的數學家,以華氏命名的數學科研成果有“華氏定理”“華氏不等式”“華王方法”等。除了數學理論研究,他還在生產一線大力推廣了“優選法”和“統籌法”。“優選法”是指研究如何用較少的試驗次數,迅速找到最優方案的一種科學方法。在防疫取得重要進展的時刻,為應對機場帶來的境外輸入,某機場海關在對入境人員進行檢測時采用了“優選法”提高檢測效率:每16 人為一組,把他們的鼻咽拭子分泌物混合檢查,如果為陰性則全部放行;若為陽性,則對該16 人再次抽檢確認感染者。某組16人中恰有一人感染(鼻咽拭子樣本檢驗將會是陽性),若逐一檢測可能需要15 次才能確認感染者。現在先把這16人均分為2組,選其中一組8人的樣本混合檢查,若為陰性則認定感染者在另一組;若為陽性,則認定感染者在本組。繼續把認定的這組的8人均分為2 組,選其中一組4 人的樣本混合檢查……以此類推,最終從這16人中認定那名感染者需要經過的檢測次數為( )。

A.3 B.4 C.6 D.7

分析:根據題設條件,由16 人進行二分法處理減少到8人,逐步減少到4人,2人,最后確定感染者。

解:先把這16 人均分為2 組,選其中一組8 人的樣本混合檢查,若為陰性則認定在另一組;若為陽性,則認定在本組,此時進行了1次檢測;

繼續把認定的這組的8 人均分為2 組,選其中一組4 人的樣本混合檢查,若為陰性則認定在另一組;若為陽性,則認定在本組,此時進行了2次檢測;

繼續把認定的這組的4 人均分為2 組,選其中一組2 人的樣本混合檢查,若為陰性則認定在另一組;若為陽性,則認定在本組,此時進行了3次檢測;

選認定的這組的2人中一人進行樣本檢查,若為陰性,則認定是另一個人;若為陽性,則認定為此人,此時進行了4次檢測。

所以最終從這16 人中認定那名感染者需要經過4次檢測。應選B。

二分法體現了現代信息技術與數學知識的整合,將數學知識與信息技術緊密結合,恰當滲透算法思想和科學型計算器等,可以解決現實生活中的一些實際應用問題。

提示:因為f(1)=-2<0,f(2)=ln2-1<0,又f(x)在(0,+∞)上是單調增函數,所以在(1,2)上f(x)無零點。同理,可以判斷在區間和(e,+∞)上f(x)無零點。因為,所以f(2)·f(3)<0,所以f(x)在(2,3)上有一個零點。應選B。