對數(shù)函數(shù)單調(diào)性中的常見錯解剖析

■張志遠(yuǎn)

函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)。函數(shù)的單調(diào)性問題綜合性強,難度大,稍有疏忽就可能出現(xiàn)錯誤,下面就對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性中的常見錯解進(jìn)行舉例剖析。

一、求單調(diào)區(qū)間忽視函數(shù)的定義域

例1求函數(shù)1)的單調(diào)區(qū)間。

錯解剖析:錯解中忽視了函數(shù)f(x)的定義域,因為單調(diào)區(qū)間是定義域的子集,在解函數(shù)問題時,一定要樹立“定義域優(yōu)先”的意識。

二、求單調(diào)區(qū)間忽視對底數(shù)的分類討論

例2求函數(shù)f(x)=loga(x2-2x-3)的單調(diào)區(qū)間。

錯解:由x2-2x-3>0,可得函數(shù)f(x)的定義域為(-∞,-1)∪(3,+∞)。令u=x2-2x-3,則y=g(u)=logau。因為u=x2-2x-3=(x-1)2-4在區(qū)間(-∞,-1)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(3,+∞)上單調(diào)遞增,所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,-1),單調(diào)遞增區(qū)間是(3,+∞)。

錯解剖析:上述錯解沒有注意到底數(shù)對單調(diào)性的影響,當(dāng)?shù)讛?shù)不確定時,要對底數(shù)分情況進(jìn)行討論。

正解:由x2-2x-3>0,可得函數(shù)f(x)的定義域為(-∞,-1)∪(3,+∞)。令u=x2-2x-3,則y=g(u)=logau。函數(shù)u=x2-2x-3=(x-1)2-4在區(qū)間(-∞,-1)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(3,+∞)上單調(diào)遞增。當(dāng)01 時,函數(shù)g(u)=logau在定義域內(nèi)為增函數(shù)。故當(dāng)01時,f(x)=loga(x2-2x-3)的單調(diào)減區(qū)間是(-∞,-1),單調(diào)增區(qū)間是(3,+∞)。